第3(4)讲 高斯克吕格投影

二、几种投影方式
圆锥投影 圆柱投影 方位投影 高斯克吕格投影 通用横轴墨卡托投影


高斯克吕格投影
高斯投影概念 高斯投影原理 高斯投影的变形分析 投影带的划分 高斯平面直角坐标系 通用横轴墨卡托投影


高斯投影的基本概念
高斯投影是等角横切椭圆柱投影。

高斯投影是一种等角投影。

它是由德国数学家高斯 (Gauss，1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格 (Kruger，1857～1923)加以补充完善，故又称“高斯—克吕 格投影”，简称“高斯投影”。

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高斯投影的原理
高斯投影采用分带投影。

将椭球面按一定经 差分带，分别进行投影。

N 中 央 子 午 线 高斯投影平面
中 央 子 午 线
c
赤道
赤道
S


高斯投影的基本条件：
（1）高斯投影为正形投影， 即等角投影； （2）中央子午线投影后为直 线，且为投影的对称轴； （3）中央子午线投影后长度 不变。

高斯投影坐标正算公式
根据三个条件，推导出投影的平面直角坐标表达如下
自赤道量起的到所求点的子午线弧长
x=X +
N N sin B cos B ⋅ l ′′2 + sin B cos 3 B (5 − t 2 + 9η 2 + 4η 4 ) 2 ρ ′′2 24 ρ ′′4
所求点的大地经度与该点所在带 的中央子午线的大地经度之差
N sin B cos 5 B (61 − 58t 2 + t 4 )l ′′6 + 720 ρ ′′6
N N y= cos B ⋅ l ′′ + cos 3 B (1 − t 2 + η 2 ) l ′′3 ρ ′′ 6 ρ ′′3 N cos 5 B (5 − 18t 2 + t 4 + 14η 2 − 58η 2 t 2 ) l ′′5 + ′′5 120 ρ
t = tan B,η = e′ cos B
2 2 2


高斯投影坐标反算
高斯投影坐标反算公式 在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面 是椭球面，已知的是平面坐标 (x, y)，要求的是大地坐 标 (B，L)，相应地有如下投影方程：
B = ϕ 1( x, y )⎫ ⎬ l = ϕ 2 (x, y) ⎭
同正算一样，对投影函数提出三个条件。

高斯投影坐标计算实现


高斯投影的特性
1）中央子午线投影后为直 线，且长度不变。

2） 除中央子午线外，其余 子午线的投影均为凹向中 央子午线的曲线，并以中 央子午线为对称轴。

投影 后有长度变形。

3） 赤道线投影后为直线， 但有长度变形。

赤道 子午线 O y 平行圈 x
中央子午线


4）除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。

5）经线与纬线投影后仍然保持
正交。

6）所有长度变形的线段，其长度变形比均大于l。

7）离中央子午线愈远，长度变形愈大。

赤道
中央子午线
平行圈
子午线
O
x
y
高斯投影的特性
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高斯投影的变形分析
（1）中央经线上无长度变形
（2）除中央经线长度比为1，任何在长
度比均大于1
（3）同一纬线距中央经线越远变形愈大
变形最大位于投影带边
（4）同一经线上，纬度越低，变形越大。

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投影带的划分
我国规定按经差6º和3º进行投影分带。

6º带自首子午线开始，按6º的经差自西向东分成60个带。

3º带自1.5 º开始，按3º的经差自西向东分成120个带。

高斯投影带划分
6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:
3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。

工程测量采用3 º带，特殊工程可采用1.5 º带或任意带
投影带的划分
6°带与3°带的区别与联系
6°带：从0°子午线起划分，带宽6 °，用于中小比例尺（1：25000以下）测图；
3°带：从1.5°子午线起划分，带宽3°，用于大比例尺（如1：10000）测图。

3°带是在6°带的基础上划分的，6°带的中央子午线及分带子午线均作为3°带的中央子午线，其奇数带的中央子午线与6°带中央子午线重合，偶数带与分带子午线重合。

投影带的划分
按照6º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：L。

=6ºN－3º（N为6º带的带号）
例：20带中央子午线的经度为：
L。

＝6º×20－3º＝117 º
按照3º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：L。

=3ºn（n为3º带的带号）
例：120带中央子午线的经度为
L。

＝3º×120＝360 º
若已知某点的经度为L，则该点的6º带的带号N由下式计算：
若已知某点的经度为L，则该点所在3º带的带号按下式计算：（四舍五入）
1)6
int(+=L N 3L n =投影带的计算
我国的投影带划分返回高斯-克吕格投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了控制变形，我国地形图采用分带的方法，每隔3°或6 °的经差划分为
互不重叠的投影带。

1：2.5万至1：50万的地
形图采用6 °分带方案。

从格林威治0 °经线开始，全球共分为60个投影带。

我国位于东经
72 °到136 °之间，共11个投影带（13-23
带）。

1：1万以及更大比例尺地图采用3 °分带方案。

自1952年起，我国将其作为国家大地测量和地形图的基本投影，亦称为主投影。

高斯平面直角坐标系x轴—中央子午线的投影y轴—赤道的投影原点O —两轴的交点O x y P （X ，Y ）
高斯自然坐标注：X 轴向北为正，
y 轴向东为正。

赤道
中央子午线
由于我国位于北半球，位于东经72 °到136 °之间，共11个投影带，各带又独自构成直角坐标系。

故：X值均为正，而Y值则有正有负。

世界地图
赤道
高斯平面直角坐标系
x y
o 1p 2p m y m x p p 280.272440180.23283622
−=+=′m y m x p p 360.136780650.3028551
1+=+=′m y m x p p 720.227559180.23283622（带号）+=+=m y m x p p 360.636780)(650.30285511带号+=+=500km =500000+ = 636780.360m =500000+ = 227559.720m 1
p y 2p y 2′
p y 1′p y 国家统一坐标：
2211,′′==p p p p x x x x （带号）（带号）
高斯平面直角坐标
例：
有一国家控制点的坐标:
x=3102467.280m ,y=19367622．380m，
（1）该点位于6˚带的第几带？
（2）该带中央子午线经度是多少？
（3）该点在中央子午线的哪一侧？（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？（第19带）（L 。

=6º×19-3º=111˚）（先去掉带号，原来横坐标y ＝367622.380—500000＝-132377.620m ，在西侧）
（距中央子午线132377.620m ，距赤道3102467.280m ）
经纬线网
在大于或等于1：10万的地形图上，经纬线只以图廓线的形式直接表现出来，并在图角处注出相应度数。

为了在用图时加密成网，在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线(图式中称“分度带”)，必要时对应短线相连就可以构成加密的经纬线网。

1：2 5万地形图上，除内图廓上绘有经纬网的加密分划外，图内还有加密用的十字线。

我国的1：50万——1：100万地形图，在图面上直接绘出经纬线网，内图廓上也有供加密经纬线网的加密分划短线。

方里网
方里网:是由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。

因为是每隔整公里绘出坐标纵线和坐标横
线，所以称之为方里网，由于方里线同时又是平行于直角坐标轴的坐标网线，故又称直角坐标网。

直角坐标网的坐标系以中央经线投影后的直线为X轴，以赤道投影后的直线为Y轴，它们的交点为坐标原点。

这样，坐标系中就出现了四个象限。

纵坐标从赤道算起向北为正、向南为负；横坐标从中央经线算起，向东为正、向西为负。

邻带坐标网
分带存在的问题？边界子午线两侧的控制点与地形图位于不同的投影带内，使得地形图不能正确拼接，采用带重叠的方法解决此问题。

不同点：1、x，y轴互异。

2、坐标象限不同。

3、表示直线方向的方位角定义不同。

相同点：数学计算公式相同。

高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角坐标系的异同点：
高斯平面直角坐标系笛卡尔坐标系
αα
o o y y
x
x ⅠⅠ
ⅢⅡⅡⅣⅣ
Ⅲp p
x=Dcos α
y=Dsinα
x=Dcos αy=DsinαD
D
独立平面直角坐标
当测区范围较小时，可将大地水准面看作平面，
并在平面上建立独立平面直角坐标系；
地面点的位置可用平面直角坐标确定；
坐标系原点一般选在测区西南角（测区内X、Y均为正值）；
原点坐标值可以假定，也可
以采用高斯平面直角坐标；
规定：X 轴向北为正，
Y轴向东为正。

O X
Y 测区
北
空间直角坐标
如图所示：
原点O —地球质心
Z 轴—指向地球北极
X 轴—指向首子午面
与赤道的交点
Y 轴—过O 点与XOZ 面垂直
如：A（X A ，Y A ，Z A ）X Z Y O 返回
通用横轴墨卡托投影
通用横轴墨卡托投影概念
UTM (Universal Transverse Mercator Projection)投影属于横轴等角割椭圆柱投影,它的投影条件是取第3个条件“中央经线投影长度比不等于1而是等于0.9996”，投影后两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献上也称它为m0＝0.9996的高斯投影。

基本公式如下：243224353225240.9996sin cos sin cos (594)2240.9996cos cos (1)cos (518)6120l N l x S B B N B B t l N l N y lN B B t B t t ηηη⎛⎞=++−+++⎜⎟⎝⎠
⎛⎞=+−++−++⎜⎟⎝⎠
L L 22242441110.99961cos (1)cos (2)cos 268m B l B t Bl η⎛⎞=+++−−+⎜⎟⎝⎠
L
UTM投影变形与投影带的划分
UTM投影变形的特点：
UTM投影的中央经线长度比为0.999 6，这是为了使得Ｂ＝０°，ｌ＝３°处的最大变形值小于0.001而选择的数值。

两条割线(在赤道上，它们位于离中央子午线大约±１８０ｋｍ(约±１°４０’)处)上没有长度变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两条割线以内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正
值。

UTM投影带的划分：
UTM投影的分带是将全球划分为60个投影带，带号1，2，3，…，60连续编号，每带经差为６°，从经度180°Ｗ和17４°Ｗ之间为起始带(1带)，连续向东编号。

高斯投影坐标与UTM投影坐标转换高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用Xutm=0.9996 * X高斯，Yutm=0.9996 * Y高斯进行坐标转换。

以下举例说明(基准面为
WGS84)：
输入坐标（度）高斯投影（米）UTM投影（米）
32 3543600.9 3542183.5
121 21310996.8 311072.4
Xutm=0.9996 * X高斯, Yutm=0.9996 * Y高斯
纬度值（X）3543600.9*0.9996 ≈3542183.5
经度值（Y）(310996.8-500000)*0.9996+500000 ≈311072.4
注：坐标点（32,121）位于高斯投影的21带，高斯投影Y值
21310996.8中前两位“21”为带号；坐标点（32,121）位于UTM投影的51带，上表中UTM投影的Y值没加带号。

因坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加
500000。

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