数学专业————几类典型线性纠错码简介.docx

四川师范大学本科毕业论文
几类典型线性纠错码简介
——（副标题）
学生姓名________________ 廖欢 _______________ 院系名称数学与软件科学学院
专业名称数学与应用数学
班级_______________ 2007级4班____________ 学号2007060426
指导教师______________ 廖群英_______________ 完成时间2011年3月4日
几类典型线性纠错码简介
学生：廖欢指导老师：廖群英
内容扌商要纠错码的理论是纯粹数学与应用数学的统一体现，并II在数字通信变得越来越重要的今天，更加体现出它本身的重要作用和时代特色。

本文从纠错
码最基本的概念出发，从线性空间的角度简要介绍纠错码中最基础也是最重要的
一类码——线性码的性质，给出了线性码的译码算法。

根据线性代数、组合数学
等相关知识，得到纠错码三个参数之间的一些制约关系，并据此介绍了几类好的
纠错码的构造，包括Go lay得到的两个完全码G23 =[23,12,7].和G“ =[11,6,5]3, 以及一类MDS码：多项式码。

关键词线性码纠错码的界Go lay码多项式码
An overview for the several tapes of linearly
error-correcting codes
Abstract The theory of the error-correcting code is the union subject of the pure mathematics and applied mathematics・ Nowadays with the rapid development of the digital communication, the theory of the error-correcting code takes more important role in real applications. In this article we start through introducing basic definitions and properties of error-correcting code, we give a survey of linear codes and a decoding algorithm・According to the linear algebra, combinatorial mathematics and other related knowledge, we obtain the some restricted relation among three parameters for error-correcting codes. Furthermore, we introduce several good error-correcting codes, such as Golay's perfect codes:G23 =[23,12,7]2andG]】=[11,6,5]3, as well as a class of MDS codes: polynomial codes ・
Keywords Lin ear code, Error-correcting code sector, Golay's code, Polynomial code
1引言 (1)
2纠错码的基本概念 (1)
3线性码的基本概念 (2)
3.1线性码的定义 (2)
3.2校验阵与生成阵 (3)
3.3线性码的纠错译码算法 (4)
4完全线性码——GOLAY码 (5)
4.1 H AMMING界与完全码的定义 (5)
4.2 G OLAY码简介 (6)
5MDS线性码——多项式码 (10)
5.1 S INGLETON界与MDS码的定义 (10)
5.2多项式码简介 (11)
参考文献 (14)
纠错码的代数理论简介
1引言
20世纪以来，数字计算机和数字通信得到极大的发展。

在今天，人们从每个层面上都能感受到计算机和通信的这种进步所产生的广泛而深刻的影响。

除了技术上的革新之外，这种发展也得益于新的数学思想和工具的运用⑴。

1948年C.E.香农在他的开创性论文《通信的数学理论》中，首次阐明了在有扰信道中实现可靠通信的方法，提出了著名的有扰信道编码定理，奠定了纠错码的基右⑵。

纠错码理论，是信息理论的一个专门分支，其理论基础由数学支撑，在实际应用中，它的发展则源于现代通信技术与电子计算机技术中差错控制研究的需要。

因此，这一领域既是通信工作者也是数学工作者研究的热点。

随着信息技术的发展，编码理论也得到了迅速的发展。

所谓编码指的是，通过引入冗余信息，使得在一部分信号发生错误下，仍有可能按照一定的规则纠正这些错误，以实现无失真地传送和处理信息叫举一个最简单的重复码为例，我们可以将信号0编码为000,信号1编码为111,如果最多只有一位发生错误，譬如，000变成了001, 我们就可以根据可能性最大的情况断定：第三位出现错误从而纠正该错误。

本文所阐述的正是这半个多世纪以来，由数字通信的可靠性需要所建立和发展的纠错码理论⑷。

2纠错码的基本概念
定义2・1 表示q元有限域打上的71维向量空间。

的每个非空子集C都
叫做一个q元码，〃叫该码的码长，C中向量叫做码字。

用K表示C中码字个数，即K = \C\,显然15KS/。

k = \og g K叫做码C的信息位数(k为实数，0 —S )。

土叫做码C的效率(或叫信息率)。

n
定义2.2设2(44「4)和1)=心"2，・・・乞)是打‘中的两个向量，向量a的Hamming权(weight)定义为非零分量的个数，表示成69(a),即
6y(a)=#{z 1 <z 0)o
而向量a和b之间的Hamming距离是指它们相异位的个数,表示成d(a,b),即t/(a,b) =#{" 1 。

容易证明，Hamming距离具有与通常距离类似的性质：正则性，对称性以及三角形不等式闻。

定义2.3设C是码长为〃的q元码，K=C\>2,定义C的最小距离为不同码
字Z间Hamming距离的最小值，表示成〃(C),即
d = d(C) = min {d(c,c) c,c W C，CHC
在给定的有限域F；上，每一个q元纠错码C有三个基木参数：码长/7 ,码字个数K = |C| (或是信息位数k = logqK ),以及最小距离d = J(C)(}<d<n)o 因此我们把这个纠错码表示成S，K心或者h，k^dl，也说成q元码(z K,d)或q
元码［从,川⑶。

下面的定理是整个纠错码理论的基础。

定理2・1如果纠错码C的最小距离是d,则可以检查<67-1位错，也可以纠
如下两个研究课题是纠错码理论中最基本的问题：
(1)构造岀效率上一定、而反映纠错能力的d尽可能大，或d—定、并且土
n n 尽可能高的码⑹。

(2)寻求一种好的译码算法，使得工程上得以应用。

3线性码的基本概念
3.1线性码的定义
线性码是纠错码中最重要的一类码，它是讨论各类其他码的基础。

定义3.1向量空间F；的■线性子空间C称为是一个q元线性码。

根据线性空间理论，我们可以得到线性码的一些基本性质。

引理3・1线性码C的信息位数£就是向量子空间C的耳■维数。

证明记& = dim©C (打■向量子空间C的维数)，则\C\=q k,于是码C的码字个数K = \C\=q k,由此即证引理⑺。

由于C 是耳上的线性子空间，因此对任意ceC,存在J c”wC 使得 c = c 「〃。

由引理3.1以及〃(C)的定义易知：
引理 3.2 对于线性码 C = [n,k,cl\q , d = min 69(c) □ 3.2校验阵与生成阵 线性码c 作为一个向量空间的线性子空间,因此C 必是F q 上某个齐次线性方 程组
人“2+肉2兀2+…饥£=0
h 2X x 2 + h 22x 2 + …/匕兀=°
的解空间⑻，其中
H 如 1 <i<rt-k, 1 < j <n
是&上的(n-k)xn 矩阵，并且rank(H)= n-ko H 叫做线性码C 的一个校验阵。

因此，对WeF ；,
v G C <=> Hv r = 0 o
所以可用校验阵H 来检验向量v 是否为C 中的码字。

另一方面，线性码C 中的"个码字组成了一个R 维子空间，因此这/个码 字可以由鸟个巴厂线性无关的向量V],V2，・・・V«张成，其屮
比=(和，站，…弘，)(f )，
线性码C 中的任何码字都可以由这组向量唯一线性表出，即
c = (d[,・・・,a«)G, a 、,…,cikWFq, Z 、
g 】l 812 …8\n
其+G = V 2 ■ ■ —— S\2 822 (i)
• • •
• • • • • • 称为线性码c 的一个生成阵。

宀 .gju Sk2 …Skn^
设H =(U|,•••,!!“)，其中11,•是H 的第，个列向量，对任意的v =(片,…，
匕冷仑,
H 69(v) = I ,即V 中有II 仅有/个分量匕1，匕2,…V"不为零，则
O = Hv r =(U1,---,uJ i =v.1u yi + v y2u 7.2+--- + v 7/u y7 o
"丿 久*“2 + %*2花+…他* =0
因此，C的最小距离就等于H的列向量u p,u…中线性相关的最少个数，也就是如下定理：
定理3・3设H是线性码C的一个校验阵，如果比,…中任意d-l个均巧- 线性无关，并且存在d个列向量是巧-线性相关的，则C的最小距离是d。

如果类比欧式空间来定义斥：中两个向量u与v的内积(u, v),则可以定义正交的概念：如果(u, v) = 0,则称u与v是正交的。

不同的是，在有限域屮，非零向量可以自止交，例如在可中，V =(1,1)H(0,0),而(v, V) = l l + l l = Oo
定义3・2设C是参数为［仏灯的g元线性码，则的子集合
C1 = {v e | 对每一化G C,(v, c) = 0},
是参数为［n y n-k］的线性码，叫做C的对偶码，如果C丄匸C,称C为自正交码，若C丄=C ,则C叫自对偶码。

根据校验阵和生成阵的性质，容易证明下面的结果：
定理3・4设C是打上的线性码，G是C的生成阵，则G是C丄的校验阵。

3.3线性码的纠错译码算法
下面这个给出了一般线性码的纠错译码算法。

定理3・5设C是参数为\n^d\的q元线性码，Z = F—1，并且有校验阵
2
H = 如果码字c G C传送时出现错位不超过/的错误£ ,其中69(£)<
/，
即收到向量y = c + £,则可以用以下算法纠错。

(1)计算y的校验向量v,即v = Hy厂，其中v是巧上长为力-比的列向量;
(2)如果v = 0,贝ij£ = 0, y = c (无错)；
(3)如果v h 0,则v 口J以表示成比,…,11“中不超过/个列向量的线性组合:
v = q・|U〃 + 6Z/2U/2 d F a ir u it, l<i} <i2< •-<i f <n^
其中l<t<l9 5,…4均是巧中非零元素，此时,
£ =(W2,…，6)，
其中匂=印，…,勺=為,且当…昇；时，有令=0,于是c = y-£ o
证明由于C是码字，可知
v = Hy r= H(c r + £r)=Hc7 =£]U] +即2 + …+£“u”。

因为^£)</,故V必是U… ,U H当中不超过/个列向量的线性组合。

现在设有两
个向量a = (d[,•••,%), b = b，・・.,b)wF：；, 69(a)< I, o>(b)< /,使得
Ha f =qU] ------ a n u n = v, Hb7=b l u i H -------- b n u n = v ,
于是H(a-b)7 = v-v = 0 ,从而a-bwC。

但是<y(a-b)5 69(a) + d>(b)5 2/5 d, 而
d(C)= d o这表明a-b = 0 ,即a = b ,这就是说v表成Up- ^u^当中不超过/个列向量
的线性组合的方式是唯一的。

所以由译码算法得到的错误向量£是正确的。

线性码是纠错码当屮的一部分，但是多数好的纠错码都是线性码，下面将要介绍两类好的线性码：完全线性码和MDS线性码。

4完全线性码----- Golay码
4.1 Hamming界与完全码的定义
纠错码的基本课题之一是寻找好的纠错码，即构造出效率土一定且反映纠错n 能力的d尽可能大，或者d—定而纟尽可能高的码。

但是容易知道三个参数之间n 是相互制约的。

所以我们需要考虑固定两个参数时，第三个参数最佳的可能的值是多少。

比如：
当固定参数〃，K时，巧：中的一个K元子集合的最小距离d最大可能是多少？
定义4.1对一个整数厂no和向量V wF：；,我们用S q (v, r)表示与v的Hamming距离W厂的所有向量组成的集合：
S f/（v,r）={ueZ;；|J（u9v）＜r}
叫做以v为中心，厂为半径的闭球。

根据组合学知识，不难算岀以上定义的闭球中含有向量的个数是⑼
r心八
|S认词吃九-讥
/=0 \1丿
〃一1
如果在中，以每个码字为中心，以心号为半径作闭球，则有K个互不相交的闭球，因若有向量u同时存在于两个闭球S“（c＜）, S f/（c2,r）中，则
6/（C!，C2）＜ €/（C］,U）+^（U,C2）＜＜d- \,
这显然是不可能的。

所以，这些闭球所包含的向量个数之和为K•丈（%-1）'（这里/』□］）, 気
U丿L 2」
它不可能超过整个空间的巧"元素个数，这就得到下面的定理。

定理4・1 （Hamming界或球填充界）如果存在纠错码（H,K.d\f，贝U
qQK・2
/=o v 丿
一般情形上述等号是达不到的。

当等号成立时，这样的纠错码就是一个好码。

定义4・2设C是q元码（爲K,2/ + l）。

如果
宀笃；（宀,
I f \
则称C为完全码。

4.2 Golay码简介
事实上，满足定理4.2等式的仏k,d和g （q是素数方幕）是很少的。

1949
年Golay首先求出满足这个等式的三组参数（如讥,〃）=（2,90,7&5）,
（2,23,12,7）^
（3,11,6,5）,其中参数为（23,12J）2和（1 1,6,5）3的线性码被称为Golay码何。

以下定理表明不存在参数为［90,78,5］的二元完全码。

定理4・2不存在参数为卜讥,〃］=［90,7&5］的二元纠错码C。

证明假设存在这样的纠错码C,则C中非零码字的H amming权均＞50定义集合
y = {v = (v1,---,v90)e/^0|论)=3,片=冬=1}，
由组合学知识可知，|/|=88。

由于［仏£同= ［90,7&5］达到Hamming界，即2?*个闭球S(c,2)(c = C)恰好填
满整个空间毘90。

于是对于Y中任意向量y,均存在唯一的一个以C中码字为中心的闭球S(c,2),使得ywS(c,2)。

可以证明= 5, =c2 = 1 o对于F,中的两个向量u, v,定义u覆盖v,如果对每一个i (Id),当匕•= 1时必然有终• = 1。

因此上述的c是一定覆盖y的。

考虑集合
X = {c =(C1,---,C9O)G C I 6Z＞(C)= 5, Cj = c2 = 1},
用两种方法来计算集合
£＞ = {(c, y)|cuX,y w Y,c覆希}
中的元素个数。

一方面，由前可知每一个ywY都被X中唯一的c所覆盖，于是
\E\ =|y| =88；另一方面，对每个c = (q,…,cjwC , Wc, = c2 = c iX = c i2 = c i3 = 1, 其中厶丿2仏工1,2,贝ijc覆盖丫中三个向量，分别是
%,其中第A位是1
＜儿2，其中第-位是1，
y/3＞其屮第L位是1
于是囚=3凶。

但88三l(nwd3), B|J \x\^N+ ,这显然不可能，所以不存在参数为［仏匕〃］=［90,7&5］的二元纠错码C。

定理4.3 (Golay)设禺上的12阶矩阵
则以G 二(l 12 P )为生成阵的二元线性码G 24具有参数［仏£同=［24,12,8］ o
证明注意到矩阵P 有如下特点：左上角元素是0,第一列和第一行中的其 他元素均为1,剩下的11阶方阵P',其第一行为(1101110000),而其余诸行一 次为第一行向左循环移位。

由于方阵中有单位矩阵1门，因此G 的秩是12,于是［，讥卜［24,12］。

为了证明 d=8,我们分成下面儿步进行。

(1) G24是自对偶码
首先证明G?4是自正交码，这只需验证生成阵G 中任意两行都是止交的，由 于P'的循环特性，这件事容易逐个验证。

于是证明了 G24是自正交码，即
G 24C G 24\
=24-12=12 = dimG 24,从而G 24=G 24\ 即G?4 是自
<0 1 1
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1
1111 10 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0 10 1 10 11 0 110 110 1 10 11 0 111 1110 110 0 1111
1 1) 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 L 1 1、
对偶码。

（2）（P G）也是G24的生成阵：根据自对偶码的性质，容易证得。

（3） G24屮每一个码字的Hamming权都是4的倍数。

事实上，对于向量U = （%],•••,血）和V =（▼],•••,匕Jw 用4,定义
UV =（络片，…,u n v fl）e /^24 o
于是对任意U, V G G24 ,易知69（u + V）= 69（u）4- 69（V）~ 2^9（U Q V）o G24中每一个码字C都是牛成阵G=（I12 P）中一些行之和，而G的每个行向量的Hamming权均是4的倍数。

因此所有码字的Hamming权均是4的倍数。

（4） G?4中没有Hamming权为4的码字。

G24中码字c表示成（x | y）,其中x和y分别是码字c的前12位和后12位，则69（c）= 69（x）+69（y）,如果O＞（C）= 4 ,则有几种可能。

①風x） = 0, ^（y） = 4, G24中码字c是生成阵G = （l12 P）中一些行之和，而X是112中对应行之和，Eb ^＞（x） = 0可知c = 0,这与0（c） = 4矛盾。

同样的由于（P ij也是生成阵，^y（x） = 4, 0（y） = O也是不可能的。

②G（X）=2, e（y） = 2, c是生成阵G=（l12 P）中两行之和，但是P中任意两行Z和权都不等于2,所以不可能。

③Q（x）=l, 69（y） = 3 , C是生成阵G = （l12 P）的某一行，但是P中每
一行权都大于3,所以不可能。

同样用牛成阵（P 1卫）可知e（x） = 3,風y） = l 也不可能。

综上所述，G24中没有Hamming权为4的码字。

容易看出生成阵的第二行的Hamming权为8。

于是d = 8,这就完成了定理的证明。

现在将二元线性码G?4的每个码字的最后一位去掉得到集合
G23={(C1,--S C23)G/Y3 I 存在C24 使得
(q,…,
容易验证，这是一个二元线性完全码，且将二元线性码G24的生成阵G = （l12 P）
去掉最后一列，便是G23的生成阵。

由于这个生成阵中仍然含有子方阵J，且生成阵中含有权为7的向量，因此得到如下推论：
推论4・4 (Golay)存在参数为［23,12j］的二元线性码G23，并且是完全码。

最后介绍Golay的三元线性码，它的构作方式与二元线性码G23非常相似。

定理4・5 (Golay) (1)以
/ 011111)/ 0 1 1 1 1 P
1012211
G =(I6 P)=1101221
1616
121012 1 P
1221011
11221 1 丿
为牛成阵的三元线性码久是参数为［，讥,d］ = ［126,6］的自对偶码。

(2)将Ge的所有码字去掉末位得到G"是参数为［仏k,d］ =［11,6,5］的三元线性码，并且是完全码。

仿照定理4.3和推论4.4,可类似证明上面结论。

上面介绍的两个线性码是非常重要的完全码，具有良好的代数结构，在实际
屮有重要应用价值［⑴。

5 MDS线性码——多项式码
5.1 Singleton界与MDS码的定义
前面提到线性码的最小距离和校验矩阵有着密切的关系，即C的最小距离就等于校验矩阵H的列向量□，•••,%中线性相关的最少个数，而校验矩阵H的秩是n -k ,于是H的列向量中最多只能有〃-比-1个线性相关，这就是说
d <n-k-\o
下面的定理表明上述结论在一般的纠错码中同样成立。

定理5・1 (Singleton界)如果存在g元码(n,K,d) (1 < 6/ < /? -1),贝
K < q n'd+x (即n>k + d-l )o
证明设C是q元码对每一个a e Fq ,令C“是C中所有末位是G的码
字去掉末位之后组成的子集合：
C“ = {(q，(?2,c”_］) | (q, q，…,c”_i, a) w C} o
容易知道d(C a) > 6/(C)= d o对于码长为/?-1的q个码C “ (awFq),所有码字个数之和为|C|二K,即K=》|C“|。

因此由抽屉原理可知存在awFq,使得|Cl>-,即必存在参数［n-\>-,>d\的q元码。

这样做下去，即知存在参数q I q丿
为/的g元码C',而dS〃(C')sMC') = d,所以C的码长和最小距I 9 丿
离都是d,可知C至多有q个码字。

于是q>\c\>-^,从而K 5 q"。

定义5・1设C是g元码［n.k.d］ o如果n = k + d-1 (即达到Singleton 界)，则
C叫做极大距离分离码，简称为MDS (Maximal Distance Separable)码。

5.2多项式码简介
现在介绍一种好的线性码：MDS线性码。

定义5・2设®,・・・,Q”是打中n个不同的元素(于是刃Vg), 。

贝
的子集合
C = ^f =(fM /(。

2>…,/(色))丘巧T/G)誌/1}
叫做©上的多项式码。

为了证明多项式码是MDS线性码，先引进简要说明两个引理。

引理5・2设C是参数为\n^d］的g元线性码，G是码C的一个生成阵。

如果G中任意R列均是耳-线性无关的，则码C是MDS码。

证明记
c2
G二C3二仏，…，冷)，
■
■
如果码C不是MDS线性码，即d。

-k +1 ,则C中有非零码字C = 6Z,c, +•••+◎& （yw厲且不全为零）使得\<Gj{c）<n-k o于是c = （q,…，c“）至少有k位是0, 设为5 =% = ••• = " = 0,贝必阶方阵（11〃u/2…uj的R个行是线性相关的, 从而k个列也是线性相关的。

这与条件矛盾，得证。

引理5・3设C是参数为\n^d]的g元线性码，G是码C的一个生成阵。

则竹上/-k）xk矩阵H是校验阵当且仅当rank（H）» - £且GH r = 0kn_k。

证明充分性显然，
下证必要性，对任意vwC，则v =（冏，<72,…，％）G，从而由GH7 = 0A. _A.
n
可知
vH、（％ s …“）・G・lT=（% g …4）°&心=0—
因rank[^） = n-k ,故H是校验阵。

这个引理表明，线性码的生成阵G的一个基础解系组成的（n-k）xk矩阵即
是这个线性码的一个校验阵I⑶。

定理5.4定义5.2的多项式码C是参数为的g元线性码，且d = n-k + \（即是MDS线性码）。

证明（1）先证码C是一个线性码，任取C中两个码字
c z=（他）,•••,/（〜）》Q = （g（qg（d“））w C,
其中f（x）, g（兀）€巧[兀],deg/,degg <Z:-1 o根据多项式环的性质，对任意a, b w Fq, h（x） = a - /（x）+Z? - g（x） e F q [%], .H. deg h<k- \,从而
即C是码长为〃的q元线性码，
（2）易知，集合
M = {feF q[x]\degf<k-}\,
是巧上以{1,兀，…，*卄为基的R维向量空间，与该组基对应的码字为：
首先这组向量是线性无关的(如若不然，则存在巧中一组不全为零的数
石,•…,血」,使得入c ° +• •・+2R _]C K _} =0,于是人）・1 +入•兀—•+兄•无* " = 0 ,矛
・1 人 盾)。

对任意C/=(/(q),・・・ J(aJ)wC,其中于(兀)=附1+处•兀+•・•+/_] •兀z,于 是
C f =“（）・C| + “ ・C| +•••+“-]・C&
是码C 的一个生成阵。

并且G 的任意R 列的行列式是一个Vandermonde 行列式， 所以都线性无关。

于是C 是一个MDS 线性码。

(3) 先求多项式码C 的校验阵。

根据引理5.3,需要先求幽齐次线性方程 组GX
= 0的解空间，其中X =(西,…，兀J 。

因为sng = k,取为自 由未知量，我们分别用n-k 个向量
(―1 ,(),••• ,0),(0, —,0),…,(0,0, •••, — !)
来代替如宀…兀「得到下而的方程组,
厂
■ 1
1 … 1 ~
5
… 勺
G = C °
■
■ —
■ ■ 2 a 2 ■ ■ …a n~ • • • •
•
c 知
1） \ X /
■
■ R-1
a 2 • •
A-1 … a
n J
即矩阵 1 4 2 ■ •
1 … O ）
… 厶
7 a J … • • •
• 1・
a
k 2 a k
• •
■
X. 厶
x 3
• •
1 ■
a
k+i ■ •
•
£一1
• •
k-\ • k-\ ■
k-\
a 2
…
C h J
H./J
9 其中…，KI — k O
下证k 个向量C]，c v ,
5=（1, 1,…，1）, 5=（如…，
（2 2
C 三=Cl 2 ,…
a
n\ 9
a ；
k-\
,c ?_,是线性子空间
C 的一组F q ■基。

所以上面厂个向量是线性子空间c 的一组基,
为Vandermonde行列式W 则由虬』2，・・・,11冲。

因此这个多项式码的校验阵为
H= h.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13=（A
_IQ,
Cramer法则可解出n-k个线性无关的解
■
g•丿
其中A = （dJ是一个行k列的矩阵，是n-k阶单位阵，而
（6Z--的分子是将分母中的幻改成％+,）
多项式码是一种编码速率高、检错能力强、具有代数结构的码制。

它在数字通讯、计算机控制、计算机网络、远动技术等领域中，都得到广泛地应用[⑸。

参考文献:
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