台前县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

台前县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．x=1 B ．x= C ．x=﹣1
D ．x=﹣
2． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
3． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位
4． 已知函数()x e f x x
=，关于x 的方程2
()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的
取值范围是（ ）
A ．21(,)21e e -+?-
B ．21(,)21e e --?-
C ．21(0,)21e e --
D ．2121e e 禳-镲
睚
-镲铪
【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．
5． 执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6． 已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sin θ=，则m 等于（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．
D ．±3
7． （2014新课标I ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，1]
B ．[0，1]
C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]
9． 已知等差数列{a n }中，a 6+a 8=16，a 4=1，则a 10的值是（ ） A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
10．若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =
-++-+-在02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A ．117⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， B ．117⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，
C.1
(][1)7
-∞-+∞，，
D ．[1)+∞，
11．设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ．
12．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）
A ．10米
B ．100米
C ．30米
D ．20米
二、填空题
13
由表中数据算出线性回归方程为=
x+
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为 万元．
14．设某双曲线与椭圆
136
272
2=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 )4,15(，则此双曲线的标准方程是 .
15．已知函数2
2tan ()1tan x f x x =-，则()3
f π
的值是_______，()f x 的最小正周期是______. 【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 16．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④
sin sin sin a b c
A B C
+=+.其中恒成立的等式序号为_________.
17．设f （x ）是（x 2+
）6
展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[
，]上恒成立，则实数m 的取值范
围是 ．
18．函数y=sin 2
x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=x 3+2bx 2+cx ﹣2的图象在与x 轴交点处的切线方程是y=5x ﹣10． （1）求函数f （x ）的解析式；
（2）设函数g （x ）=f （x ）+mx ，若g （x ）的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g （x ）取得极值时对应的自变量x 的值．
20．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题：
（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；
（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？
（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S 合计
21．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆2
2:14
x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，
（1）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值； （2）求线段MN 的长的最小值；
（3）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.
22．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设1a >,函数()()
21x
f x x e a =+-.
（1）证明在(上仅有一个零点；
（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,（O是坐标原点）,
证明:1
m≤
23．已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n=2a n﹣n2+3n+2（n∈N*）
（Ⅰ）求证：数列{a n+2n}是等比数列；
（Ⅱ）设b n=a n sinπ，求数列{b n}的前n项和；
（Ⅲ）设C n=﹣，数列{C n}的前n项和为P n，求证：P n＜．
24．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
台前县第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右，
焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，
即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2
故抛物线的准线方程为x=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．
2．【答案】C
【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选C．
3．【答案】C
【解析】
试题分析：()2222
==+=+，故向上平移个单位.
g x x x x
log2log2log1log
考点：图象平移．
4．【答案】D
第Ⅱ卷（共90分）
5．【答案】B
【解析】解：a=5，进入循环后各参数对应值变化如下表：
p 15 20 结束
q 5 25
n 2 3
∴结束运行的时候n=3．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用，考查了条件结构和循环结构的知识点．解题的关键是理解题设中语句的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果．属于基础题．
6．【答案】B
【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，
可得，（m＞0）
解得m=3．
故选：B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．
7．【答案】C
【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx||sinx|=|sin2x|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
8．【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，
∴单调间区间为[a，+∞）
又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴a≤1
∵函数g（x）=在区间（﹣∞，﹣a）和（﹣a，+∞）上均为减函数，
∵g（x）=在区间[1，2]上是减函数，
∴﹣a＞2，或﹣a＜1，
即a＜﹣2，或a＞﹣1，
综上得a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]，
故选：D
【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．
9．【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n}，
∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10，
∴a10=15，
故选：A．
10．【答案】D
【解析】
考点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
11．【答案】C
【解析】解：由于q=2，
∴
∴；
故选：C．
12．【答案】C
【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，
设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BD
Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30米
在△BCD中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得： CD 2=BC 2+BD 2﹣2BCBDcos30°=900 ∴CD=30米（负值舍去）
故选：C
【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8， =（2+3+7+12）=6，
代入回归方程，可得a=﹣，所以
=
x ﹣
，
当x=8时，y=
，
估计他的年推销金额为万元．
故答案为：
．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
14．【答案】15
42
2=-x y 【解析】
试题分析：由题意可知椭圆
136
272
2=+y x 的焦点在y 轴上，且927362=-=c ，故焦点坐标为()3,0±由双曲线的定义可得()()
()()
4340153401522
2
2
2
=++--
-+-=
a ,故2=a ，5492=-=
b ，故所求双
曲线的标准方程为15422=-x y
．故答案为：15
42
2=-x y ． 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 15．【答案】π.
【解析】∵22tan
()tan 21tan x f x x x ==-，∴2()tan 33f ππ==22
1tan 0
x k x ππ⎧
≠+⎪
⎨⎪-≠⎩
，∴()f x 的定义域为(,)(,)(,)244442k k k k k k ππππ
ππ
πππ
πππ-+-+-++++，k Z ∈，将()f x 的图象如下图画出，从而可知其最小正周期为π，故填：，π.
16．【答案】②④ 【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知sin sin a A b B =，推出A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，sin sin a B b A =，即sin sin sin sin A B B A =恒成立，所以是正
确的；对于③中，cos cos a B b A =，可得sin()0B A -=，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知
sin sin sin a b c
A B C
+=+是正确，故选选②④．1 考点：正弦定理；三角恒等变换． 17．【答案】 [5，+∞） ．
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
【分析】由题意可得 f （x ）=x 3，再由条件可得m ≥x 2
在区间[
，]上恒成立，求得x 2在区间[，
]
上的最大值，可得m 的范围．
【解答】解：由题意可得 f （x ）=x 6
=x 3．
由f （x ）≤mx 在区间[
，]上恒成立，可得m ≥x 2
在区间[
，]上恒成立，
由于x 2
在区间[
，]上的最大值为 5，故m ≥5，
即m 的范围为[5，+∞）， 故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．
18．【答案】 [﹣1，3] ．
【解析】解：∵函数y=sin 2x ﹣2sinx=（sinx ﹣1）2
﹣1，﹣1≤sinx ≤1，
∴0≤（sinx ﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx ﹣1）2
﹣1≤3．
∴函数y=sin 2
x ﹣2sinx 的值域是y ∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f （2）=0， 即4b+c+3=0．①
f ′（x ）=3x 2+4bx+c ，由已知，f ′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=﹣1，
于是函数解析式为f（x）=x3﹣2x2+x﹣2．
（2）g（x）=x3﹣2x2+x﹣2+mx，
g′（x）=3x2﹣4x+1+，令g′（x）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x2﹣4x+1+=0有实根，
由△=4（1﹣m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x1=（2﹣），x2=（2+），
x g x g x
﹣
极大值
当x=（2﹣）时g（x）有极大值；
当x=（2+）时g（x）有极小值．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
20．【答案】
【解析】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5，
②中的值为=0.40，③中的值为50×0.2=10，
④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为=0.30；
（2）不低于85的概率P=×0.20+0.30=0.40，
∴获奖的人数大约为800×0.40=320；
（3）该程序的功能是求平均数，
S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82，
∴800名学生的平均分为82分
21．【答案】
【解析】（1）易知()()0,1,0,1A B -，设()00,P x y ，则由题设可知00x ≠ ，
∴ 直线AP 的斜率0101y k x -=
，BP 的斜率020
1
y k x +=，又点P 在椭圆上，所以 20014x y +=，()00x ≠，从而有2
00012200011114
y y y k k x x x -+-⋅===-.
（4分）
22．【答案】（1）f x （）
在∞+∞（﹣，）上有且只有一个零点（2）证明见解析 【解析】试题分析：
试题解析：
（1）()()
()2
2211x x
f x e x x e x +='=++，()0f x ∴'≥，
()(
)2
1x
f x x e
a ∴=+-在(),-∞+∞上为增函数．
1a >，()010f a ∴=-<，
又(
)
1f
a a =-=-，
10,1a ->∴>，即0f
>，
由零点存在性定理可知，()f x 在(),-∞+∞上为增函数，且()00f f
⋅<，
()
f x ∴在(上仅有一个零点。

（2）()()2
1x
f x e x ='+，设点()00,P x y ，则()()0
2
001x f x e
x '=+，
()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，()()0
2
0010x
f x e x ∴+'==，01x ∴=-，
21,P a e ⎛⎫
∴-- ⎪⎝⎭
，2OP k a e ∴=-，
点M 处切线与直线OP 平行，
∴点M 处切线的斜率()()2
21m k f m e m a e
=+'==-
，
又题目需证明1m ≤
，即()3
21m a e +≤-，
则只需证明()3211m m e m +≤+，即1m
m e +≤。

令()()1m
g m e m =-+，则()1m
g m e '=-，
易知，当(),0m ∈-∞时，()0g m '<，单调递减， 当()0,m ∈+∞时，()0g m '>，单调递增，
()()min 00g m g ∴==，即()()10m g m e m =-+≥，
1m m e ∴+≤，
1m ∴≤，得证。

23．【答案】
【解析】（I ）证明：由S n =2a n ﹣n 2+3n+2（n ∈N *
），
∴当n ≥2时，，
a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1﹣2n+4，
变形为a n +2n=2[a n ﹣1+2（n ﹣1）]，当n=1时，a 1=S 1=2a 1﹣1+3+2，解得a 1=﹣4，∴a 1+2=﹣2，∴数列{a n +2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；
（II ）解：由（I ）可得a n =﹣2×2n ﹣1﹣2n=﹣2n
﹣2n ．
∴b n =a n sin
π=﹣（2n +2n ）
，∵ =
=（﹣1）n ，
∴b n =（﹣1）n+1（2n
+2n ）．
设数列{b n }的前n 项和为T n ．
当n=2k （k ∈N *）时，T 2k =（2﹣22+23﹣24+…+22k ﹣1﹣22k
）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k ﹣1﹣2k ）
=﹣2k=﹣n ．
当n=2k ﹣1时，T 2k ﹣1=﹣2k ﹣（﹣22k
﹣4k ）=
+n+1+2n+1=
+n+1．
（III ）证明：C n =﹣
=
，当n ≥2时，c n ．
∴数列{C n }的前n 项和为P n ＜==，
当n=1时，c 1=成立．
综上可得：∀n ∈N *
，
．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
24．【答案】已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3=3，S 3=9 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =log 2
，且{b n }为递增数列，若c n =
，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n=3，或a n=3•（﹣）n﹣3；
（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；
故a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，
故b n=log2=2n，
故c n==﹣，
故c1+c2+c3+…+c n=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．。