应用MATLAB解决四杆机构角位移和角速度

应用MATLAB解决四杆机构角位移和角速度
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已知曲柄摇杆机构的四杆长度为L1=304.8mm ，L2=101.6mm, L3=254.0mm,L4=177.8mm.曲柄角速度ω2=250rad/s,试用M 文件编写程序计算连杆3和摇杆4的角位移，3θ ，4
θ，角速度3
ω
，4ω，并绘制出运动曲
线。

机构如下图。

错误！未指定主题。

求解方法及公式：
对于四杆机构存在如下公式：
闭环矢量方程：4132r r r r +=+
写成角位移方程的分量式：
)cos()cos()cos()cos(44113322θθθθr r r r +=+
)sin()sin()sin()sin(44113322θθθθr r r r +=+
求解角位移方法利用牛顿---辛普森公式 将分量式写成如下形式：
()0)sin()sin()sin()sin(,44113322432=--+=θθθθθθr r r r f
⑴
()0)cos()cos()cos()cos(,44113322431=--+=θθθθθθr r r r f
从示意图可知杆1角位移恒为0，设曲柄2初始角位移为0。

对于连杆3，
和摇杆4的角位移表示为预计值与微小修正因子之和。

表示如下：
3'33θϑθ∆+= 4'
44θϑθ∆+=
将上式按泰勒级数展开，去掉高次项得到如下公式：
()
4'4'34
13'4'331'4'31,θθθθθθθθθθ∆⨯∂∂+∆⨯∂∂+
f
f f =0
()
4'4'34
23'4'332'4'32,θθθθθθθθθθ∆⨯∂∂+∆⨯∂∂+
f
f f =0 将上式写成矩阵形式：
()'
4'32,θθf
'
4'34
1'4'331,θθθθθθ∂∂∂∂f f 3θ∆ '3θ +
=
()'4'32,θθf
'
4'34
2'4'332,θθθθθθ∂∂∂∂f f 4θ∆ '4θ 利用矩阵求出连杆3和摇杆4的微小修正因子，将修正因子与预计值相加求出角位移，将求出的角位移带入⑴中，看是否满足函数值足够小。

若不满足将求出的角位移作为预计值再次计算，直至函数满足条件。

此时便求出的角位移。

角速度的求解方法：
将角位移方程的分量式求导得到如下公式：
444333222)sin()sin()sin(ωθωθωθ⨯-=⨯-⨯-r r r
444333222)cos()cos()cos(ωθωθωθ⨯=⨯+⨯r r r
将上式写成矩阵形式，具体如下：
)sin(),sin(4433θθr r - 3ω 222)sin(ωθ⨯r
=
)cos(),cos(4433θθr r - 4ω 222)cos(ωθ⨯-r
利用上式便可求出连杆3和摇杆4的角速度.
编程思路以及程序：
设计思路：
杆1作为机架则角位移为0，为已知量，曲柄2的角位移为均匀变化的量，连杆3和摇杆4的角位移为未知量。

曲柄2初始角位移从0开始做等步长变化，利用for 循环求角位移，每次循环中再利用for 循环进行迭代，其中用if 语句判断求出的角位移是否满足条件，若满足条件则跳出迭代循环，并将求出的角位移存入定义的矩阵中。

最后利用绘图函数绘出角位移曲线。

求解角速度是依据求出的角位移进行计算，用for 循环，每次循环将对应的角位移带如公式进行计算，得出的角速度存入角速度矩阵，同样利用绘图函数绘制角速度曲线。

程序如下：
l1=304.8; l2=101.6; l3=254.0; l4=177.8; dr=pi/180.0;
r1=0*dr;
r2=0*dr;
r3=43*dr;
r4=95*dr;
zl=12*dr;
for n=1:30
for n2=1:5
c=(l2*cos(r2)+l3*cos(r3)-l1-l4*cos(r4));
d=(l2*sin(r2)+l3*sin(r3)-l4*sin(r4));
if (c*c<0.0000001&d*d<0.0000001)
break;
else
e=[-l2*cos(r2),-l3*cos(r3),l1,l4*cos(r4) -l2*sin(r2),-l3*sin(r3),0,l4*sin(r4)] f=[-l3*sin(r3),l4*sin(r4)
l3*cos(r3),l4*cos(r4)]
x=inv(f)*e;
r3=r3+x(1)*dr;
r4=r4+x(2)*dr;
end
end
r34(n,:)=[r2/dr r3/dr r4/dr];
r2=r2+zl;
end
subplot(1,2,1)
plot(r34(:,1),r34(:,2),r34(:,1),r34(:,3))
axis([0 360 0 170])
grid
xlabel('时间/s')
ylabel('从动角位移/度')
title('角位移线图')
text(110,110,'摇杆4角位移')
text(50,55,'连杆3角位移')
sd2=250;
T=2*pi/sd2;
for n=1:30
ct=n*zl;
g=[-l3*sin(r34(n,2)*dr),l4*sin(r34(n,3)*dr)
l3*cos(r34(n,2)*dr),-l4*cos(r34(n,3)*dr)]; h=[sd2*l2*sin(ct)
-sd2*l2*cos(ct)];
sd=inv(g)*h;
sd3=sd(1);
sd4=sd(2);
sd34(n,:)=[n sd3 sd4];
t(n)=n*T/30;
end
subplot(1,2,2)
plot(t,sd34(:,2),t,sd34(:,3)) axis([0 0.026 -190 250])
grid
title('角速度线图')
xlabel('时间/s')
ylabel('从动件角速度/rad')
text(0.001,170,'摇杆4角速度') text(0.015,130,'连杆3角速度')
角位移及角速度曲线如下：。