艺考生复习资料--七立几基础

立体几何
一、空间的直线与平面
1、平面：几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示. (1)平面的表示方法： 。

(2)用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A ∈l 表示点A 在直线l 上； A ∉α表示点A 不在平面α内；l ⊂α表示直线l 在平面α内；
a ⊄α表示直线a 不在平面α内；l ∩m=A 表示直线l 与直线m 相交于A 点；
α∩l=A 表示平面α与直线l 交于A 点；α∩β=l 表示平面α与平面β相交于直线l. 2.平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 3.证题方法
4.空间线面的位置关系
平行—没有公共点
共面
(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行，又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点 相交—有一条公共直线(无数个公共点) (3)平面与平面
平行—没有公共点 5.异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
有时也可用“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 6.线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定
①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a ∥α,a β，α∩β=b,则a ∥b.
③平行于同一直线的两直线平行，即若a ∥b,b ∥c,则a ∥c.
④两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a ∥b
证题方法
间接证法 直接证法
反证法
同一法
(2)两直线垂直的判定
①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c
③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a
⊥b.
④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.
(3)直线与平面平行的判定
①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即
若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.
③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.
(4)直线与平面垂直的判定
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.
(5)两平面平行的判定
①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.
②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂
α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.
③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.
④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(6)两平面垂直的判定
①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，
则α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.
(7)线、线关系和线、面关系的辨证法
7.射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.
(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
9.空间中的各种角
等角定理及其推论
定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围： .
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
10、直线和平面所成的角
(1)定义和平面所成的角有三种：
(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围：
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
11、二面角及二面角的平面角
(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB ⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.
(iii)二面角的平面角所在平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD ⊥α， 平面PCD ⊥β.
二、棱柱、球
1、多面体：
____________________________________________________________________ 2、棱柱：
（1）棱柱的有关概念： 的多面体叫棱柱； 的
棱柱叫直棱柱； 的棱柱叫正棱柱； 叫平行六面体；
_______________________________叫长方体； 的叫正方体. （2）棱柱的分类：
①按侧棱与底面的位置关系分：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱。

②按底面多边形的边数分：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱
柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……
｛正方体｝⊊｛长方体｝⊊｛直平行六面体｝⊊｛平行六面体｝⊊｛四棱柱｝
（3）棱柱的性质：①___________________②___________________③__________________.
设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，对角线长为l ，则l 2=a 2
+b
2
+c 2
（4）两个定理①______________________________；②_______________________________. 3、棱椎：
⑴棱锥：有一个面是_______________（底面）②其余各面都是有__________________(侧面).
正棱锥：底面____________② 顶点________________ 叫正棱锥 ⑵棱椎的截面性质定理：_________________________.
⑶正棱锥的性质 ：①________________________②___________________________. 4、正多面体的概念：____________________种类:_______________________________. 5、球的定义： 叫球体（简称球）， 叫球面．
6、球的截面性质：用一个平面截一个球面，所得截线是以 为圆心，以ｒ＝ 为半径的一个圆，截面是一个 ．
7、大圆、小圆与球面距离： 。

8、球S ＝ ，球V = 。

9、球的截面的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面。

作图并讨论垂直的理由。

②设球心到截面的距离为d ，截面圆的半径为r ，球的半径为R ，则：r=2
2
d R
课本题 1．点A 、B 到平面α距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于_____。

2．已知PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为600，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是 。

3．已知△ABC 中，AB=9，AC=15，∠BAC=1200，这三角形所在平面α外的一点P 与三
个顶点的距离都是14，那么P 到平面α的距离是 。

4．在平面角为600的二面角βα--l 内有一点P ，P 到α、β的距离分别为PC =2cm ，
PD =3cm ，则P 到棱l 的距离为____________。

5．三棱柱的一个侧面面积为S ，此侧面所对的棱与此面的距离为h ，则此棱柱的体积为 。

6．已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，D 是底面三角形内一点，且
∠DPA =450，∠DPB =600，则∠DPC =__________。

7．在正三棱锥S —ABC 中，侧棱SC ⊥侧面SAB ，侧棱SC =32，则此正三棱锥的外接球的
表面积为 。

8． 自半径为R 的球面上一点P 引球的两两垂直的弦PA 、PB 、PC ,则222PC PB PA ++=_____。

P23练习2,3,4 ; P26练习1；P28练习6;P29习题8,12,13,14；P32练习2；P35练习1,3 P37练习2,3习题2,3,7,8,911,13,14 ;P45练习3,4 P46习题3,5,6,7,8,9,10; P52练习5,6 P54练习3,4; P60练习3,5 P64复习题1，2，3，4，5，6，7，12，13，14，15
高考链接：
1． 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 条件
2.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于
3.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为
4.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于
5.设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：
6.设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是
（A ）βαβα⊥⊥,//,b a （B ）βαβα//,,⊥⊥b a （C ）βαβα//,,⊥⊂b a （D ）βαβα⊥⊂,//,b a
7.．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是
A ．,,m n m n αα若则‖‖‖
B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖
C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖
8.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为
9，设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是
A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n
B.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β
C.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β
D.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α
N
M
A B
D
C
O
10.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为
11.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。

已知该六棱
柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9
8
，底面周长
为3，那么这个球的体积为 ____
12.若一个球的体积为π34，则它的表面积为_______ ．
13.已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为 ，则该正四棱柱的体积等于_____________。

14.若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .
15.如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于___________。

16.在体积为43π的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BC =2，A ，C 两点的球面距离为
3
3
π，则球心到平面ABC 的距离为_________．
17.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知
60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．
（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

18.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线MN OCD
平面‖；
（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。