广东省省际名校(茂名市)2018届高三下学期联考(二)数学(理)试题(解析版)

广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意可得：，
又，，
∴,∴
故选：D
2.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵，
∴
故选：D
3.设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是（）
A. 在上为减函数
B. 在上为增函数
C. 在上为减函数
D. 在上为增函数
【答案】C
【解析】
A错，比如在上为增函数，但在上不具有单调性；
B错，比如在上为增函数，但在上增函数，在上为减函数；
D错，比如在上为增函数，但在上为减函数；
故选：C
4.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作.在一次投掷中，已知是奇数，则的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设两枚骰子向上点数分别为X，Y，则符合X+Y为奇数的基本事件为18（见表格），其中符合X+Y=9基本事件为4，根据古典概型知所求概率为
故选：B
5.如图，正六边形的边长为2，则（）
A. 2
B. 3
C. 6
D. 12
【答案】C
【解析】
，
.
故选：C
6.以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相离，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】
由条件可得，，∴，即，
∴
故选：B
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 7.是数列的前项和，且对都有，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 由，可知，两式相减，得
，
整理得
由可得，则
故选：A
8.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
该几何体是如图所示的四面体ABCD，其体积为
故答案为：A
点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
9.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
随机数x，y的取值范围分别是共产生n个这样的随机数对.数值i表示这些随机数对中满足关系的个数.
.
故选：C
10.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式
组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为；满足不等式组
的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为.利用祖暅原理，可得（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由条件可得，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点的距离为h，则所得截面
,所以，由祖庚原理可得
又，所以
故选：C
11.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
当时，第次取出额必然是红球，而前k-1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故
，于是得到X的分布列为
故
故选：D
12.记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（）
A. 430
B. 840
C. 1250
D. 1660
【答案】A
【解析】
令，得①或②
由①得，令，得，故①共有n个解，
由②得，
令，得③，
令，得④
当n为偶数时，③有个解，④有个解，故②有n个解，故
当n为奇数时，③有个解，④有个解，故②有n+1个解，故
令
故
故选：A
点睛：函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.是虚数单位，复数满足，则__________．
【答案】5
【解析】
由题意可得：
∴
∴
故答案为：5
点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可；复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
14.若实数满足约束条件则的所有取值的集合是__________．
【答案】
【解析】
由约束条件可知，满足条件的点为，
所以z可以取得值为
故答案为：
15.以坐标原点为圆心的圆与抛物线及其准线分别交于点和，若，则圆的方程是__________．【答案】
【解析】
设，圆O半径为r，则
∵，∴A或B的坐标为，∴
∴，解得，∴圆O的方程为：
故答案为：
16.若对任意的，不等式恒成立，则__________．
【答案】0或
【解析】
设，则，
由已知可得：对恒成立，
令，，则
可知：在上单调递减，在上单调递增，
若，则，令，
则
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，∴
∴，即t=1，所以则
故答案为：0或
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知的内角所对的边分别为，.
（1）；
（2）若的平分线交于点，且的面积为，求的长.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）由，又，利用余弦定理得到；
（2）由可得. 设的面积为，，解得，，再由内角平分线定理得到，在中,由余弦定理可得结果.
试题解析：
（1）因为，所以.
于是，.
（2）由可得.
设的面积为，∴，
∴.则.
∵为的平分线，∴，∴.
又.∴.
在中,由余弦定理可得
，∴.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：
数据表明与之间有较强的线性关系.
（1）求关于的线性回归方程；
（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；
（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？
参考数据:回归直线的系数，.
，.
【答案】（1）（2）82（3）可以认为
【解析】
试题分析：(1)由表格得到，进而得到，，从而得到关于的线性回归方程；(2)将代入上述方程，得；（3）列出2×2列联表，求出，从而作出判断.
试题解析：
（1）由题意可知，
故
.
，
故回归方程为.
（2）将代入上述方程，得.
（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36.
抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，
故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.
于是可以得到列联表为：
于是，
因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.
点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量
具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
19.如图，四棱柱的底面为菱形，且.
（1）证明：四边形为矩形；
（2）若，与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
试题分析：(1)由四棱柱性质可知四边形为平行四边形，连接，设，连接.，易证∴平面，∴.∵，∴；(2)过点作平面，垂足为，由已知可
得点在上，证明点与点重合，则平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式计算即可.
试题解析：
（1）证明:连接，设，连接.
∵，∴.
又为的中点，∴..
∴平面，∴.
∵，∴.
又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.
（2）解:过点作平面，垂足为，由已知可得点在上，∴.
设，则.
在菱形中，，∴.
∴点与点重合，则平面.
以为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则.
∴.
设平面的法向量为，则,∴即
取，可得为平面的一个法向量.
同理可得平面的一个法向量为。

∵.所以二面角的余弦值为.
20.设椭圆的离心率为，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为.
（1）求的方程；
（2）过的左焦点作直线与交于两点，过右焦点作直线与交于两点，且，以为顶点的四边形的面积，求与的方程.
【答案】(1) (2) 所求方程为或.
【解析】
试题分析：(1)由已知得，解得，从而得到的方程；
（2）设，代入得，求得，
设的方程为，则与之间的距离为.=，
解得，从而得到与的方程.
试题解析：
（1）由已知得，解得，∴椭圆的方程为.
（2）设，代入得，
设，则.
.
设的方程为，则与之间的距离为.
由对称性可知，四边形为平行四边形，
∴.
令，则，∴，即，
解得或(舍），∴.
故所求方程为或.
21.已知.
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
试题分析：（1），对a分类讨论，从而得到的单调性；
（2），则，对a分类讨论，研究函数的图象走势，从而得到的取值范围.
试题解析：
（1）由已知的定乂域为，又，
当时，恒成立；
当时，令得；令得.
综上所述，当时，在上为增函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数.
（2）由题意，则，
当时，∵，
∴在上为增函数，不符合题意.
当时，，
令，则.
令的两根分别为且，
则∵，∴，
当时，，∴，∴在上为增函数；
当时，，∴，∴在上为减函数；
当时，，∴，∴在上为增函数. ∵，∴在上只有一个零点 1，且。

∴
，
，
.
∵，又当时，.∴
∴在上必有一个零点.
∴
.
∵，又当时，，∴.
∴在上必有一个零点.
综上所述，故的取值范围为.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角).
（1）若，求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与有两个不同的交点，且为的中点，求.
【答案】（1），（2）
【解析】
试题分析：（1）时，把直线l的参数方程和曲线的极坐标方程华为普通方程；（2）把代入抛物线
方程得，由，解得，从而，解得.
试题解析：
（1）的普通房成为，
的直角坐标方程为.
（2）把代入抛物线方程得，
设所对应的参数为，则.
∵为的中点，∴点所对应的参数为，
∴，即.
则变为，此时，
∴.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）根据（1）中的结论，若，且，求证:.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）,从而得到函数的最小值；（2）利用反证法证明不等式. 试题解析：
（1）解：，当且仅当时取等号，
所以，即.
（2）证明:假设:，则.
所以.①
由（1）知，所以.②
①②矛盾，所以.。