新华师大版九年级上册数学摸底试卷第一集参考答案和评分标准

新华师大版九年级上册数学摸底试卷（一）
第21章 二次根式单元测试卷A 卷参考答案
一、选择题（每小题3分,共30分）
二、填空题（每小题3分,共15分）
11.
2
5
12. 2 13. < 14. 535+ 15. 2
三、解答题（共75分）
16. 计算:（每小题4分,共8分） （1）
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-23131221
; 解:原式(
)
233+-=
2
233-=--=
（2）()()()
2227373-++- 解:原式22279-+-= 22= 17. （6分）
若8
1
243422+-+-=x x y ,求xy 的值.
解:∵42-x ≥0,x 24-≥0 ∴x ≥2,x ≤2
∴2=x ……………………………4分
∴8
1
=y ……………………………5分
∴2
14181
2==⨯
=xy . ……………………………………6分 18. （7分）
已知△ABC 的三边长分别为c b a ,,,且
满足05962=-++-b a a . （1）求第三边c 的取值范围; （2）求△ABC 的周长l 的取值范围. 解:（1）05962=-++-b a a
()0532=-+-b a
……………………………………1分 ∵()2
3-a ≥0,5-b ≥0
∴05,03=-=-b a ∴5,3==b a
……………………………………3分
∵c b a ,,为△ABC 的三边长 ∴3535+<<-c ∴82<<c ;
……………………………………5分 （2）∵5,3==b a ,82<<c ∴853253++<<++l ∴1610<<l .
……………………………………7分 19. 先化简,再求值:（每小题8分,共16
分）
（1）
⎪⎭⎫
⎝
⎛+-÷++-121122
2
x x x x x ,其中3=x ;
解:⎪⎭⎫
⎝
⎛+-÷++-121122
2x x x x x ()()x
x x x x x x 111
112-=-+⋅
+-=
……………………………………6分 当3=x 时 原式3
3
33
13-=
-=
. ……………………………………8分 （2）
()()()()y x x y x y x y x --+-++522,其
中12,12-=+=y x .
解: ()()()()y x x y x y x y x --+-++522
xy x y x y xy x 554422222+--+++=
xy 9=………………………………6分
当12,12-=+=y x 时 原式(
)(
)
9121
29=-+⨯
.
……………………………………8分 20. （8分）
直线()23-+-=n x m y 如图所示,化简:1442--+---m n n n m .
y
x
O
解:由图象可知:
⎩
⎨
⎧<->-020
3n m ∴2,3<>n m
……………………………………3分 ∴1442--+---m n n n m
()122----
-=m n n m
……………………………………4分
()12-----=m n n m
……………………………………6分
()1
212++--=+----=n n m n n m
1-=………………………………8分
21. （6分）若最简二次根式152++a a 与
b a 34+是同类二次根式,求b a ,的值.
解:由题意可得:
⎩
⎨
⎧+=+=+b a a a 34522
1 ……………………………………4分 解之得:
⎩
⎨⎧==11
b a ……………………………………6分 22. （7分）已知12,12+=-=y x ,
求x
y
y x +的值. 解:∵12,12+=-=y x ∴(
)(
)
112121
2=-=+-=
xy
221212=++-=+y x
……………………………………2分
∴()xy
xy
y x xy y x x y y x 22
22-+=+=+ ……………………………………5分
()61
1
2222
=⨯-=
.
……………………………………7分 23. （8分）
已知01326422=+++++-z y y x x ,求()z
xy 的值.
解:01326422=+++++-z y y x x
()()0
2964422
=++++++-z y y x x
()()023222=++++-z y x
……………………………………4分 ∵()2
2-x ≥0,()2
3+y ≥0,2+z ≥
∴02,03,02=+=+=-z y x ∴2,3,2-=-==z y x
……………………………………6分 ∴()()[]
()
36
16322
2
=
-=-⨯=--z
xy . ……………………………………8分 24. （9分）一个三角形的三边长分别为x
x x x 5445,2021,55
. （1）求它的周长;
（2）请你给一个适当的x 值,使它的周长为整数,并求出此时三角形的周长. 解:x
x x x C 54
45202155
++=∆ x x x x 52
5
52
155=++=;
……………………………………6分 （2）答案不唯一.
……………………………………9分
新华师大版九年级上册数学摸底试卷（一）
第21章 二次根式单元测试卷B 卷参考答案
一、选择题（每小题3分,共30分）
二、填空题（每小题3分,共15分）
11. m ≥9 12. 223+ 13. 124- 14.
m
4
15. 2016 三、解答题（共75分）
16. 计算:（每小题4分,共8分） （1）
()()
232733330
2
-+-++-
π
解:原式3233133-+-+-= 33-= （2）
(
)
()
2
21233
6318-+
-+
+-
解:原式21132
3323-+++-
=
1
231212123-=-++--=
17. 先化简,再求值:（每小题8分,共16
分）
（1）
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+÷-11112x x x ,其中
()0
32133221---=
πx ; 解:
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+÷-11112
x x x ()()x
x x x x
1
11-⋅-+=
1
1
+=
x ……………………………4分 ()0
32
133221---=
πx 122
3
22--= 12
2
-=
…………………………6分 当12
2
-=
x 时 原式22
21112
2
1==
+-=
.
……………………………………8分
（2）()()2221112111--+++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x x ,其中2=x .
解:()()2
22
1112111--+++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x x ()
()
x
x x x x 41112
+⋅
+=
()
141
++=
x x x …………………………5分
当2=x 时 原式()
141
++=
x x x
x
41
=
…………………………7分 8
22
41==
……………………………………8分 18. （10分）
解:∵βα+-150≥0,βα--150≥0 ∴()150-+βα≥0,()βα+-150≥0 ∴βα+≥150,βα+≤150 ∴150=+βα
……………………………………3分 ∴03253=+-+-+a b b a ……………………………………4分 ∵53-+b a ≥0,32+-a b ≥0
∴⎩⎨⎧=+-=-+0
320
53a b b a ……………………………………6分
解之得:⎩
⎨⎧==12
b a
……………………………………9分
∴212=⨯=ab .
……………………………………10分 19. （10分）已知526-=x ,求
()
12421212--⋅
⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x x x x 的值. 分析:一般情况下,像526-这样的双重二次根式,其被开放数526-必为完全平方数（式）.
解:∵526-=x
∴152)5(15252+-=+-=x
(
)
1
5151
52
-=-=
-=
……………………………………4分
()
12421212--⋅
⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x x x x ()()()()()
1
1222222-=
-+-⋅
+-=
x x x x x x x x
……………………………………8分 当15-=x 时
原式2
5151
1515--=
---=
()()()()5
325252515+=+-+-=
……………………………………10分
结论:对于二次根式
C B A -,若
C B A 22-是完全平方数,则C B A -也
是完全平方数.
20. （10分）已知0>a ,
a a y a a x -+=+-+=3,25,试
比较x 与y 的大小. 解:∵25+-+=a a x a a y -+=3 ∴
()(
)2
52
52
5+++++++-+=
a a a a a a x
2
53+++=
a a
(
)(
)a
a a
a a
a y ++++-+=
333
a
a ++=
33
……………………………………6分 ∵0>a
∴a a a a ++>+++325 ……………………………………8分
∴
a
a a a ++<
+++332
53
∴y x <…………………………10分 21. （10分）阅读材料: 解:（1）74-;
3
2; ……………………………………2分 （2）98;
……………………………………4分 解析:∵2
323,2
323+-=
-+=y x
∴1=xy
()
625232
+=+=x (
)
6252
32
-=-=
y
∴10=+y x
∴()xy
xy
y x xy y x x y y x 22
22-+=+=+ 98
1
1
2102=⨯-=
（3）①解:原式323332-+-= 2=;
……………………………………6分 ②2009;（过程略）
……………………………………8分 （4）c b a >>.
……………………………………10分 解析:∵20052006-=a
2007200820062007-=-=c b
∴200520061
+=
a
2006
20071
+=
b
2007
20081+=c
∵
2007
20082006200720052006+<+<+∴
2007
200812006
200712005
20061+>
+>
+
∴c b a >>. 22. （11分） 设n n
n n n y n n n n x ,11,11-+++=
++-+=为
自
然
数
,
如
果
199********=++y xy x 成立,求n 的
值. 解:∵n n n n x ++-+=
11
n
n n n y -+++=11
∴1=xy
()
()121212
+++=-+=n n n n n x (
)
()121212
+-+=-+=
n n n n
n y
∴24+=+n y x
……………………………………4分 ∵199********=++y xy x
∴()1993197222=++xy y x
()()1993
19321993
197422
2=++=+-+xy y x xy xy y x
∴()199********
=++n
()900242=+n
3024±=+n
∴3024=+n 或3024-=+n 解之得:8,721-==n n
……………………………………10分 ∵n 为自然数 ∴7=n .
……………………………………11分
部分选择题、填空题答案解析
6. 已知61
=+
x
x ,且10<<x ,则x
x 1
-
的值是 【 】 （A ）2 （B ）2-
（C ）2± （D ）不能确定
解析:∵61
=+
x
x ∴4112
2
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x ()
2464
62
=-=-=
∴21
±=-x
x
∵10<<x
∴x x 1<
∴21
-=-x x
答案选择【 B 】.
重要结论:
若10<<x ,则x x 1<;若1>x ,则x x 1
>.
10. 已知n 为正整数,化简
()2
211
11++
+
n n 的结果是 【 】 （A ）1111+++n n （B ）11
11++
-n n （C ）1111+-+n n （D ）11
11+-
-n n 解析:结论也是已知信息,由题目提供的四个备选答案可知:被开方式必为完全平方式.
我们可取1=n ,易知【 C 】正确.再一般化,此时目标明确.
()()()()
2
22
2
2
2
2
21111111+++++=+++
n n n
n n n n n ()()()[]()[]()[]()()2
2
2
2
2
2
11111111
121⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+++=+++=
+++++=n n n n n n n n n n n n n n
∵n 为正整数 ∴原式()()()()
11
1111+++=
+++=
n n n n n n n n ()
11
1++=n n
1
1
11+-
+
=n n 注意:
()1
1
111+-=+n n n n .
答案选择【 C 】. 或选作下题: 设
2
222222220181201711413113121121111++++++++++++
= s ,则与s 最接近的数是 【 】 （A ）2017 （B ）2018 （C ）2019 （D ）2020 解析:由上面的解析可知,当2017=n 时,
2018
1
20182018112017-
=-
+=s 由结果可知,与s 最接近的数是2018. 答案选择【 B 】.
11. 无论x 取任何实数,m
x x +-62都有意义,则m 的取值范围是
__________.
解析:本题的意思即:无论x 取任何实数,被开方数m x x +-62均为非负数.
996622-++-=+-m x x m x x
()932
-+-=m x
∵()2
3-x ≥0
∴当9-m ≥0,即m ≥9时
()932-+-m x ≥0
也即m x x +-62≥0.
12. 若实数y x ,满足
052422=+--+y x y x ,
则
x
y y x 23-+的值是_________.
解析:052422=+--+y x y x
()()()()0
120
12442
2
22
=-+-=+-++-y x y y x x
∵()2
2-x ≥0,()2
1-y ≥0
∴01,02=-=-y x ∴1,2==y x ∴2
231223-+=
-+x
y y x
()
(
)
2
231
21
21212121
21
21
22)2(121222122
2
2+=+=
-+=
-+=-+=
+-+=
+-+= 14. 设0>m ,已知m x x =--+13,则代数式
13-++x x 的值是
_________（用m 表示）. 解析:因为
(
)(
)
4131
3=--+-++x x x x
所以
m
x x x x 41
3413=
--+=
-++.
新华师大版九年级上册数学摸底试卷（二）
第22章 一元二次方程单元测试卷A 卷参考答案
一、选择题（每小题3分,共30分）
二、填空题（每小题3分,共15分）
11. 1- 12. 3- 13. 4,221=-=x x 14. 1 15. 2
1>
m 三、解答题（共75分）
16. 解下列方程:（每小题4分,共8分） （1）()()06112
=----x x ;
解:061122=-+-+-x x x
0432=--x x
()()2541432
=-⨯⨯--=∆
2
25
3±=
x ∴12
5
3,425321-=-==+=
x x ; （2）（2）03722=+-x x （用配方法解）.
解:3722-=-x x
1649231649272
32722+
-=+--=-
x x x x
1625472
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x 4547±=-
x ∴4547=-x 或4
547-=-x
∴21
,321==x x .
17. （6分）
已知26,1722+=-+=x B x x A ,当x 为何值时,?B A = 解:261722+=-+x x x
0322=-+x x
()2532412=-⨯⨯-=∆
4
25
1±-=
x 145
11=+-=
x ……………………3分 234512-=--=x …………………6分
∴当1=x 或23
-=x 时,B A =.
18. （9分）已知关于x 的方程
022=-++m mx x .
（1）若此方程的一个根为1,求m 的值; （2）求证:不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. （1）解:把1=x 代入该方程得:
021=-++m m 解之得:2
1
=
m ; ……………………………………3分 （2）证明:()242--=∆m m
()()4
24448
42
22
+-=++-=+-=m m m m m
……………………………………6分 ∵()2
2-m ≥0
∴()0422
>+-m
……………………………………8分 ∴0>∆
∴不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
……………………………………9分 19. （7分）证明:对于任何实数m ,关于
x 的方程()()221m x x =--总有两个不
相等的实数根.
证明:2222m x x x =+--
0232
2
=-+-m x x
……………………………………2分
()()22
243m ---=∆
2
241489m
m +=+-=
……………………………………5分 ∵2m ≥0 ∴0412>+m ∴0>∆
……………………………………7分 ∴对于任何实数m ,该方程总有两个不相等的实数根.
20. （9分）已知代数式752+-x x . （1）求证:不论x 取何值,这个代数式的值总是正数;
（2）求这个代数式的最小值以及此时
x 的值.
（1）证明:752+-x x
43254342552
2+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-=x x x
……………………………………3分
∵2
25⎪⎭⎫
⎝⎛-x ≥0
∴043
252
>+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-x ……………………………………6分 ∴0752>+-x x
即不论x 取何值,这个代数式的值总是正数;
（2）解:由（1）可知:
43252
+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x ≥43 ∴当025=-
x ,即2
5
=x 时,这个代数式的最小值为43
.
……………………………………9分 21. （9分）已知关于x 的一元二次方程()()=--23x x ︳m ︳.
（1）求证:对于任意实数m ,方程总有两个不相等的实数根;
（2）若方程的一个根是1,求m 的值及方程的另一个根.
（1）证明:()()=--23x x m
0652=-+-m x x
……………………………………2分
()()m ---=∆6452
m
m 4142425+=+-=
……………………………………5分 ∵m ≥0 ∴041>+m
……………………………………6分 ∴0>∆
∴对于任意实数m ,方程总有两个不相等的实数根;
（2）设11=x ,方程的另一个根为2x ,则有:
m
x x x x x x -==⋅=+=+651221221
……………………………………8分 解之得:2,42±==m x
……………………………………9分 ∴m 的值为2±,方程的另一个根为4. 22. （9分）已知关于x 的一元二次方程0122=-+-m x x 有两个实数根
21,x x .
（1）求m 的取值范围;
（2）当212
2
216x x x x =+时,求m 的值. 解:（1）∵该方程有两个实数根 ∴∆≥0
……………………………………1分 ∴()()1422
---m ≥0
解之得:m ≤2.
……………………………………4分
（2）∵212
2
216x x x x =+ ∴()21212
2162x x x x x x =-+
∴()212
218x x x x =+
……………………………………6分 ∴()1822-=m
……………………………………8分 解之得:2
3
=
m . ……………………9分
23. （9分）某商场以每件280元的价格购进一批商品,当每件商品售价为360元时,每月可售出60件.为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销.经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每月就可以多售出5件. （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?
解:（1）()480028036060=-⨯（元） 答:降价前商场每月销售该商品的利润是4800元;
……………………………………3分 （2）设每件商品应降价x 元,由题意可列方程为:
()()7200560280360=+--x x
……………………………………6分 解之得:8,6021==x x
……………………………………8分 ∵要减少库存
∴60=x .…………………………9分 答:每件商品应降价60元. 24. （9分）关于绝对值方程 阅读下面的例题,解答问题: 解方程:+2x x 02=-. 解:分为两种情况:
当x ≥0时,原方程可化为
022=-+x x ,解之得:1=x （2-=x 不
满足x ≥0,舍去）;
当0<x 时,原方程可化为022=--x x ,解之得:1-=x （2=x 不满足0<x ,舍去）.
综上所述,原方程的解为1,121-==x x . 请
参
照
例
题
解
方
程:--x x 623-x 03=+. 解:分为两种情况: 当x ≥3时,原方程可化为:
()03362=+---x x x
解之得:1,621==x x （舍去）; ……………………………………4分 当3<x 时,原方程可化为:
()03362=+---x x x
解之得:5,021==x x （舍去）. ……………………………………8分 综上所述,该方程的解为0,621==x x . ……………………………………9分
新华师大版九年级上册数学摸底试卷（三）
第23章 图形的相似单元测试卷A 卷参考答案
一、选择题（每小题3分,共30分）
二、填空题（每小题3分,共15分）
11.
52 12. 23 13. 2
9
或2 14. (
)
2,2 15. 7
三、解答题（共75分）
16.（8分）如图（15）所示,在△ABC 中,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,点F 是BC 延长线上一点,且BC CF 2
1
=,连结CD 、EF . 求证:EF CD =.
图（15）
F
E
D B
C
A
证明:∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点 ∴BC DE BC DE 2
1
,//=
……………………………………3分 ∴CF DE //
∵BC DE BC CF 2
1
,21==
∴CF DE =
……………………………………4分 ∵CF DE //,CF DE = ∴四边形DEFC 是平行四边形 ……………………………………7分 ∴EF CD =.
……………………………………8分 17.（8分）如图（16）,在正方形ABCD
中,Q 为DC 的中点,PC BP 3=.
求证:△CPQ ∽△DQA .
图（16）
P
Q
B
C
A
D
证明:∵四边形ABCD 为正方形
∴︒=∠=∠==90,D C AD CD BC ……………………………………1分 ∵PC BP 3=
∴PC AD CD BC 4===
……………………………………2分 ∵Q 为DC 的中点 ∴PC CQ DQ 2==
……………………………………3分 ∴
21
2,2142====PC CP DQ CP PC PC DA CQ ∴
DQ
CP
DA CQ =………………………5分 ∵D C ∠=∠,
DQ
CP
DA CQ = ∴△CPQ ∽△DQA .
……………………………………8分 18.（9分）如图（17）所示,在边长为1个单位长度的小正方形网格中: （1）画出△ABC 向上平移6个单位长度,再向右平移5个单位长度后的△
111C B A ;
（2）以点B 为位似中心,将△ABC 放大为原来的2倍,得到△222C B A ,请在
网格中画出△222C B A ; （3）求△21C CC 的面积.
图（17）
解:（1）如图（17）所示;
……………………………………3分 （2）如图（17）所示;
……………………………………6分 （3）9632
1
21=⨯⨯=
∆C CC S . ……………………………………9分 19.（9分）如图（18）所示,在菱形ABCD 中,G 是BD 上一点
,连结CG 并延长交BA 的延长线于点F ,交AD 于点E . （1）求证:CG AG =; （2）求证:.2GF GE AG ⋅=
图（18）
证明:（1）∵四边形ABCD 是菱形 ∴CDG ADG CD AD ∠=∠=, ……………………………………1分
图（19）
D E
A
H
N
F
G
B
C
在△ADG 和△CDG 中 ∵⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠=DG DG CDG ADG CD AD ∴△ADG ≌△CDG （SAS ）; ……………………………………4分 （2）由（1）可知:21∠=∠ ∵CD AB // ∴CD BF // ∴2∠=∠F
∴F ∠=∠1………………………5分 ∵F ∠=∠1,FGA AGE =∠ ∴△AGE ∽△FGA
……………………………………7分 ∴
GA
GE
FG AG =
……………………………………8分 ∴GF GE AG ⋅=2.
……………………………………9分 20.（9分）如图（19）所示,矩形FGHN 内接于△ABC ,F 、G 在BC 上,N 、H 分别在AB 、AC 上,且BC AD ⊥于点D ,交
NH
于
点
E .
若
2:1:,24,8===NH NF BC AD ,求矩
形FGHN 的面积.
解:∵四边形FGHN 是矩形 ∴FG NH // ∴BC NH // ∴△ANH ∽△ABC
……………………………………3分 ∵BC AD ⊥
∴NH AD ⊥,即NH AE ⊥ ∴
AD
AE
BC NH =
……………………………………5分 设x NF =,则x NH x DE 2,== ∴x DE AD AE -=-=8
∴
8
8242x
x -=
解之得:524
=x
……………………………………8分
∴5
48
5242,524=
⨯==
NH NF ∴08.466.98.4548
524=⨯=⨯=FGHN S 矩形
……………………………………9分 21.（9分）如图（20）所示,在四边形ABCD 中,︒=∠90ADC ,BC AD //,点E 在
BC
上,点
F
在
AC
上,AEB DFC ∠=∠. （1）求证:△ADF ∽△CAE ;
（2）当6,8==DC AD ,点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时,求四边形ABCD
的面积.
图（20）
E F
B
C
D
A
（1）证明:∵BC AD // ∴ACE DAF ∠=∠
……………………………………1分 ∵AEB DFC ∠=∠ ∴CEA AFD ∠=∠
……………………………………2分 ∵ACE DAF ∠=∠,CEA AFD ∠=∠ ∴△ADF ∽△CAE ;
……………………………………4分 （2）解:在Rt △ACD 中,由勾股定理得:
10682222=+=+=
CD AD AC
……………………………………5分
∵点F 是AC 的中点 ∴5102
1
21=⨯==
AC AF ……………………………………6分 ∵△ADF ∽△CAE
∴CE
CE AF CA AD 5108,== ∴4
25
=CE
……………………………………7分 ∵点E 是BC 的中点
∴2
25
42522=⨯==CE BC ……………………………………8分
∴2
123222586=⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+⨯=ABCD S 四边形. ……………………………………9分
22.（11分）如图（21）所示,在平面直角坐标系中,直线3+-=x y 与x 轴交
于点C ,与直线AD 交于点A ⎪⎭
⎫
⎝⎛35,34,点
D 的坐标为( 0 , 1 ). （1）求直线AD 的表达式;
（2）直线AD 与x 轴交于点B ,若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合）,当△BOD 与△BCE 相似时,求点E 的坐标.
y
x
图（21）
A
C
D
B
O
解:（1）设直线AD 为b kx y +=
把A ⎪⎭
⎫
⎝⎛35,34,D ( 0 , 1 )分别代入
b kx y +=得:
⎪⎩⎪⎨⎧==
+1
353
4
b b k ……………………………………2分
解之得:⎪⎩⎪
⎨⎧==1
21b k
∴直线AD 的表达式为12
1
+=
x y ; ……………………………………4分
（2）∵直线121
+=x y 与x 轴的交点B
为()0,2- ∴2=OB ∵D ( 0 , 1 ) ∴1=OD
∴51222=+=BD
∵直线3+-=x y 与x 轴交于点C ∴()0,3C
∴3=OC ,5=+=OC OB BC ∵△BOD 与△BCE 相似 ∴分为两种情况:
当△BOD ∽△BEC 时,如图所示,作
x EF ⊥轴于点F .
∵△BOD ∽△BEC ∴BC
BD
EC OD BC BD BE BO ==, ∴
5
51,552==EC BE ∴5,52==EC BE ∴25
5
52=⨯=⋅=
BC EC BE EF ∴122=-=EF EC CF ∴213=-=-=CF OC OF ∴()2,2E ;
……………………………………7分
当△
BOD ∽△BCE 时,如图所示.
∵△BOD ∽△BCE
∴
5
2
1,==CE BC BO CE OD ∴25
=CE
∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛25,3E
……………………………………10分
综上所述,点E 的坐标为()2,2或⎪⎭
⎫
⎝⎛25,3.
……………………………………11分 23.（12分）（1）如图（22）所示,点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上,且
BC DE //,AQ 交DE 于点P . 求证:
QC
PE
BQ DP =;
图（23）
N
M
F
G
E C
A
B
D （2）如图（23）（24）所示,在△ABC 中,︒=∠90BAC ,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连结AG 、AF ,分别交D
E 于点M 、N .
①如图（23）,若1==AC AB ,直接写出MN 的长;
②如图（24）,若AC AB ≠,求
证:EN DM MN ⋅=2. （1）证明:∵BC DE // ∴CQ PE BQ DP //,//
∴△ADP ∽△ABQ ,△APE ∽△AQC ……………………………………2分 ∴
QC
PE
AQ AP AQ AP BQ DP ==, ……………………………………3分 ∴
QC
PE
BQ DP =; ……………………………………4分
（2）①
9
2; ……………………………………7分 提示:由勾股定理得:
222=+=
AC AB BC
可证明：
3
2
=
=====CF EF GF DE DG BG 还可证明:
CF
NE
GF MN BG DM =
= ∴9
231==
==DE NE DM MN . 图（24）
②证明:∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠90C B ∵︒=∠+∠90BDG B ∴C BDG ∠=∠
∵C BDG ∠=∠,︒=∠=∠90EFC BGD ∴△BGD ∽△EFC ∴
EF
BG
CF DG =
∴BG CF EF DG ⋅=⋅ ∵EF GF DG == ∴BG CF GF ⋅=2
由（1）可知:
FC
EN
GF MN BG DM =
= ∴FC EN BG DM GF MN GF MN ⋅==⎪⎭
⎫ ⎝⎛222
∴FC BG EN
DM GF
MN ⋅⋅=2
2 ∵BG CF GF ⋅=2 ∴EN DM MN ⋅=2.
学生整理用图
新华师大版九年级上册数学摸底试卷（三）
第23章 图形的相似单元测试卷B 卷参考答案
一、选择题（每小题3分,共30分）
二、填空题（每小题3分,共15分）
11. 4
3
12.
5 13. 2 14. 9 15. 122
5-n n
部分选择题、填空题答案解析
4. 如图（4）,已知直线321////l l l ,一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A 、B 、C 分别在321l l l 、、上,︒=∠90ACB ,AC 交2l 于点D ,已知1l 与2l 的距离为1,2l 与3l 的距离为3,则BD AB 的值为 【 】
（A ）524 （
B ）534
（C ）825 （D ）23
2
20
图（4）
3
2
l 1
解析:作3l AE ⊥于点E ,交2l 于点F . ∴3,1==EF AF ∴4=+=EF AF AE ∵32//l l
∴△ADF ∽△ACE
∴4
1
==AE AF AC AD ∴AD BC AC 4== 设x AD =,则x BC AC 4== ∴x CD 3=
在Rt △ABC 和Rt △BCD 中,分别由勾股定理得:
()()x x x AB 244422=+= ()()x x x BD 54322=+=
∴
5
2
4524==x x BD AB ∴选择答案【 A 】.
6. 如图（6）所示,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点,则BE AD :的值为 【 】 （A ）1:3 （B ）1:2 （C ）5 : 3 （D ）不确定
图（6）
解析:连结AO 、DO .
∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形,点O 为BC 、EF 的中点 ∴BC AO EF DO ⊥⊥,
︒=∠=∠60ABO DEO ∴︒=∠=∠90AOB DOE
3tan tan =∠=∠ABO DEO
∴AOE AOB AOE DOE ∠+∠=∠+∠ ∴
BOE AOD OB
OA
OE OD ∠=∠==,3 ∴△AOD ∽△BOE ∴
3===OB
OA
OE OD BE AD 即=BE AD :1:3 ∴选择答案【 A 】.
8. 如图（8）所示,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,放置边长分别为 3 , 4 ,
x 的三个正方形,则x 的值为 【 】
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）12
图（8）
解析:4,3-=-=x GM x EF 不难证明:△DEF ∽△GMH
∴
MH EF
GM DE =
∴4343-=-x x 解之得:7=x （0=x 舍去） ∴选择答案【 C 】.
9. 如图（9）所示,点E 、F 分别在菱形ABCD 的边AB 、AD 上,且DF AE =,BF 交DE 于点G ,延长BF 交CD 的延长线
于点H ,若
2=DF AF ,则
BG HF
的值为【 】 （A ）32 （B ）127
（C ）21 （D ）125
图（9）
F
G
H
E
C
A
B
D
解析:∵四边形ABCD 是菱形 ∴AD AB CD AB =,//
∴△DFH ∽△AFB ,△DGH ∽△EGB ∴
EB
DH
BG HG AB DH BF HF AF DF =
==, 设x FG =
∵
2=DF
AF
∴2
1,21=+===x BG HF AB DH AF DF BF HF ∴()x BG HF +=21
∵DF AE =
∴AE DF DF AF AB AD 33==+== ∴AB AE BE 3
2
2=
= ∴4
3
2
123233
2=⨯=⋅===AB
DH AB DH BG
HG EB
DH ∴
4
3
=+BG x HF ∴()x x BG x HF BG 42
1
4443++⨯=+= ∴x BG 6=
∴()x x x HF 27621=+=
∴127627==x x
BG HF ∴选择答案【 B 】.
10. 如图（10）所示,矩形ABCD 的边长2,3==AB AD ,点E 为AB 的中点,点F 在边BC 上,且FC BF 2=,AF 分别与DE 、DB 相交于点M 、N ,则MN 的长为 【 】 （A ）
522 （B ）202
9 （C ）
423 （D ）5
24 图（10）
解析:作AD MH ⊥,交AD 于点H ∴AE MH //
∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC AD BC AD //,3== ∴BF AD // ∴△ADN ∽△FBN ∵FC BF 2= ∴23
2
==
BC BF ∴︒=∠=∠=45,FAD AFB BF AB ∴MH AH =
在Rt △ABF 中,由勾股定理得:
22222222=+=+=
BF AB AF
∵△ADN ∽△FBN ∴
2
3
==FB AD FN AN ∴5
26225353=⨯==
AF AN 设x MH =,则x DH x AH -==3, ∵点E 为AB 的中点 ∴12
1
==
AB AE . ∵AE MH // ∴△DHM ∽△DAE
∴
3
31,x
x DA DH EA MH -=
= 解之得:4
3
=x
∴43
==MH AH
在Rt △AHM 中,由勾股定理得:
42343432
2
22=
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=
MH AH AM ∴20
2
9423526=
-=
-=AM AN MN ∴选择答案【 B 】.
解析二:如图所示,延长DC ,交AF 的延长线于点G .
∵四边形ABCD 是矩形
∴BC AD CD AB CD AB //,2,//== ∵FC BF 2= ∴23
2
==
BC BF ,123=-=FC ∴︒=∠=∠=45,G BAF BF AB ∴1==GC FC
在Rt △ABF 和Rt △GCF 中,分别由勾股定理得:
22222222=+=+=
BF AB AF
2112
2
2
2
=+=+=GC FC GF
∴23=+=GF AF AG ∵点E 为AB 的中点 ∴12
1
==
AB AE . ∵CD AB // ∴DG AE // ∴△AEM ∽△GDM ∴
3
1
121=+==GM AM GD AE ∴42943,3==
=AG GM AM GM ∴4
2
52429=-=-=GF GM FM ∵BC AD // ∴BF AD //
∴△ADN ∽△FBN
∴
2
3
==FB AD FN AN ∴5
24225252=⨯==
AF FN 20
2
9524425=
-=
-=FN FM MN . ∴选择答案【 B 】.
解析三:如图所示,作AD FH ⊥于点H ,交DE 于点G .
∴AB FH AE GH //,//
∴△DHG ∽△DAE ,△AEM ∽△FGM ∵四边形ABCD 是矩形 ∴BC AD // ∴BF AD // ∴△ADN ∽△FBN ∵FC BF 2= ∴23
2
==
BC BF ∴123,2=-==DH AH ∵点E 为AB 的中点
∴121
==AB AE .
∵△DHG ∽△DAE
∴
1
31,HG
AE HG DA DH =
= ∴35
312,31=-==FG HG
在Rt △ABF 中,由勾股定理得:
22222222=+=+=
BF AB AF
∵△AEM ∽△FGM
∴
5
3
3
51===FG AE FM AM ∴4
25228585=⨯==
AF FM ∵△ADN ∽△FBN ∴
2
3==FB AD FN AN ∴5
24225252=⨯==
AF FN 20
2
9524425=
-=
-=FN FM MN ∴选择答案【 B 】.
11. 如图（11）所示,点O 是△ABC 中BC 边上的中点,且
3
2
=AD AB ,则=AC
AE
_______. 图（11）
解析:作AC BF //,交DE 于点F . 易证:△BOF ≌△COE ∴CE BF =
∵
32
=AD AB ∴31=AD BD ∵AC BF // ∴AE BF // ∴△BDF ∽△ADE
∴
31
==AD BD AE BF ∴31=AE CE ∴43=AC AE . 12. 如图（12）所示,在矩形ABCD 中,4,2==AD AB ,AC 的垂直平分线EF 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则
=EF _________.
图（13）
B
图（12）
解析:根据题目所给条件,不难证明: △AOE ≌△COF ∴OF OE = ∴OE EF 2=
在Rt △ABC 中,由勾股定理得:
52422222=+=+=
BC AB AC
∴52
1
==
AC OA 易证:△AOE ∽△CBA ∴
4
5
2,==OE CB AO BA OE ∴2
5=OE
∴52==OE EF . 13.
如
图
（
13
）
所
示,BC AC BC AC =⊥,,D 是BC 上一点,连结AD ,与ACB ∠的平分线交于点E ,连结BE .若76=
∆ACE S ,14
3=∆BDE S ,则=AC _________.
解析:作BC EH AC EF ⊥⊥, ∴CD EF //
易证明四边形EFCH 是正方形 ∴x EH CF EF === ∵76=∆ACE S ,14
3=∆BDE S ∴
4=∆∆BDE
ACE
S S ∴42121
==⋅⋅BD AC
EH BD EF
AC ∴BD AC 4= ∵BC AC =
∴BD CD BD BC 3,4== ∵CD EF // ∴△AFE ∽△ACD
∴
BD
x
BD AF DC EF AC AF 34,=
= ∴x AF 3
4
=
∴x x x CF AF AC 3
7
34=+=+=
∵7
6
=∆ACE S
∴7
63721=⨯⨯x x 解之得:76=x （76
-=x 舍去）
∴276
37=⨯=AC .
14. 如图（14）所示,在△ABC 中,正方形DEFM 的边MF 在BC 上,点D 、E 分别在
AB 、AC
上,若
4,1==∆DEFM ADE S S 正方形,则=∆ABC S ___.
图（14）
分析:图中△ADE ∽△ABC ,△ADE 的面积已知,根据相似三角形的性质:相似三角形的面积之比等于相似比的平方,只需求出△ADE 和△ABC 的相似比即可,又根据相似三角形的性质:相似三角形对应边上的高之比等于相似比,求出
AG
AH
即可. 解析:作BC AG ⊥,交DE 于点H . ∵四边形DEFM 是正方形 ∴GH DE BC MF DE =,//// ∴DE AH ⊥,△ADE ∽△ABC ∴
2
2
2
AG AH
AG AH S S ABC ADE =
⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆ ∵4=DEFM S 正方形 ∴2==GH DE ∵1=∆ADE S
∴122
1
=⨯⨯AH ∴1=AH ,3=+=GH AH AG ∴
9
11=∆ABC
S ∴9=∆ABC S .
15. 如图（15）所示,在矩形ABCD 中,1,2==CD AD ,连结AC ,以对角线AC 为边,按逆时针方向作矩形ABCD
的相似矩形C C AB 11,再连结1AC ,以对
角线1AC 为边作矩形C C AB 11的相似矩形122C C AB ,……,按此规律继续下去,则矩形1-n n n C C AB 的面积为_________.
图（15）
C 3C 2
C 1
B 3
B 2B 1...
C
B
A D
分析:本题属于规律探究题,解决问题的关键在于从有限的结果中（事实）去发现无限的变与不变的规律,最后获得一个能概括和刻画所有结果的通项公式.
解析:我们分别计算一下矩形C C AB 11、矩形122C C AB 、矩形233C C AB 的面积: 由勾股定理得:
5122222=+=+=
CD AD AC
由题意可知:
2
5
1,11==AB AD AC AB AB
∴2
5
1=AB
∴2
552511=⨯=C
C AB S 矩形 由勾股定理得:
()
25
2552
2
1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
AC 由题意可知:
5
25
2
5,2
112==AB AC AC AB AB ∴4
52=
AB ∴322
582525451
22==⨯=C C AB S 矩形 同法可以求出:
53
2
5321252
33==C C AB S 矩形 把三个面积写成一行如下:
5
3
32
25,25,25 可以发现分母的指数的规律是:12-n
∴矩形1-n n n C C AB 的面积为122
5-n n
.
三、解答题（共75分）
16.（15分）如图（16）所示,在四边形ABCD 中,BD AC ⊥交BD 于点E ,点F 、M 分别是AB 、BC 的中点,BN 平分
ABE ∠交AM 于点N ,BD AC AB ==,连结MF ,NF .
（1）判断△BMN 的形状,并证明你的结论;
（2）判断△MFN 与△BDC 之间的关系,并说明理由.
图（16）
解:（1）△BMN 是等腰直角三角形. ……………………………………2分
理由如下:∵,AC AB =点M 是BC 的中点
∴BC AM ⊥,BAC ∠=
∠2
1
1 ……………………………………4分 ∴︒=∠90BMN ∴△BMN 是直角三角形
……………………………………5分 ∵BN 平分ABE ∠ ∴ABE ∠=
∠2
1
2 ∵BD AC ⊥
∴︒=∠+∠90ABE BAC ∵21∠+∠=∠BNM
……………………………………6分 ∴()︒=∠+∠=
∠452
1
ABE BAC BNM ……………………………………7分
∴︒=∠=∠45BNM NBM ∴MN BM =
∴△BMN 是等腰直角三角形; ……………………………………8分 （2）△MFN ∽△BDC .
……………………………………9分 理由如下:∵点F 、M 分别是AB 、BC 的中点
∴AC MF AC MF //,2
1
=
……………………………………10分 ∵BD AC =
∴BD MF 21
= ∴2
1=BD MF ………………………11分 ∵MN BM =,BC BM 2
1
=
∴BC MN 21
=
∴21=BC MN ………………………12分 ∴BC MN BD MF =……………………13分 ∵AC MF // ∴FMB ACB ∠=∠ ∵︒=∠+∠90CBD ACB
︒=∠+∠90NMF FMB ∴NMF CBD ∠=∠
……………………………………14分
∵BC MN
BD MF =,NMF CBD ∠=∠ ∴△MFN ∽△BDC .
……………………………………15分 17.（20分）如图,在△ABC
中,10,45=︒=∠BC C ,高8=AD ,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . （1）求证:
BC
EF
AD AH =
; （2）设x EF =,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值; （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动）,设运动的时间为t 秒,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.
图（17）
（1）证明:∵四边形EFPQ 是矩形 ∴PQ EF // ∴BC EF // ∴△AEF ∽△ABC .
……………………………………3分 ∵BC AD ⊥ ∴EF AH ⊥ ∴
BC
EF
AD AH =; ……………………………………4分
（上面的结论是解决此类问题的重要一步,上面的书写为此类问题的规范书写）
（2）由（1）可得:
10
8x
AH =
∴x AH 5
4
=
……………………………………5分 ∴x AH AD DH EQ 5
48-
=-== ……………………………………6分 ∴
x x x x EQ EF S EFPQ
8545482+-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=⋅=矩形……………………………………7分 配方得:
=EFPQ S 矩形()2055
4
2+--
x ……………………………………9分 ∴当5=x 时,矩形EFPQ 的面积最大,其最大值为20;
……………………………………10分 （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,由（2）可知:4,5===PF EQ EF ……………………………………11分 ∵︒=∠45C
∴△PCF 是等腰直角三角形 ∴4==PC PF ∴9=+=PC PQ QC 分为三种情况:
①如图1,当0≤t ＜4时,设EF 、PF 分
别交AC 于点M 、N ,则△FMN 是等腰直角三角形
图 1
∴t FN MF ==
22
1
20t S S S FMN EFPQ -=-=∆矩形
∴20212+-=t S ;
……………………………………14分 ②当4≤t ＜5时,如图2所示,
图
2
F
t QC t ME -=-=9,5
∴()()[]2844952
1
+-=⨯-+-=
t t t S ; ……………………………………17分 ③当5≤t ＜9时,如图3所示,设EQ 交AC 于点K ,则t QC QK -==9. ∴()()2292
1
921-=-=
t t S ……………………………………19分
图 3
F
综上所述, S 与t 的函数关系式为:
()()()()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤≤-<≤+-<≤+-=9592
1
5428440202122
t t t t t t S
……………………………………20分
说明:在第（3）问题中,矩形EFPQ 与
△ABC 重叠部分与运动时间有关,运动时间不同,重叠部分的形状也不相同,因此要对时间进行分类讨论,根据不同时间段求面积S .
注意:当4=t 时,如图4所示;当5=t 时,
如图5所示;当9=t 时,面积S =0,故在这里不再给出图形.
图 4
(P )
图 5
F
18.（20分）某次数学课上,老师出了一道题:
如图1,在边长为4的等边三角形ABC 中,点E 在AB 上,
3
1
=AB AE ,点D 在CB 的延长线上,且ED =EC ,求CD 的长. （1）尝试探究
在图1中,过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F ,先确定线段AE 与BD 的大小关系是________,然后求出CD 的长为________. （2）类比延伸 如图
2,在原题条件下,若
)0(1
>=n n
AB AE ,△ABC 的边长为m ,则CD 的长为_______（用含m n ,的代数式表示）试写出解答过程.
（3）拓展迁移
在等边△ABC 中,点E 在BA 的延长线
上,点D 在直线BC 上,且ED =EC ,若△
ABC 的边长为a ,,b AB
AE
=则CD 的长为______________
（用含b a ,的代数式表示）.
图 3
解:（1）3
16,=
=CD BD AE ; ……………………………………6分 解析:如图1所示.
图 1
∵△ABC 是等边三角形 ∴︒=∠=∠60ABC A ∴︒=∠1202 ∵EF ∥BC
∴︒=∠=∠=∠60A ABC AEF
DCE ∠=∠1
∴△AEF 是等边三角形 ∴︒=∠=60,AFE FE AE ∴︒=∠1203 ∴32∠=∠ ∵EC ED = ∴DCE D ∠=∠ ∴1∠=∠D
在△BDE 和△FEC 中
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠EC DE D 321 ∴△BDE ≌△FEC （AAS ） ∴FE BD =
∵FE AE = ∴BD AE =
∵
31=AB AE ,3
1
4=AE ∴34
=AE
∴3
4
=BD
∴3
16
434=+=+=BC BD CD .
（2）m n m
+;
……………………………………9分
解:∵
m AB n AB AE ==,1
∴n
m AE 1=
∴n m
AE =………………………11分
由（1）可知:BD AE =
∴n
m
BD =
………………………13分 ∴m n m
BC BD CD +=+=.
……………………………………16分 （3）a ab -或ab a -.
……………………………………20分 解析:注意题目中的条件:“点E 在BA 的延长线上,点D 在直线BC 上”,据此分为两种情况:
①当点D 在线段BC 上时,如图3所示.
过点E 作EF ∥AC ,交B C 的延长线于点F .
∵△ABC 是等边三角形 ∴△EBF 也是等边三角形 ∴∠B =∠F =60° ∵ED =EC ∴∠EDC =∠ECD ∴∠BDE =∠FCE 在△BDE 和△FCE 中
∵⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠FE BE FCE BDE F B ∴△BDE ≌△FCE (AAS) ∴BD =CF ,BD =FC =AE ∵AB =a ,
b AB
AE
= ∴AE =BD =ab
∴ab a BD BC CD -=-=;
②当点D 在BC 的延长线上时,作和①同样的辅助线,如图4所示.
图 4
同理可证:△BCE ≌△FDE (AAS) ∴BC =FD =a
∵求出AE =CF =ab ∴a ab DF CF CD -=-=;
（可以排除点D 在线段CB 的延长线上）.
综上所述,CD 的长为ab a -或.a ab - 19.（20分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整. 原题:如图1,在△ABC 中,点D 是BC 边上的中点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线交AC 于点F ,若
,1=DE
AE
求CF
AF
的值. （1）尝试探究
在图1中,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G ,则AG 和BD 的数量关系是_________,CF
AF
的值是_________. （2）类比延伸
如图2,在原题的条件下,若
)0(>=m m DE
AE ,则CF AF
的值是______（用含m 的代数式表示）,试写出解答过程.
（3）拓展迁移
如图3,在△ABC 中,点D 是BC 边上一点,点E 是线段AD 上一点,BE 的延长线
交AC 于点F ,若
)0,0(,>>==b a b DE AE a DC BD 则CF AF
的
值是________（用含b a ,的代数式表
示）.
解:（1）2
1
,BD AG =;
……………………………………8分 提示:如图所示.
图 1
∵
1=DE
AE
∴DE AE =
易证:△AEG ≌△DEB ∴BD AG = ∵点D 是BC 的中点
∴BC BD AG 2
1
==
∴21=CB AG ∵AG ∥BC ∴△AFG ∽△CFB
∴2
1==CB AG CF AF ; （2）2
m ;
……………………………………12分 解:如图所示,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G .
∴BD AG //,△AFG ∽△CFB ∴△AEG ∽△DEB
图 2
∴
m DE
AE
DB AG == ∵点D 是BC 的中点 ∴DB CB 2= ∴
2
2m
DB AG CB AG == ……………………………………15分
∵△AFG ∽△CFB ∴
2
m
CB AG CF AF ==; ……………………………………16分 （3）
1
+a ab
. ……………………………………20分
图 3
提示:如上图所示,过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G . ∴BD AG //,△AFG ∽△CFB ∴△AEG ∽△DEB
∴
b DE AE
DB AG == ∵a DC BD
= ∴()DC a CB aDC BD 1,+==。