2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高一（上）期中数学试
卷
一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{x |x ＜﹣2}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．（﹣2，3]
B ．[﹣2，+∞）
C ．[﹣2，3）
D ．（﹣3，+∞）
2．化简
(a 2
3⋅−1−1
2−
1
2⋅b 1
3
√5
6
（a ＞0，b ＞0）的结果是（ ）
A ．1
a
B ．a
C ．a
b
D ．
1
ab
3．下列选项中，使|x ﹣1|＜2成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．﹣1＜x ＜3
B ．﹣3＜x ＜3
C ．0＜x ＜3
D ．0＜x ＜4
4．已知f （2x +1）＝3x ﹣2，且f （a ）＝7，则a ＝（ ） A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
5．数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想．在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)=
x 2
1+x 4
的图像大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．若函数f(x)={
a
x
，x ＞1，(2−a)x +3，x ≤1
在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(2，5
2] B ．(0，5
2]
C ．[5
2，+∞)
D ．∅
7．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝2﹣|x +2|．若对任意的x ∈[﹣1，2]，f （x +a ）＞f （x ）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，2）
B ．（0，2）∪（8，+∞）
C．（﹣2，0）D．（﹣2，0）∪（6，+∞）
8．用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义A∗B={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)
C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)
，若A＝{1，2}，
B＝{x|（x+a）（x3+ax2+2x）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（）A．4B．3C．2D．1
二、多项选择题本小题共4小题，每小题5分，共20分
9．已知0＜a＜b，且a+b＝1，则（）
A．a＜12＜b B．2ab＜1＜a2+b2
C．2ab＜a＜b D．a＜a2+b2＜b
10．给出以下四个命题，其中真命题是（）
A．集合A＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}，集合B＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则A＝B
B．∀x∈R，√x2=x
C．若log23＝a，log27＝b，则log4256=3+b
a+b+1
D．∅∈{0}
11．下列说法不正确的是（）
A．命题“∀x＜1，都有x2＜1”的否定是“∃x≥1，使得x2≥1”
B．集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为{﹣1，2}
C．方程3x2+a（a﹣6）x﹣3＝0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是0＜a＜6
D．已知x＞0，y＞0，x+y﹣xy+8＝0，则x+4y的最小值为16
12．已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)={2
x−1
，x＞2
x2−2x+2，0＜x≤2
，下列叙述正确的是（）
A．当2√2−2＜k＜1时，关于x的方程f（x）＝kx有6个不相等的实数根
B．当x1＜x2＜﹣2时，有f（x1）＞f（x2）
C．当0＜x≤a时，f（x）的最小值为1，则1≤a≤3
D．若关于x的方程f(x)=3
2和f（x）＝m的所有实数根之和为零，则m=−
3
2
三、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若log（a﹣1）（5﹣a）有意义，则实数a的取值范围是．
14．不等式1
x−2
＞−2的解集是．
15．若函数f （x ）满足∀x ∈R ，f （x +1）＝f （1﹣x ），且∀x 1，x 2∈[1，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0(x 1≠x 2)，若
f （m ）＞f （﹣1），则m 的取值范围是 ．
16．设a ，b ∈Z ，若对任意x ≤0，都有（ax ﹣3）（﹣x 2+b ）≤0成立，则a +b 的值是 ． 四、解答题
17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8＜0}，B ＝{x |m ＜x ＜2m +3}． （1）求集合A 中的所有整数；
（2）若（∁R A ）∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 18．（12分）设m 为实数，f （x ）＝（m +1）x 2﹣mx ﹣1． （1）当m ＝﹣3时，解不等式f （x ）≤0；
（2）若不等式f （x ）+m ＞0的解集为∅，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知函数f(x)=
mx+n
x 2+1
是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝1． （1）求m ，n 的值；判断函数f （x ）的单调性并用定义加以证明； （2）求使f （a ﹣1）+f （a 2﹣1）＜0成立的实数a 的取值范围．
20．（12分）新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产x （x ∈N *）台设备，另需投入成本t 万元，若年产量不足100台，则t =1
2x 2+60x ；若年产量不小于100台，则t =152x +
24200
x
−4700，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完． （1）写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 21．（12分）设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣1）x +3（a ≠0）， （1）若不等式f （x ）＞0的解集为（﹣1，3），求2a +b 的值； （2）若f （1）＝5，b ＞﹣1，求
1|a|
+
4|a|
b+1
的最小值；
（3）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＜﹣2x +1的解集．
22．（12分）设a ＞1，m ∈R ，f(x)=a m x
，当x ∈[a ，2a ]时，f （x ）的值域为[a 2，a 3]．
（1）求a 的值；
（2）若存在实数t ，使（x +t ）2+2（x +t ）≤（a +1）x 对任意的x ∈[0，s ]恒成立，求实数s 的取值范围．
2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高一（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{x |x ＜﹣2}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．（﹣2，3]
B ．[﹣2，+∞）
C ．[﹣2，3）
D ．（﹣3，+∞）
解：由题意可得∁R B ＝{x |x ≥﹣2}，所以A ∪∁R B ＝{x |x ＞﹣3}． 故选：D ．
2．化简(a 23⋅−1−12−12⋅b 1
3
√a⋅b
5
6（a ＞0，b ＞0）的结果是（ ）
A ．1
a
B ．a
C ．a b
D ．
1
ab
解：根据实数指数幂的运算法则得原式=a −13⋅b 1
2⋅a −
1
2⋅b 1
3a 16⋅b 5
6
=
a −
56b 5
6a 16⋅b 5
6
=a ﹣
1=1
a ．
故选：A ．
3．下列选项中，使|x ﹣1|＜2成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．﹣1＜x ＜3
B ．﹣3＜x ＜3
C ．0＜x ＜3
D ．0＜x ＜4
解：不等式|x ﹣1|＜2解得﹣1＜x ＜3，根据充分条件、必要条件的定义可知： 对于A ，﹣1＜x ＜3是充要条件，A 错误；
对于B ，（﹣1，3）⫋（﹣3，3），﹣3＜x ＜3是|x ﹣1|＜2成立的一个必要不充分条件，B 正确； 对于C ，（0，3）⫋（﹣1，3），0＜x ＜3是|x ﹣1|＜2成立的一个充分不必要条件，C 错误； 对于D ，（0，4）与（﹣1，3）没有包含关系，0＜x ＜4是既不充分也不必要条件，D 错误． 故选：B ．
4．已知f （2x +1）＝3x ﹣2，且f （a ）＝7，则a ＝（ ） A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
解：令t ＝2x +1，则x =
t−12，所以f(t)=3⋅(t−12)−2=32t −7
2
， 所以函数f （x ）的解析式为f(x)=3
2x −7
2，又因为f （a ）＝7， 所以f(a)=3
2a −7
2
=7，解得a ＝7． 故选：D ．
5．数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想．在数
学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)=
x 2
1+x 4
的图像大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
解：由题意可知，函数f （x ）定义域为R ， 所以f(−x)=
(−x)
21+(−x)
4
=
x 2
1+x 4
=f(x)， 所以f （x ）为偶函数，排除选项A 和C ；
当x ＝0时，f(0)=0
2
1+04=0， 当x ≠0时，f(x)=x 21+x 4=11x
2
+x 2≤1
2√1x
2⋅x 2=1
2
，
所以f(x)≤1
2
，排除选项D ． 故选：B ． 6．若函数f(x)={
a
x
，x ＞1，(2−a)x +3，x ≤1
在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(2，52
] B ．(0，52
]
C ．[52
，+∞)
D ．∅
解：根据题意，函数f(x)={a
x
，x ＞1，(2−a)x +3，x ≤1在R 上为减函数， 则有{a ＞02−a ＜0
2−a +3≥a
，解得2＜a ≤5
2，
所以实数a 的取值范围为(2，5
2]． 故选：A ．
7．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝2﹣|x +2|．若对任意的x ∈[﹣1，2]，f （x +a ）＞f （x ）成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，2）∪（8，+∞）
C ．（﹣2，0）
D ．（﹣2，0）∪（6，+∞）
解：根据题意，f （x ）是定义在R 上的奇函数，
当x ＜0时，f （x ）＝2﹣|x +2|={−x ，−2≤x ＜0x +4，x ＜−2
，作出f （x ）的图象，如图所示，
y ＝f （x +a ）的图象可以看成是y ＝f （x ）的图象向左（a ＞0时）或向右（a ＜0时）平移|a |个单位而得． 观察图像可得：当a ＞0时，y ＝f （x ）的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）， 才能满足f （x +a ）＞f （x ）对任意的x ∈[﹣1，2]成立，
当a ＜0时，y ＝f （x ）的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）， 才能满足f （x +a ）＞f （x ）对任意的x ∈[﹣1，2]成立． 故实数a 的取值范围是（﹣2，0）∪（6，+∞）． 故选：D ．
8．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={
C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)
C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)
，若A ＝{1，2}，
B ＝{x |（x +a ）（x 3+ax 2+2x ）＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则
C （S ）＝（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解：由已知得C （A ）＝2，因为A *B ＝1，所以C （B ）＝1或C （B ）＝3．
当C （B ）＝1时，若要满足题意，则x （x +a ）（x 2+ax +2）＝0有一个实根，即a ＝0， 此时x 2+ax +2＝x 2+2＝0没有实根，所以a ＝0符合题意；
当C （B ）＝3时，若要满足题意，x （x +a ）＝0⇒x ＝0，x ＝﹣a 有两个不等实根，
则x 2+ax +2＝0有两个相等且异于上面两个根的实根，即a 2＞0且Δ＝a 2﹣8＝0，所以a =±2√2， 此时x （x +a ）（x 2+ax +2）＝0的三个根为0，−a ，−a
2，符合题意． 综上，a ＝0或±2√2，故C （S ）＝3．
故选：B ．
二、多项选择题本小题共4小题，每小题5分，共20分 9．已知0＜a ＜b ，且a +b ＝1，则（ ） A ．a ＜1
2＜b B ．2ab ＜1＜a 2+b 2 C ．2ab ＜a ＜b
D ．a ＜a 2+b 2＜b
解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，0＜a ＜b ，且a +b ＝1，则2a ＜a +b ＜b +b ，即a ＜1
2＜b ，A 正确； 对于B ，0＜a ＜b ，且a +b ＝1，则a 2＜a ，b 2＜b ，则有a 2+b 2＜a +b ＝1，B 错误； 对于C ，由于b ＞12
，则2ab ＞2a ×
1
2
=a ，C 错误； 对于D ，设a =1
2−t ，b =1
2+t ，（0＜t ＜1
2），则a 2+b 2=12+2t 2， 则有a 2+b 2＞a ，
又由t ﹣2t 2＝t （1﹣2t ）＞0，则b ＞a 2+b 2， 故有a ＜a 2+b 2＜b ，D 正确； 故选：AD ．
10．给出以下四个命题，其中真命题是（ ）
A ．集合A ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }，集合
B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则A ＝B
B ．∀x ∈R ，√x 2=x
C ．若log 23＝a ，log 27＝b ，则log 4256=3+b a+b+1
D ．∅∈{0}
解：对于选项A ，A ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }＝{x |x ＝2（n ﹣1）+1，n ∈Z }＝{x |x ＝2k +1，k ∈Z }，又B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，所以选项A 正确；
对于选项B ，√x 2=|x|={x ，x ≥0−x ，x ＜0
，所以选项B 错误；
对于选项C ，因为log 23＝a ，log 27＝b ，log 4256=log 256log 242=log 27+log 28
log 26+log 27=3+b log 22+log 23+b =3+b
a+b+1，
所以选项C 正确；
对于选项D ，因为集合与集合间的关系是包含与不包含，∅⊆{0}，所以选项D 错误． 故选：AC ．
11．下列说法不正确的是（ ）
A ．命题“∀x ＜1，都有x 2＜1”的否定是“∃x ≥1，使得x 2≥1”
B．集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为{﹣1，2} C．方程3x2+a（a﹣6）x﹣3＝0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是0＜a＜6 D．已知x＞0，y＞0，x+y﹣xy+8＝0，则x+4y的最小值为16
解：对于A，命题“∀x＜1，都有x2＜1”的否定是“∃x＜1，使得x2≥1”，故A错误，对于B，当a＝0时，B＝∅满足题意，故B错误，
对于C，令f（x）＝3x2+a（a﹣6）x﹣3，
由f（1）＜0，得a2﹣6a＜0，
即0＜a＜6，故C正确，
对于D，因为x+y﹣xy+8＝0，
所以（x﹣1）（y﹣1）＝9，
所以x=
9
y−1
+1(y＞1)，
所以x+4y=
9
y−1
+1+4y=
9
y−1
+4(y−1)+5≥17，当且仅当
9
y−1
=4(y−1)，即y=
5
2
时取等号，
所以x+4y的最小值为17，故D错误．故选：ABD．
12．已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)={2
x−1
，x＞2
x2−2x+2，0＜x≤2
，下列叙述正确的是（）
A．当2√2−2＜k＜1时，关于x的方程f（x）＝kx有6个不相等的实数根
B．当x1＜x2＜﹣2时，有f（x1）＞f（x2）
C．当0＜x≤a时，f（x）的最小值为1，则1≤a≤3
D．若关于x的方程f(x)=3
2和f（x）＝m的所有实数根之和为零，则m=−
3
2
解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，
当x＜﹣2时，﹣x＞2，f（x）＝﹣f（﹣x）=−
2
−x−1
=
2
x+1
，
当﹣2≤x＜0时，0＜﹣x≤2，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2﹣2（﹣x）+2]＝﹣x2﹣2x﹣2，当x＝0时，f（x）＝0，
所以，f（x）=
{2
x−1
，x＞2
x2−2x+2，0＜x≤2 0，x=0
−x2−2x−2，−2≤x＜0
2 x+1，x＜−2
，
画出函数f（x）的图象，如图所示：
不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有6个不相等的实数根，理由如下：
如图1，当k＝1时，直线l1：y＝x与f（x）的图象有5个交点，
联立y＝kx与f（x）＝x2﹣2x+2，x2﹣（2+k）x+2＝0，
由Δ＝（2+k）2﹣8＝0且k＞0得：k＝2√2−2，
且此时y＝（2√2−2）x与f（x）＝﹣x2﹣2x﹣2联立，﹣x2﹣2√2x﹣2＝0，
其中Δ=(−2√2)2−8＝0，
所以k＝2√2−2时，直线l2：y＝（2√2−2）x与两抛物线刚好相切，有5个交点，
则当2√2−2＜k＜1时，y＝kx与f（x）的图象有7个交点，
即关于x的方程f（x）＝kx有7个不相等的实数根，选项A错误；
当x＜﹣2时，y＝f（x）单调递减，当x1＜x2＜﹣2时，有f（x1）＞f（x2），选项B正确；
由图象可知：f（1）＝1，令
2
x−1
=1，解得：x＝3，
当0＜x≤a时，f（x）的最小值为1，则1≤a≤3，选项C正确；
令f（x）=3
2
，当0＜x≤2时，x2﹣2x+2=
3
2
，设两根为x1，x2，则x1＝1+√22，x2＝1−√22，
当x＞2时，2
x−1=
3
2
，解得：x3=73，
故f（x）=3
2
的所有实数根之和为x1+x2+x3=133，
当x＜﹣2时，2
−13
3+1
=−
3
5
，
当m =−35时，方程f （x ）=32
和f （x ）＝m 的所有实数根之和为零，
由对称性可知m =−3
2时，方程f （x ）=3
2和f （x ）＝m 的所有实数根之和为零， 综上：m =−3
5
或m =−32，选项D 错误． 故选：BC ．
三、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若log （a ﹣1）（5﹣a ）有意义，则实数a 的取值范围是 ． 解：要使log （a ﹣1）（5﹣a ）有意义， 则{5−a ＞0
a −1＞0a −1≠1
，解得1＜a ＜5且a ≠2，
即实数a 的取值范围是（1，2）∪（2，5）． 故答案为：（1，2）∪（2，5）． 14．不等式1x−2
＞−2的解集是 ．
解：由
1x−2
＞−2⇔2x−3x−2
＞0⇔(2x −3)(x −2)＞0，
解得x ＜32
或x ＞2，
则不等式的解集为(−∞，3
2)∪(2，+∞)． 故答案为：(−∞，3
2)∪(2，+∞)．
15．若函数f （x ）满足∀x ∈R ，f （x +1）＝f （1﹣x ），且∀x 1，x 2∈[1，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0(x 1≠x 2)，若
f （m ）＞f （﹣1），则m 的取值范围是 ． 解：因为∀x 1，x 2∈[1，+∞），
f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0(x 1≠x 2)，所以f （x ）在[1，+∞）上单调递增，
∀x ∈R ，f （x +1）＝f （1﹣x ），则函数图像关于x ＝1对称， 若f （m ）＞f （﹣1），则|m ﹣1|＞|﹣1﹣1|，解得m ＞3或m ＜﹣1． 所以m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
16．设a ，b ∈Z ，若对任意x ≤0，都有（ax ﹣3）（﹣x 2+b ）≤0成立，则a +b 的值是 ． 解：若a ≥0时，当x ≤0时，ax ﹣3＜0，此时﹣x 2+b ≥0 恒成立，即x 2≤b ， 不存在这样的实数b ；
当b ≤0时，﹣x 2+b ≤0，此时ax ﹣3≥0即ax ≥3对任意x ≤0恒成立，不存在这样的实数a ；
所以a ＜0，b ＞0，
当a ＜0，b ＞0时，函数y ＝ax ﹣3是减函数，与x 轴的交点为 (3a
，0)， 函数y ＝﹣x 2+b 与x 轴的交点为 (−√b ，0)，(√b ，0)，
在同一直角坐标系内，画出函数 y ＝ax ﹣3，y ＝﹣x 2+b 的图象，如下图所示：
数形结合可得，若满足题意，则 −√b =3
a
，即a 2b ＝9， 又a ，b ∈Z ，a ＜0，b ＞0，所以{a =−3b =1或{a =−1
b =9，
所以a +b ＝﹣2或a +b ＝8． 故答案为：﹣2或8． 四、解答题
17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8＜0}，B ＝{x |m ＜x ＜2m +3}． （1）求集合A 中的所有整数；
（2）若（∁R A ）∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：（1）不等式x 2﹣2x ﹣8＜0⇒（x ﹣4）（x +2）＜0， 解得﹣2＜x ＜4， 得A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，
∴集合A 中的所有整数为﹣1，0，1，2，3； （2）∵（∁R A ）∩B ＝∅，∴B ⊆A ，
①当B ＝∅时，m ≥2m +3，即m ≤﹣3，B ⊆A 成立； ②当B ≠∅时，由B ⊆A ，有﹣2≤m ＜2m +3≤4， 解得−2≤m ≤1
2，
所以实数m 的取值范围为(−∞，−3]∪[−2，12
]． 18．（12分）设m 为实数，f （x ）＝（m +1）x 2﹣mx ﹣1． （1）当m ＝﹣3时，解不等式f （x ）≤0；
（2）若不等式f （x ）+m ＞0的解集为∅，求实数m 的取值范围． 解：（1）当m ＝﹣3时，f （x ）＝﹣2x 2+3x ﹣1≤0， 解得x ≥1或x ≤1
2，
故不等式的解集为{x |x ≥1或x ≤12
}；
（2）由题意可得，（m +1）x 2﹣mx +m ﹣1≤0恒成立， 则{
m +1＜0Δ=m 2−4(m +1)(m −1)≤0
，解得m ≤−2√3
3，
故m 的取值范围为（﹣∞，−2√3
3]． 19．（12分）已知函数f(x)=
mx+n
x 2+1
是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝1． （1）求m ，n 的值；判断函数f （x ）的单调性并用定义加以证明； （2）求使f （a ﹣1）+f （a 2﹣1）＜0成立的实数a 的取值范围． 解：（1）解法一：因为函数f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数， 所以f （0）＝0，即n ＝0； 又f （1）＝1，即
m 1+1
=1，解得m ＝2；
经检验m ＝2，n ＝0时，f(x)=
2x
x 2+1
是定义在[﹣1，1]上的奇函数．
解法二：f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即
−mx+n x 2+1
=
−mx−n x 2+1
，则n ＝0，
所以f(x)=
mx
x 2+1
， 又因为f （1）＝1，得m ＝2，所以m ＝2，n ＝0； 设∀x 1，x 2∈[﹣1，1]且x 1＜x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=
2x 1x 12+1−2x 2x 22+1=2x 1(x 22+1)−2x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)=2(x 2−x 1)(x 1x 2−1)
(x 12+1)(x 22+1)
； 因为﹣1≤x 1＜x 2≤1，所以x 2−x 1＞0，x 1x 2−1＜0，(x 12+1)(x 22+1)＞0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），
所以f （x ）在[﹣1，1]上是增函数；
（2）由（1）知f(x)=
2x
x 2+1
，f （x ）在[﹣1，1]上是增函数， 又因为f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，
由f （a ﹣1）+f （a 2﹣1）＜0，得f （a ﹣1）＜f （1﹣a 2）， 所以{−1≤a −1≤1
−1≤a 2
−1≤1a −1＜1−a 2，
即{0≤a ≤2
−√2≤a ≤√2−2＜a ＜1，
解得0≤a ＜1．
所以实数a 的取值范围是[0，1）．
20．（12分）新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产x （x ∈N *）台设备，另需投入成本t 万元，若年产量不足100台，则t =1
2
x 2+60x ；若年产量不小于100台，则t =152x +
24200
x
−4700，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完． （1）写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？
解：（1）由题意，当0＜x ＜100时，y ＝150x ﹣t ﹣600＝150x −1
2x 2−60x −600=−1
2x 2+90x −600； 当x ≥100时，y ＝150x ﹣t ﹣600＝150x ﹣152x −
24200x +4700−600=−2x −24200
x
+4100． ∴y ={−1
2x 2+90x −600，0＜x ＜100，x ∈N ∗
−2x −24200
x +4100，x ≥100，x ∈N ∗； （2）当0＜x ＜100，x ∈N *时，x ＝90，y max ＝3450； 当x ≥100，x ∈N *时，y ＝4100﹣（2x +24200
x ）≤4100−2√2x ⋅24200x
=4100﹣440＝3660． 当且仅当2x =
24200
x
，即x ＝110时，y max ＝3660， ∵3660＞3450，
∴当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3660万元． 21．（12分）设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣1）x +3（a ≠0）， （1）若不等式f （x ）＞0的解集为（﹣1，3），求2a +b 的值； （2）若f （1）＝5，b ＞﹣1，求
1|a|
+
4|a|
b+1
的最小值；
（3）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＜﹣2x +1的解集．
解：（1）由不等式f （x ）＞0的解集为（﹣1，3）， 得：方程ax 2+（b ﹣1）x +3＝0的两根为﹣1，3且a ＜0， 由根与系数的关系可得a ＝﹣1，b ＝3，所以2a +b ＝1． （2）由已知得f （1）＝5，a +b ＝3，a +（b +1）＝4， 则
1|a|
+
4|a|b+1
=
a+(b+1)4|a|
+
4|a|b+1=
a 4|a|
+
b+14|a|
+
4|a|b+1
≥
a 4|a|+2√
b+14|a|⋅4|a|b+1
=
a 4|a|
+2，
当a ＞0时，a |a|=1，所以
1
|a|
+
4|a|b+1
≥9
4（当且仅当a =4
5
，b =
11
5
时等号成立）； 当a ＜0时，a
|a|
=−1，所以
1
|a|
+
4|a|
b+1≥7
4
（当且仅当a =−4
3，b =13
3时等号成立）； 所以
1
|a|
+
4|a|
b+1
的最小值为74
；
（3）由f （x ）＜﹣2x +1得ax 2+（b ﹣1）x +3＜﹣2x +1， 又因为b ＝﹣a ﹣3，
所以不等式f （x ）＜﹣2x +1化为ax 2﹣（a +2）x +2＜0，即（x ﹣1）（ax ﹣2）＜0， 当a ＜0时，2
a ＜1，原不等式⇔(x −2
a )(x −1)＞0⇔x ＜2
a 或x ＞1．
若a ＞0，原不等式⇔(x −2
a )(x −1)＜0．
此时原不等式的解的情况应由2
a 与1的大小关系决定，
所以①当a ＝2时，不等式(x −2a
)(x −1)＜0的解集为∅； ②当a ＞2时，2
a ＜1，不等式(x −2a
)(x −1)＜0⇔2a
＜x ＜1；
③当0＜a ＜2时，2
a
＞1，不等式(x −2a )(x −1)＜0⇔1＜x ＜2
a ．
综上所述，不等式的解集为： ①当a ＜0时，{x|x ＜2
a 或x ＞1}； ②当0＜a ＜2时，{x|1＜x ＜2
a
}； ③当a ＝2时，∅；
④当a ＞2时，{x|2
a ＜x ＜1}．
22．（12分）设a ＞1，m ∈R ，f(x)=a m
x ，当x ∈[a ，2a ]时，f （x ）的值域为[a 2，a 3]． （1）求a 的值；
（2）若存在实数t ，使（x +t ）2+2（x +t ）≤（a +1）x 对任意的x ∈[0，s ]恒成立，求实数s 的取值范围．
解：（1）∵f （x ）在[a ，2a ]上单调递减且值域为[a 2，a 3]， ∴f(x)max =f(a)=a m a =a m−1=a 3，f(x)min =f(2a)=a m 2a =12
a m−1
=a 2， ∴{a m−1=a 31
2
a m−1
=a 2
，即{m −1=3a 3=2a 2
，解得：{m =4a =2， ∴a ＝2；
（2）由（1）知：（x +t ）2+2（x +t ）≤3x 对任意的x ∈[0，s ]恒成立， 整理得：x 2+（2t ﹣1）x +t 2+2t ≤0对任意的x ∈[0，s ]恒成立， 令μ（x ）＝x 2+（2t ﹣1）x +t 2+2t ，则μ（x ）max ≤0，x ∈[0，s ]， 又μ（x ）max ＝max {μ（0），μ（s ）}， ∴{μ(0)=t 2+2t ≤0
μ(s)=s 2+(2t −1)s +t 2+2t ≤0， 由μ（1）＝t 2+2t ≤0，得﹣2≤t ≤0， 令g （t ）＝t 2+（2s +2）t +s 2﹣s ，
则问题转化为：存在t ∈[﹣2，0]，使得g （t ）≤0，则当t ∈[﹣2，0]时，g （t ）min ≤0． ∵s ＞0，∴g （t ）的对称轴t ＝﹣s ﹣1＜﹣1，
①当﹣1﹣s ＜﹣2，即s ＞1时，g(t)min =g(−2)=s 2−5s ≤0，解得：0≤s ≤5，∴1＜s ≤5； ②当﹣2≤﹣s ﹣1＜﹣1，即0＜s ≤1时，g （t ）min ＝g （﹣1﹣s ）＝﹣1﹣3s ≤0，解得：s ≥−1
3，∴0＜s ≤1．
综上所述：实数s 的取值范围为（0，5]．。