函数的综合应用

1．直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解， 直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解， 比较大小等问题． 比较大小等问题． 2．直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、 直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、 二次不等式和分式方程、分式不等式的解，比较大小等问题． 二次不等式和分式方程、分式不等式的解，比较大小等问题． 3．利用数形结合的思路，借助函数的图形象直观地解决有关 利用数形结合的思路， 不等式最大( 方程的解以及图形的位置关系等问题． 不等式最大(小)值、方程的解以及图形的位置关系等问题． 利用转化的思想， 4．利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的 关系来解决抛物线与x轴交点的问题． 关系来解决抛物线与x轴交点的问题． 通过几何图形和几何知识建立函数模型， 5．通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或 讨论方案的可行性． 讨论方案的可行性． 建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识， 6．建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识， 最后必须检验与实际情况是否相符合． 最后必须检验与实际情况是否相符合． 综合运用函数知识，把生活、生产、 7．综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过 建立函数模型求解，涉及最值问题时， 建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数．
(2010·荆州 国家推行“节能减排，低碳经济” 荆州) 2、(2010·荆州)国家推行“节能减排，低碳经济”政 策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求． 策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该 企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围， 企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每 套产品的生产成本不高于50万元， 50万元 套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低 90万元 已知这种设备的月产量x( 万元． x(套 于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价 万元)之间满足关系式y 170－2x，月产量x( x(套 y1(万元)之间满足关系式y1＝170－2x，月产量x(套)与 生产总成本y 万元)存在如图所示的函数关系． 生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系． (1)直接写出 直接写出y 之间的函数关系式； (1)直接写出y2与x之间的函数关系式； (2)求月产量 的范围； 求月产量x (2)求月产量x的范围； (3)当月产量x(套 为多少时，这种设备的利润W(万元) 当月产量x( W(万元 (3)当月产量x(套)为多少时，这种设备的利润W(万元) 最大？最大利润是多少？ 最大？最大利润是多少？
【解】 2＝500＋30x ( (2)依题意得 (2)依题意得 170－2x≥90 170－ 解得25 25≤ 解得25≤x≤40. (3)W＝ x(170－2x)－(500＋ (3)W＝x·y1－y2＝x(170－2x)－(500＋30x) ＝－2x 140x－500＝－2(x－ ＝－2(x ＝－2x2＋140x－500＝－2(x－35)2＋1950. ∵25<35<40，∴当x＝35时，W最大＝1950 25<35<40， 35时 最大＝ 故月产量为35套时，利润最大， 35套时 故月产量为35套时，利润最大，最大利润 1950万元 万元． 为1950万元．
30×[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20×[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]， 则y＝30×[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20×[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]，
即y＝80x2－3600x＋240000， 3600x＋240000， 配方， 80(x－ 配方，得y＝80(x－22.5)2＋199500. 22.5时 的值最小，最小值为199500 199500元 当x＝22.5时，y的值最小，最小值为199500元．
所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时， 所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场 22.5米时 地面的总费用最少，最少费用为199500 199500元 地面的总费用最少，最少费用为199500元．
解:(1)设直线DE的解析式为y＝kx＋b， (1)设直线DE的解析式为 设直线DE的解析式为y kx＋
的坐标分别为(0,3) (6,0)， (0,3)、 ∵点D、E的坐标分别为(0,3)、(6,0)， K＝-1/2 3＝ b， 解 ∴ 0＝6k＋ 6k＋ b＝3. 得 即直线DE的解析式为y＝－1/2 1/2x 即直线DE的解析式为y＝－1/2x＋3. b DE的解析式为 AB边上 B(4,2)，且四边形OABC 边上， OABC是矩形 ∵点M在AB边上，B(4,2)，且四边形OABC是矩形， 的纵坐标为2. ∴点M的纵坐标为2. 又∵点M在直线y＝－1/2x＋3上， 在直线y＝－1/2 1/2x ＝－1/2 1/2x M(2,2)． ∴2＝－1/2x＋3，∴x＝2，∴M(2,2)． (2)∵y＝m/x(x>0)经过点M(2,2) ∴m＝4，∴y＝4/x (2)∵ m/x(x>0)经过点M(2,2) (x>0)经过点 BC边上 B(4,2)， 边上， 的横坐标为4. 又∵点N在BC边上，B(4,2)，∴点N的横坐标为4. 在直线y＝－2(1) 2(1)x ∵点N在直线y＝－2(1)x＋3上，∴y＝1，∴N(4,1) 4/x＝ 在函数y x(4)的图象上 ∵当x＝4时，y＝4/x＝1，∴点N在函数y＝x(4)的图象上 (3)4≤m≤8. 3)4≤
(2010潍坊 潍坊) 3、(2010潍坊)学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广 场的地面ABCD 已知矩形广场地面的长为100 ABCD， 100米 宽为80 场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80 图案设计如图所示：广场的四角为小正方形， 米．图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影 部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长， 部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长， 阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖． 阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖． (1)要使铺白色地面砖的面积为5200平方米 要使铺白色地面砖的面积为5200平方米， (1)要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形 广场四角的小正方形的边长为多少米？ 广场四角的小正方形的边长为多少米？ (2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元 如果铺白色地面砖的费用为每平方米30 (2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色 地面砖的费用为每平方米20 20元 地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的 边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少？ 边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少？最少费用 是多少？ 是多少？
解： 设矩形广场四角的小正方形的边长为x米， (1)设矩形广场四角的小正方形的边长为 (1)设矩形广场四角的小正方形的边长为x
根据题意得:4x2＋(100－2x)(80－2x)＝5200， 根据题意得:4x2＋(100－2x)(80－2x)＝5200， 整理得： 45x＋350＝ 解得x1＝35，x2＝10. 解得x 35， 整理得：x2－45x＋350＝0， 35， 10均符合题意 经检验， 经检验，x1＝35，x2＝10均符合题意． 所以，要使铺白色地面砖的面积为5200平方米， 所以，要使铺白色地面砖的面积为5200平方米， 5200平方米 则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10 35米或10米 则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10米． (2)设铺矩形广场地面的总费用为 设铺矩形广场地面的总费用为y (2)设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角 的小正方形的边长为x米 的小正方形的边长为x
2010·河北 如图，在直角坐标系中，矩形OABC 河北) OABC的 1、2010·河北)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的 顶点O与坐标原点重合，顶点A 分别在坐标轴上， 顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶 的坐标为(4,2) 过点D(0,3) E(6,0)的直线分别与 (4,2)． D(0,3)和 点B的坐标为(4,2)．过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与 AB、BC交于点 交于点M AB、BC交于点M、N. (1)求直线DE的解析式和点 的坐标； 求直线DE的解析式和点M (1)求直线DE的解析式和点M的坐标； (2)若反比例函数 若反比例函数y x(m)(x>0)的图象经过点M (x>0)的图象经过点 (2)若反比例函数y＝x(m)(x>0)的图象经过点M，求该 反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函 数的图象上； 数的图象上； (3)若反比例函数 若反比例函数y x(m)(x>0)的图象与△MNB有公共 (x>0)的图象与 (3)若反比例函数y＝x(m)(x>0)的图象与△MNB有公共 请直接写出m的取值范围． 点，请直接写出m的取值范围．