2023年广东省东莞中学数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列{}n a 是等比数列，若2
678492ma a a a a ⋅=-⋅，且公比3(5,2)q ∈，则实
数m 的取值范围是（） A ．(2,6) B ．(2,5)
C ．(3,6)
D ．(3,5)
2．将函数
的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A ．在区间上单调递增
B ．在区间上单调递增
C ．在区间上单调递增
D ．在区间上单调递增
3．已知数列{}n a 的通项公式2
1021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m
S S -的最大值是（ ） A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
4．如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么：①AD MN ⊥；②//MN 平面CDE ；③//MN CE ；④MN 、CE 异面.其中不正．．确．
的序号是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
5．设()11
12f n n
=++⋅⋅⋅+，则()12k f +比()2k f 多了（ ）项 A ．12k -
B ．21k +
C ．2k
D ．21k -
6．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形
1PBB 面积的最小值为（ ）
A ．1
B ．
1
2
C ．
22
D ．
24
7．已知0a b <<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2a ab <
B ．
C ．11a b
>
D ．1122a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
8．若函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象上所有的点向右平移
6
π
个单位长度后得到的函数图象关于,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ϕ的值为 A ．π
B ．
34
π
C ．
56
π D ．
23
π 9．若函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤局部图象如图所示，则函数
()y f x =的解析式为( )
A ．3sin 226y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭ B ．3sin 226y x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭
C ．3sin 223y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭ D ．3sin 223y x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭ 10．已知三条相交于一点的线段,,PA PB PC 两两垂直且,,A B C 在同一平面内，P 在平面ABC 外、PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是ABC 的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．重心
D ．垂心
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．如图，为了测量树木AB 的高度，在C 处测得树顶A 的仰角为60︒，在D 处测得树顶A 的仰角为30，若10CD =米，则树高为______米.
12．正项等比数列{}n a 中，存在两项(
)*
,,m n a a m n N
∈14m n a a a ⋅=，且
7652a a a =+，则
15
m n
+的最小值为______. 13．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个表面积为S 的球，若
1,6,8,3AB BC AB BC AA ⊥===，则S 的最大值是_______.
14．数列{}n a 满足()
()11
1
1223
1n a n N n n *=
+++
∈⨯⨯+，设n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，则10S =__________．
15．在z 轴上有一点M ，点M 到点(1,0,2)A 与点(1,3,1)B -的距离相等，则M 点坐标为____________. 16．若1sin 3α=
，则cos 2πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
_________. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知216,41,n n S a S n N *
+==+∈．
（Ⅰ）求通项n a ；
（Ⅱ）设4n n b a n =--，求数列{}
n b 的前n 项和n T ．
18．已知等比数列{}n a 的各项为正数，n S 为其前n 项的和，3=8a ，3=14S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n n b a -是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项的和n T ．
19．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BB C C 是边长为2的菱形，160B BC ∠=︒，且1AB B C ⊥.
（1）求证：1ABB ABC ∠=∠；
（2）若1AB AC =，当二面角1B AB C --为直二面角时，求三棱锥1A BB C -的体积. 20．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3
A =． (1)求2
sin
cos 22
B C
A ++的值； (2)若3a =
ABC △面积的最大值．
21．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；
（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求
CG CB
的值.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解析】
由2678492ma a a a a ⋅=-⋅可得3
2m q =-，结合(
)
3
5,2q ∈
可得结果.
【详解】
2678492ma a a a a ⋅=-⋅， 2112142111112ma q a q a q ∴=-，
32m q =-，
(
)
3
5,2q ∈
，
()35,8q ∴∈， ()3,6m ∈，故选C.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 2、A 【解析】 函数
的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为：
，单调递增区间：
，
单调递减区间：
，由此可
见，当时，函数在上单调递增，故本题选A.
【详解】
本题考查了正弦型函数图象的平移变换以及求正弦型函数的单调区间. 3、B 【解析】
将{}n a 的通项公式分解因式，判断正负分界处，进而推断n S 的最大最小值得到答案. 【详解】
数列{}n a 的通项公式2
1021(3)(7)n a n n n n =-+-=---
当37n ≤≤时0n a ≥，当2n ≤或8n ≥是0n a <
n S 最大值为6S 或7S m S 最小值为2S 或3S
n m S S -的最大值为6345634310S S a a a -=++=++=
故答案为B 【点睛】
本题考查了前n 项和为n S 的最值问题，将其转化为通项公式的正负问题是解题的关键. 4、D 【解析】
取AD 的中点K ，连接MK ，NK ，连接AC ，CE ，由线面垂直的判定和性质可判断①；由三角形的中位线定理，以及线面平行的判定定理可判断②③④． 【详解】
解：取AD 的中点K ，连接MK ，NK ，连接AC ，CE ，
正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，
M 、N 分别是BD 和AE 的中点，可得AD MK ⊥，AD NK ⊥，
AD ⊥平面MNK ，可得AD MN ⊥，故①正确；
由MN 为ACE ∆的中位线，可得//MN CE ，
且MN ⊂平面CDE ，可得//MN 平面CDE ，故②③正确，④错误． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查空间线线和线面的位置关系，考查转化思想和数形结合思想，属于基础题． 5、C 【解析】
可知()f n 中共有n 项，然后将()12k f +中的项数减去()
2k
f 中的项数即可得出答案. 【详解】
()11
12f n n
=++⋅⋅⋅+，则()f n 中共有n 项，所以，()12k f +比()2k f 多了的项数为
1222k k k +-=.
故选:C. 【点睛】
本题考查数学归纳法的应用，解题的关键就是计算出等式中的项数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6、D 【解析】
根据直线1D P 与平面EFG 没有公共点可知1D P ∥平面EFG .将截面EFG 补全后,可确定点P 的位置,进而求得三角形1PBB 面积的最小值. 【详解】
由题意E ,F ,G 分别是棱AB ,BC ,1CC 的中点,补全截面EFG 为EFGHQR ,如下图所示:
因为直线1D P 与平面EFG 没有公共点
所以1D P ∥平面EFG ,即1D P ∥平面EFGHQR ,平面EFG ∥平面EFGHQR 此时P 位于底面对角线AC 上,且当P 与底面中心O 重合时,BP 取得最小值 此时三角形1PBB 的面积最小
111122
12224
PBB S OB BB ∆=
⨯⨯=⨯⨯=
故选:D
【点睛】
本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题. 7、C 【解析】 试题分析：若
，那么
，A 错；
，B 错；
是单调递减函
数当时，所以，C.正确；是减函数，所以，
故选C. 考点：不等式 8、C 【解析】
先由题意求出平移后的函数解析式，再由对称中心，即可求出结果. 【详解】
函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象上所有的点向右平移
6
π
个单位长度后,可得函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
的图像，
又
函数()sin 23f x x π
ϕ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭
的图象关于,04π⎛⎫
⎪⎝⎭对称， sin 046ππϕ⎛⎫⎛⎫
∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
f ，()6πϕπ∴+=∈k k Z ，
故()6
π
ϕπ=-
+∈k k Z ，
又0ϕπ<<，1k ∴=时，56
πϕ=. 故选C . 【点睛】
本题主要考查由平移后的函数性质求参数的问题，熟记正弦函数的对称性，以及函数的平移原则即可，属于常考题型. 9、D 【解析】
由()sin y A x ωϕ=+的部分图象可求得A ，T ，从而可得ω，再由23
3622f ππ⎛⎫
+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，
结合ϕ的范围可求得ϕ，从而可得答案． 【详解】
122362
T πππ
=-=， 22T
πω∴==；
又由图象可得：3
2
A =，可得：()()3sin 22f x x ϕ=+，
235336sin 22212
2f πππϕ⎛⎫
+ ⎪⎛⎫=⨯
+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 5262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈．
23
k π
ϕπ∴=-
，()k Z ∈，
又
ϕπ≤，
∴当0k =时，可得：3
π
ϕ=-
，此时，可得：()3sin 2.23f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭ 故选D ． 【点睛】
本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定函数解析式，常用五点法求得ϕ的值，属于中档题． 10、D 【解析】
根据题意，结合线线垂直推证线面垂直，以及根据线面垂直推证线线垂直，即可求解。

【详解】
连接BH ，延长BH 与AC 相交于E ，连接AH ，延长AH 交BC 于D ，作图如下：
因为,PA PC PA PB ⊥⊥，故PA ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ， 故BC PA ⊥；
因为PH ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 故BC PH ⊥；
又PA ⊂平面PAH ，PH ⊂平面PAH 故BC ⊥平面PAH ，又AH ⊂平面PAH ， 故BC AH ⊥， 即BC AD ⊥；
同理可得：AC BE ⊥，又BE 与AD 交于点H ， 故H 点为ABC 的垂心.
故选：D . 【点睛】
本题考查线线垂直与线面垂直之间的相互转化，属综合中档题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、53 【解析】
先计算10AC =，再计算53AB =【详解】
在C 处测得树顶A 的仰角为60︒，在D 处测得树顶A 的仰角为30 则3010DCA AC DC ∠=︒⇒== 在ABC ∆中，53AB =故答案为53【点睛】
本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答. 12、
74
【解析】
先由已知求出公比q 14a =求出,m n 满足的关系，最后求出15m n
+的所有可能值得最小值． 【详解】
设数列公比为q ，由7652a a a =+得25552a q a q a =+，∴2
20q q --=，解得2
q
（1q =-舍去），
14a =得14a =，6m n +=，∵,*m n N ∈， 所以(,)m n 只能取(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，依次代入
15m n +，15
m n
+分别为2，74，2，114，265
，最小值为74．
故答案为：7
4
． 【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查求最小值问题．解题关键是由等比数列性质求出,m n 满足的关系6m n +=．接着求最小值，容易想到用基本不等式求解，但本题实质上由于
,*m n N ∈，因此对应的(,)m n 只有5个，可以直接代入求值，然后比较大小即可．
13、9π 【解析】
根据已知可得直三棱柱111ABC A B C -的内切球半径为3
2
，代入球的表面积公式，即可求解. 【详解】
由题意，因为,6,8AB BC AB BC ⊥==，所以10AC =, 可得ABC ∆的内切圆的半径为68
26810
⨯=
=++r ，
又由13AA =，故直三棱柱111ABC A B C -的内切球半径为32
R =， 所以此时S 的最大值为2
2
344()92
S R πππ==⋅=. 故答案为：9π.
本题主要考查了直三棱柱的几何结构特征，以及组合体的性质和球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题. 14、5
12
-
【解析】
先利用裂项求和法将数列{}n a 的通项化简，并求出1n n a a +-，由此可得出10S 的值. 【详解】
()11111n n n n =-++，111111
1122311
n a n n n ∴=-+-++
-=-++. 11111
111212
n n a a n n n n +-=-
-+=-+++++， 因此，10111111115
2334111212212S =-+-+--+
=-=-，故答案为：512
-. 【点睛】
本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题. 15、()0,0,3- 【解析】
设点M 的坐标，根据空间两点距离公式列方程求解. 【详解】
由题：设()0,0,M z ，点M 到点(1,0,2)A 与点(1,3,1)B -的距离相等，
=，
2245211z z z z -+=-+，26z =-，
解得：3z =-，
所以M 点的坐标为()0,0,3-. 故答案为：()0,0,3- 【点睛】
此题考查空间之间坐标系中两点的距离公式，根据公式列方程求解点的坐标，关键在于准确辨析正确计算. 16、
1
3
利用诱导公式求解即可 【详解】
cos 2πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
1sin 3α=，
故答案为：13
【点睛】
本题考查诱导公式，是基础题
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）当
时，根据
，构造
，利用
，两式相减得到，然后验证，得到数列的通项公式；（Ⅱ）
由上一问可知.根据零点分和讨论去绝对值，利用分组转
化求数列的和. 试题解析：（Ⅰ）因为， 所以当
时，
，
两式相减得：
当时，，
因为,
得到，解得，，
所以数列是首项，公比为5的等比数列，
则
；
（Ⅱ）由题意知，,
易知当时，；
时，
所以当时，
， 当时，
， 所以，，……
当
时，
又因为不满足满足上式，
所以.
考点：1.已知求；2.分组转化法求和.
【方法点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，
，
等
的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,（5）或是具有某些规律求和，（6）本题考查了等差数列绝对值求和，需讨论零点后分两段求和.
18、（Ⅰ）2n n a =（Ⅱ）322n n b n =-+，1232222
n n n
T n +=+
-- 【解析】
（Ⅰ）设正项等比数列{}n a 的公比为(0q q >且1)q ≠，由已知列式求得首项与公比，则数列{}n a 的通项公式可求；（Ⅱ）由已知求得n b ，再由数列的分组求和即可． 【详解】
（Ⅰ）由题意知，等比数列{}n a 的公比1q ≠，且0q >，
所以()
2313
1381141a a q a q S q ⎧==⎪-⎨=
=⎪-⎩
， 解得122a q =⎧⎨=⎩，或118
23a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩
（舍去）
， 则所求数列{}n a 的通项公式为2n
n a =.
（Ⅱ）由题意得1(1)332n n b a n n -=+-⨯=-，
故32322n
n n b n a n =-+=-+
()23123(14732)2222n n n T b b b b n =+++⋯+=+++⋯+-++++⋯+
()212(132)212
n
n n -+-=+
- 1232222
n n
n +=+--
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，同时考查了待定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和． 19、（1）见解析（2
【解析】
（1）连结1BC ，交1BC 于点O ，连结OA ，推导出11B C BC ⊥，又1AB B C ⊥，从而
1B C ⊥面1ABC ，进而1B C OA ⊥，推导出1ABC ABB ∆≅∆，由此能得到结论；
（2）由题意，可证得1B DC ∠是二面角1B AB C --的平面角，进而得190B DC ∠=︒，
进而计算得OA =，进而利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】
（1）连结1BC ，交1BC 于点O ，连结OA ，
因为侧面11BB C C 是菱形，所以11B C BC ⊥， 又因为1AB B C ⊥，1AB
BC B =，所以1B C ⊥面1ABC
而OA ⊂平面1ABC ，所以，1B C OA ⊥ 因为1OC OB =，所以1AC AB =， 而1BC BB =，所以1ABC ABB ∆≅∆， 故1ABB ABC ∠=∠.
（2）因为1AB AC =，O 为1BC 的中点，则1AO BC ⊥， 由（1）可知1B C OA ⊥， 因为1
1BC B C O =，所以AO ⊥面11BCC B ，
作CD AB ⊥，连结1B D ，
由（1）知1ABC ABB ∆≅∆，所以1B D AB ⊥且1CD B D =
所以1B DC ∠是二面角1B AB C --的平面角，依题意得190B DC ∠=︒，12B C =， 所以12CD B D ==
设OA x =，则22
11AB x =+，21AD x -
又由23AB x =+422BD =-=
所以由2
2
123AB AD BD x x =+-=
+，解得62
x =
，
所以
11
11
3322
A B
B
C BB C
V OA S
-∆
=⨯⨯=⨯=.
【点睛】
本题考查两个角相等的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
20、（1）
1
9
-；（2
【解析】
(1)将2
sin cos2
2
B C
A
+
+化简代入数据得到答案.
(2)利用余弦定理和均值不等式计算
9
4
bc≤，代入面积公式得到答案.
【详解】
()222
1sin cos2sin2cos1
22
B C A
A A
π
+-
+=+-
222
1cos
cos2cos12cos1
22
A A
A A
+
=+-=+-
1
111
321
299
+
=+⨯-=-；
(2)由
1
cos
3
A=
，可得sin A==，
由余弦定理可得22222
224
2cos2
333
a b c bc A b c bc bc bc bc
=+-=+-≥-=，
即有2
39
44
bc a=
≤，当且仅当
3
2
b c
==，取得等号．
则ABC
△
面积为
119
sin
22434
bc A≤⨯⨯=．
即有
3
2
b c
==时，ABC
△
．
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.
21、（1）
11
35
AF m n
=+（2）
3
10
CG
CB
=
【解析】
（1）依题意可得
2
3
AD AB
=、
1
4
AE AC
=，再根据DE AE AD
=-，AF AD DF
=+
计算可得；
（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可； 【详解】
解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以2
3
AD AB =. 因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以1
4
AE AC =， 所以12
43
DE AE AD AC AB =-=
-. 因为4DF FE =，所以418
5515
DF DE AC AB =
=-， 则218
3515
AF AD DF AB AC AB =+=+-
2111
()15535
AB AB BC AB BC =
++=+. 又AB m =，BC n =. 所以1111
3535
AF AB BC m n =
+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<， 则33
()44
EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=
+=+- 3333
()()4444
AB BC m n λλ=
+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，即1
133
[()]3
544
m n m n μλ+
=+-， 整理得3
1,43
31(),4
5μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=，
故
3
10
CG
CB
=
. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。