哈尔滨工业大学大二计算机专业集合论与图论试卷及答案 (2)

哈尔滨工业大学集合论与图论
计算机学院XX 年秋季
一、 解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）
1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。

（ A B ∆ ）
2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。

（42214-=）
3.设{}1,2,
,10A =，试求A 上反自反二无关系的个数。

（29022n n -=）
4.设{}12,,,p A u u u =，()1
12
q p p ≤
-。

试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。

（ ⎝
⎛-2/)1(p p q ） 5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。

（1
2
P +） 6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？
（m n 和为偶数）
7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。

如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？ （3个）
8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？
(36q p ≤-)
二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）
１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。

（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）
2.将置换（
123456789791652348
）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的
乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。

3.设00000101101
0000001000
0000A ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
12345
110000210110310100410110500001⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z ==。

字母表B 上所有字符串之集记为*B ，字母表E 上
所有字符串之集记为*E 。

试求*B 和*E 的基数有什么关系。

（相等）
5.集合{}1,2,3X =上可以定义多少个不相同的等价关系？ （5个）
6.画出偏序集{}()
1,2,3
2,⊆的哈斯图。

φ
7.求下图的顶点连通度和边连通度。

（3,3x λ==）
三、
1.设,A B C 和为任意集合，试证()()
()A B C A B A C ⨯=⨯⨯。

[]证设()(),x y A B C ∈⨯，则x A ∈且y B ∈，或x A ∈且y C ∈从而(),x y A B ∈⨯或
(),x y A C ∈⨯(,)()
()x y A B A C ∈⨯⨯即因此，()()
()A B C A B A C ⨯⊆⨯⨯。

反之，设()()
(),x y A B A C ∈⨯⨯，则(),x y A B ∈⨯或(),x y A C ∈⨯。

如果(),x y A B ∈⨯，
则x A ∈，y B ∈，从而y B C ∈，故()(),x y A B C ∈⨯；如果(),x y A C ∈⨯，则x A ∈且y C
∈
从而y B C ∈，故()(),x y A B C ∈⨯。

因此，()()()A B A C A B C ⨯⨯⊆⨯⨯。

所以，
()()()A B C A B A C ⨯=⨯⨯。

2.设:,:f X Y g Y Z →→。

如果g f 是满射，试证g 是满射。

[]证因g f 是满射，所以()()x X g f x ∀∑∈∃∈=∑Ｚ，使得。

令()y f x =，则
()()()y Y g y g f x ∈==∑且。

因此，g 是一个满射。

四、
1.设{}1,2,3X =，}2,1{=y ，{}:X Y f f X Y =→在X Y 上定义二元关系≅：,X f g Y ∀∈，
f g ≅当且仅当()()()()()()123123f f f g g g ++=++。

则
（1）证明≅是等价关系。

（2）求等价类的个数。

[]证Ⅰ（1）()()()()()()123123f f f f f f ++=++，故≅是自反的。

（2）若g f ≅，则)3()2()1()3(2()1(g g g f f f ++=++，即
)3(2()1()3()2()1(f f f g g g ++=++，故g f ≅。

≅是对称的。

（3）设f g ≅旦g h ≅，则331
1
()()i i i g i h ====∑∑∑3i=1
f ，从而()()33
f i h i =∑∑i=1
i=1
，故f h ≅，≅
是传递的。

Ⅱ因为()3
,3X
f Y f i ∀∈=∑i=1或4或5或6且每种情况均存在这样的映射，故有四个等价
类。

2.设R 为X 上的二元关系，试证：R 是传递的当且仅当R R R ⊆。

[]证设R 是传递的，则R R z x ∈∀),(，有y X ∈使得(),x y R ∈，R z y ∈),(。

由R 的传
递性知R z x ∈),(，故R R R ⊆。

反之，设R R R ⊆，往证R 是传递的。

为此，设
R z y y x ∈),(),,(，则由合成的定义有R R z x ∈),(。

再由R R R ⊆得R z x ∈),(。

因此，R 是
传递的。

五、
1.设A 为可数集，利用康托对角线法证明2A 是不可数集。

[]证因为(){}{}2~:0,1A Ch A f f A =→，所以只须证明()Ch A 不可数即可。

()f Ch A ∀∈，f 可表为0，1的无穷序列。

若()Ch A 可数，则()Ch A 的元素可排列成无重复项的无穷序列123,,,f f f 。

每个i f 可表成0，1的无穷序列123,,,
i i i f f f 。

用对角线法构造一
个0，1序列123,,,
g g g ：110f =若，则11g =；111f =若则10g =。

一般地，若0ii f =，则1i g =；如果1ii f =，则0i g =，1,2,3,i =，则12,,
g g 确定的函数()g Ch A ∈，但,1,2,
i g f i ≠=，
矛盾。

所以，2A 不可数。

2.设:,f X Y C D Y →⊆、。

试证()()()111\\f C D f C f D ---=
[]证()()()()()()()()11111111\\C
C C f C
D f C D f C f D f C f D f C f D --------====
六、一个K 一维立体K Q 是这样的无向图：顶点集为长为K 的所有0，1字符串之集，两个顶点邻接当且仅当相应的两个字符串仅有一个相应位不同，其他各位均相同。

1. K Q 有多少个顶点? ( )
2.证明K Q 是K -正则图。

( )
3.证明K Q 是偶图。

( )
4.证明K Q 是12K K -条边。

( )
5. 3Q 是否为哈密顿图？ ( )
⎡⎤⎣⎦
解（1）K Q 有2K
个顶点。

（2）按K Q 中边的定义知每个顶点的度为K ，所以K Q 是K -正则图；（4）由（1）和（2）知22K K q =，故边数12K q K -=
（3）根据K Q 中边的定义知每条边的两个端点名中1的个数的奇偶性不同。

于是，顶点名为偶数个1的那些顶点互相之间无边，其余顶点间也无边。

所以，K Q 为偶图。

（5）3Q 的图解为下：
七、
1.设(),G V E =是一个(),p q 图。

如果G 是一个K -正则图且每个回路圈的长度至少为4，试证：2p K ≥
[]证因为G 中无三角形且G 为K -正则图，所以2
22222p Kp q p ⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭。

因此，2p K ≥。

2.设G=（V，E）是一个平面图11p =≥V ，试证G 的补图c G 不是平面图。

[证]平面图中边数q 满足≤q 3p-6。

c G 边数1
1362
p p p ≥
---c q （）（），若要36c g p >-，则要它大于13240p -+>2p （p-1）-12p+24>0，p ，
2
213137324224p ⎛⎫->-
= ⎪⎝⎭
（
），
13 6.510.77222
p >
+=+> 故当11p ≥时36c q p >-，c G 不是平面图。

八、1.用数学归纳法证明每个比赛图中必有有向哈密顿路。

[证]设D 是p 个顶点的比赛图。

施归纳于p ：当p=1，2时结论显然成立。

假设当≥p 2时结论成立，往证对p+1个顶点的比赛图D 也成立。

从D 中去掉一个顶点u ，则得到一个具有p 个顶点的比赛图D-u 。

由归纳假设D-u 有哈密顿路12p u ，u ，，u 。

在D 中，如1uu 或p u u 为D
的弧，则结论成立。

今设1u u 及p uu 为D 的弧。

由于D 比赛图，所以u 与k u （k=2，，p-1）之
间有且仅有一条弧，于是必有一个最大i 使i u u 为弧，从而i+1uu 为D 的弧。

于是，
1i i+1p u u uu u 为D 的哈密顿路。

由归纳法原理知对任何p 本题结论成立。

[证毕]
2.列出无向树的特征性质（至少5个）
（1）G 是树当且仅当G 是连通的且无圈。

（2）G 的任两不同顶点间仅有一条路。

（3）G是连通的且边数q等于顶点数p减1。

（4）G中无圈且q=p-1，其中p，q同（3）中所言。

（5）G中无圈且任两不相邻接顶点间加一条边得到一个有唯一圈的图。

（6）G是极小连通图。