高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时达标41 直线、平面平行的判定及其性质

第41讲 直线、平面平行的判定及其性质
[解密考纲]对直线、平面平行的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面平行的判定与性质，常以解答题为主，难度中等．
一、选择题
1．(2018·广东揭阳模拟)设两个不同的平面α，β，两条不同的直线 a ，b ，且a ⊂α，
b ⊂α，则“a ∥β，b ∥β”是“α∥β”的( B )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 因为“a ∥β，b ∥β”，若a ∥b ，则α与β不一定平行，反之若“α∥β”，则一定“a ∥β，b ∥β”，故选B ．
2．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶
FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( B )
A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形
B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形
C ．HG ∥平面AB
D ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形 解析 由A
E ∶EB ＝A
F ∶FD ＝1∶4知EF
1
5
BD ，所以EF ∥平面BCD ．又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG
1
2
BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG ，所以四边形EFGH 是梯形． 3．设a ，b 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( D ) A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α B ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C ．若a ∥α且a ∥β，则α∥β D ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β
解析 对于A 项，若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故A 项不正确；对于B 项，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β或α与β相交，故B 项不正确；对于C 项，若a ∥α且a ∥β，则α∥β或α与β相交，故C 项不正确．排除A ，B ，C 项，故选D ．
4．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是( A )
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
解析 由线面平行的判定定理知图①②可得出AB ∥平面MNP .
5．已知a ，b 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是( C ) A ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则 a ∥b B ．若a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β C ．若a ∥b ，α∩β＝a ，则b ∥α或b ∥β D ．若直线a 与b 异面，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β
解析 对于A 项，a 与b 还可能相交或异面，此时a 与b 不平行，故A 项不正确；对于B 项，α与β可能相交，此时设α∩β＝m ，则a ∥m ，b ∥m ，故B 项不正确；对于D 项，α与β可能相交，如图所示，故D 项不正确，故选C ．
6．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：
①
⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；②
⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③
⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④
⎭
⎪⎬⎪⎫
m ⊂αn ⊂βα∥β⇒
m ∥n .其中所有正确命题的序号是( B )
A ．③④
B ．②③
C ．①②
D ．①②③④
解析 ①不正确，n 可能在α内．②正确，垂直于同一平面的两直线平行．③正确，垂直于同一直线的两平面平行．④不正确，m ，n 可能为异面直线．故选B ．
二、填空题
7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于
解析 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF
∥AC ，又E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝1
2AC ，又在正方体ABCD
－A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.
8．(2018·北京模拟)设α，β，γ是三个不同平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__①③__(把所有正确的题号填上)．
解析 ①可以，由a ∥γ得a 与γ没有公共点，由b ⊂β，α∩β＝a ，b ⊂γ知，a ，b 在面β内，且没有公共点，故平行．
②a ∥γ，b ∥β不可以．举出反例如下：使β∥γ，b ⊂γ，a ⊂β，则此时能有a ∥γ，b ∥β，但不一定a ∥b .这些条件无法确定两直线的位置关系．
③可以，由b ∥β，α∩β＝a 知，a ，b 无公共点，再由a ⊂γ，b ⊂γ，可得两直线平行．
9．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，PA ∥平面MQB ，则实数t ＝__1
3
__.
解析 连接AC 交BQ 于N ，交BD 于O ， 连接MN ，如图，则O 为BD 的中点．
又∵BQ 为△ABD 边AD 上中线， ∴N 为正△ABD 的中心． 令菱形ABCD 的边长为a ， 则AC ＝3a ，AN ＝
33
a . ∵PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ， 平面PAC ∩平面MQB ＝MN ∴PA ∥MN ，∴PM ∶PC ＝AN ∶AC ， 即PM ＝13PC ，∴t ＝1
3.
三、解答题
10．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PCA ，△PAB 的重心．求证：平面 A ′ B ′ C ′∥平面 ABC ．
证明连接PA′，PC′并延长，分别交BC，AB于M，N. ∵A′，C′分别是△PBC，△PAB的重心，
∴M，N分别是BC，AB的中点．连接MN，
由PA′
PM
＝
PC′
PN
＝
2
3
知A′C′∥MN，∵MN⊂平面ABC，∴A′C′∥平面ABC．同理，A′B′
∥平面ABC，而A′C′和A′B′是平面A′B′C′内的相交直线，∴平面A′B′C′∥平面ABC．
11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
解析当点F为棱C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE，证明如下：
分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，
因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1为平行四边形，
因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE.因为四边形C1CDD1与B1BCC1都为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AQ，求A1F与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围．
解析 设平面AD 1Q 与直线BC 交于点G ，连接AG ，QG ，则G 为BC 的中点．分别取B 1B ，
B 1
C 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MN ，A 1N ，如图所示．∵A 1M ∥
D 1Q ，A 1M ⊄平面D 1AQ ，
D 1Q ⊂平面D 1AQ ，∴A 1M ∥平面D 1AQ .同理可得MN ∥平面D 1AQ .
∵A 1M ，MN 是平面A 1MN 内的两条相交直线，
∴平面A 1MN ∥平面D 1AQ .
由此结合A 1F ∥平面D 1AQ ，可得直线A 1F ⊂平面A 1MN ，即点F 是线段MN 上的动点． 设直线A 1F 与平面BCC 1B 1所成角为θ，移动点F 并加以观察，可得当点F 与M (或N )重合时，A 1F 与平
面BCC 1B 1所成角等于∠A 1MB 1，此时所成角θ达到最小值，满足tan θ＝
A 1
B 1
B 1M
＝2；当点F 与MN 的中点重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角达到最大值，满足tan θ＝
A 1
B 1
22
B 1M ＝2 2.
∴A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的取值范围为[2,22]．。