2007.2高三质量检查数学试卷概要

2007.2
高三质量检查数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷是选择题，第Ⅱ卷是非选择题，
考试时间120分钟，满分150分
第Ⅰ卷 选择题
一、 选择题：（本题共12个小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是
正确的） 1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，子集2{1,1,4}A a =-， C U }3,2{+=a A ，则实数a 的值为：
A ． －2
B ．0
C ．2
D
2 . (理科)若)(22R b i
bi z ∈+-=是纯虚数，则实数b 的值为 （ ）
A . –1
B . 1
C . -2
D . 4 (文科) 函数x x x f 22cos 3sin )(+=的最小正周期是 （ ） A ．4
π B ．2
π C ．2π D ．π
3.命题
:12p x +>，命题:2q x >，则p ⌝是q ⌝的 （ ）
A . 充分非必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要的条件
4.等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39, a 3+a 6+a 9=27，则数列{a n }前9项的和S 9等于 （ ）
A ．66
B ．99
C ．144
D ．297
5.m 、n ∈R ，、、是共起点的向量，、不共线，=,n m +、、的终点共线的充要条件是
（ ）
A ．1-=+n m
B ．0=+n m
C ．1=-n m
D ．1=+n m
6. (理科)000(3)()
lim
1x f x x f x x
∆→+∆-=∆，则0()f x '等于 （ ）
A . 3
B . 0
C . 1
D . 1
3
(文科) 已知直线y=kx +1与曲线y=x 3
+ax +b 切于点（1，3），则b 的值为 （ ）
A ．3
B ．2
C ．-3
D ．－5 7.如图，在正三棱锥P —ABC 中，
E 、
F 分别是PA 、AB 的中点，∠CEF=90°， 若AB=a ，则该三棱锥的全面积为（ ）
A ．
2
233a + B ．
2
433a + C ．24
3a
D ．24
36a + C P E
F A
8.若不等式y y a x x 2222--≥++对于任意实数x ，y 恒成立则实数a 的取值范围是（ ）
A . a ≥3
B . a ≥2
C . a ≥1
D .
a ≥0
9.如图，目标函数Z=kx -y 的可行域为四边形OEFG(含边界) 其中G 、E
的坐标分别是（0，1），（1，0），若点（32，5
4
）是Z 的最优解，则
k 的取值范围是（ ） A . (512-
，54) B . (103，512) C . (512-，103-） D . (3
10-，512
-) 10.对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，直到找出所有次品为止，若恰
好经5次测试找出所有次品，则这样的测试顺序共有（ ）种情况？ A . 24 B . 96 C . 576 D . 720
11. (理科)已知函数⎩⎨⎧<-≥-=)
1(2)
1(1)(x x x x f ，则不等式x f (x -1)<8的解是 ( )
A .-5<x <5
B . –2<x <5
C .-4<x <4
D .–2<x <3
(文科)若x ≥0，y ≥0,且x +2 y =1，则2x +2y
2的最小值是 （ ）
A .2
B . 3
2 C . 43
D .0
12.已知椭圆G 与等轴双曲线C 有公共焦点F 1、F 2， P 是曲线G 与C 的一个交点，且P F 1⊥PF 2，则椭圆G 的离心率e = ( )
A .
36 B . 2
3 C . 22 D . 3
22
第Ⅱ卷 非择题
二、 填空题：（本题共4个小题，每题4分，共16分）
13.多项式3
22221⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++x x 展开式中含x 2的项=____________________.
14.若函数f (x )的反函数为y =1+log a (1-x )(a >0,a ≠1)，则y = f (x )的图象必经过定点________. 15.一个底面边长为2，高为
3
15
的正三棱锥O —ABC ，点A 、B 、C 在一个球面上， O 为球心， 则这个球的体积是___________ .
16.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任意想一个数字记为a ，再由乙猜一个数字记为b ，且a , b ∈{0，1，2，3，…，9}。

若|a -b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”。

现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率是______________.
三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出必要的文字说明，推理过程或演
算步骤） 17、（本题满分12分）
已知函数f (x )=sin (2x +ϕ)+a cos(2x +ϕ)，其中a ，ϕ为常数，a >0，0<ϕ<π，若f (x )的最大 值为2，且图象关于x =
6
π
对称。

（I ）求a 和ϕ的值；
（II ）问由y = f (x )的图象经过怎样的变化可以得到y = sin (2x +3
π
)的图象？
18、（本题满分12分）
已知数列{a n }中，a 1 =2
1
，前n 项和满足S n 和满足：a n +2S n S n -1 =0 (n ≥2) （I ）问数列{
n
S 1
}是否为等差数列？并证明你的结论。

（II ）求a n 和S n 。

（III ）(理科．．
)求证：21S +22S +23S +…+2
n S ≤n
41
21-。

19、（本题满分12分）如图，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=AB=2。

（I ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （II ）求点A 到平面PBD 的距离； （III ）求二面角D —PB —C 的大小。

20、（本题满分12分）
某食品厂90年代初花72万元购进一台机器，第一年需要各种费用11万元，从第二年开始每年比上一年费用增加2万，该机器生产一年的毛收入是48万元。

（I ）求该机器生产n 年(n ∈N*)获得的总利润y （即总收入-购买成本-总费用）. （II ）问该机器至少生产几年才开始赢利（即y >0）?
（III ）该机器使用3年后，国家颁布了有关产品保修法，据此食品厂向机器生产厂家索得8万元保修费，并当做收入，这样一来，问生产几年可达到最大年平均利润？
A
B
C
D
P
O
21、（本题满分12分）
(理科)双曲线C 与椭圆22184
x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.
（I ）求双曲线C 的方程；
（II ）过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当QA PQ 1λ=＝QB 2λ，且3
8
21-=+λλ时，求Q 点的坐标.
（文科）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4. (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.
22、（文科，14分）二次函数f (x )=ax 2+bx +c ，f (0)= -2，x 0>0且f (x 0)= f (-1)=0。

(Ⅰ)求证：0<a <1；
(Ⅱ)求证：-4<f (1)<-2；
(Ⅲ)若f (3x
)≥0的解集是{ x | x ≥1}，求f (x )的解析式。

（理科，14分）已知a >0，函数f (x )=ln(2-x )+ax .
(Ⅰ)设曲线设曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线与圆(x +1)2+y 2=1相切，求a 的值； (Ⅱ)求函数f (x )的单调区间； (Ⅲ) 若
12
1
<<a ，求函数f (x )在[0，1]上的最小值。

参考答案：
一、选择题：
二、填空题：
13. 2
215x 14. （0，1） 15. π34 16. 0.28
三、解答题： 17. 解：
（I ）21)(a x f +=[
2
11a
+ sin (2x +ϕ)+
2
1a a + cos(2x +ϕ)]
=21a +sin (2x +ϕ+α)（其中sin α=
2
1a
a
+,cos α=
2
11a
+）…………………2分
∴ f (x )最大值为21a +=2，又a >0，∴a =3 ……………………………………………4分
∴f (x )=2 sin (2x +ϕ+
3π
) 有函数图象关于x =6
π对称，∴2362π
ππϕπ+=++⨯k (k ∈z) ………………………………6分
又0<ϕ<π，∴ k=1，ϕ=6
5π
…………………………………………………………………8分
（II ）由（I ）知f (x )=2 sin (2x +67π)=2 sin [2(x +125π)+3
π
]
∴ 把y = f (x )的图象上各点向右平移12
5π
，再把图象上各点的纵坐标缩小为原来的一半就可得
到y = sin (2x +3
π
)的图象。

18、解：
（I ）
21111==a S ，n ≥2时，a n =S n -S n -1，∴S n -S n -1+2 S n S n -1=0, ∴2111=--n n S S ，∴数列{n
S 1}是公差首项均为2的等差数列。

……………（文6分，理4分） （II ）由（I ）得n
S 1
=2n ，∴S n =n 21
n ≥2时，a n = -2 S n S n -1=-
)
1(21-n n ∴a n =⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21
n n n n ……………………………………………（文12分，理8分）
(Ⅲ)21S +22S +23S +…+2
n S =
41+2241⨯+2341⨯+…+241
n
⨯ =
41(1+221
+23
1
+…+21n )≤41[1+211⨯+321⨯+…+)1(1-n n ]
=41(1+1-2
1+21-3
1
+…+11-n -n 1)=21-n 41 ……………………………………………(理12分)
19、（I ）证：∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥BD ，又ABCD 为正方形，
∴BD ⊥AC ，PA ∩AC=A ，
∴平面PBD ⊥平面PAC 。

………………………………4分 （II ）解法一：连结PO ，过A 作AE ⊥PO 于E ，
∵平面PBD ⊥平面PAC ，平面PBD ∩平面PAC=PO ，
∴ AE ⊥平面PBD ，
∴ AE 的长度就是A 到平面PBD 的距离，
由已知可得AO=2，PO=6，∴AE=3
3
2…………8分
解法二：以A 为原点，直线AB ，AD ，AP 依次为x , y, z 轴建立直角坐标系（如图）则A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2) ,
=(2, 0, 0)，=(2, 0, -2)，=(-2, 2, 0)，
设=(x , y , z )是平面PBD 的一个法向量，则
⎩⎨
⎧=+-=-0
220
22y x z x 取x =1，得到=(1, 1,1)， ∴ A 到平面PBD 的距离为
|
|n =
3
3
2………………8分 (Ⅲ) 解法一： C(2, 2, 0)，=(0, 2, 0)，设=(a , b , c ) 是平面PBC 的一个法向量，则
⎩
⎨
⎧==-020
22b c a 取a =1，得到=(1, 0, 1)，……………10分 则
2
32=
3
6
, ∴ 二面角D —PB —C 的大小arc cos 3
6
.………………12分
解法二：设PB 、PC 中点分别为M 、N ，连结DM 、DN 、MN ，由已知可得PD=BD=PB=22，∴DM ⊥PB ，且DM=6， 又AB ⊥BC ，PA ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PB ，MN ∥BC ，
A B
C
D
P
O
E
M
A
B
C
D
P
O
N
∴∠DMN 为二面角D —PB —C 的一个平面角，…………………10分 MN=1，DN=3，∴cos ∠DMN=1
62316⋅-+=36
∴∠DMN= arc cos
3
6
. ……………………………………………12分 20、解：(Ⅰ) y = 48n -72-[11n +2
1n (n -1)]=-n 2
+38n -72，…………………………4分
(Ⅱ) 由-n 2
+38n -72>0解得2<n <36，
答：至少生产3年才开始赢利 …………………………………………………………8分
(Ⅲ) 年平均利润为
)64
(388n n n y +-=+≤38-2×8=22， 当且仅当n =8时，n
y 8
+取得最大值22，
答：生产8年，年平均税后利润达到最大。

……………………………………………12分
21、解：
（理科）(Ⅰ)设双曲线C 的方程为122
22=-b
y a x ，
由于它与椭圆14
82
2=+y x 有相同的焦点且一条渐近线为y =3x ，3=a b
∴ 422=+b a ，3=a
b ， 解得12=a ，32
=b ，
∴双曲线C 的方程为13
22
=-y x …… ……………………………………………………4分
(Ⅱ)解法1：由题意知直线l 的斜率存在且不为0，
设l 的方程为y =kx +4,A (x 1，y 1),B(x 2，y 2), 则Q (k
4
-，0)，
∵1λ=，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,4k =λ1⎪⎭⎫ ⎝⎛+
11,4y k x , ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-11114)4(4y k x k λλ ⇒ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-=--=11
11
444λλy k k x ………………6分 ∵A (x 1，y 1)在双曲线C 上, ∴
1316
)1(162121
12
=-+λλλk ， ∴03
161632)16(212
12=-++-k k λλ，
同理有03
161632)16(2
2
222=-++-k k λλ，…………………………………………8分 若216k -=0，则直线过l 顶点，不合题意，∴2
16k -≠0，
∴ λ1，λ2 是方程03
161632)16(2
22=-++-k x x k 的两根，
∴ λ1+λ2=
38
16
322-=-k ， ………………………………………………………………10分 ∴=2
k 4，此时Δ>0，∴2±=k ， ∴ 所求Q 点坐标为（2±，0）。

…………………………………………………………12分 ：
解法2：由题意知直线l 的斜率存在且不为0，
设l 的方程为y =k x +4,A (x 1，y 1),B(x 2，y 2), 则Q (k
4
-，0)，
∵1λ=＝2λ，
∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛--4,4k =λ1⎪⎭⎫ ⎝⎛+11,4y k x =λ2⎪⎭⎫ ⎝⎛+22,4y k x , ∴ -4=λ1 y 1=λ2 y 2，∴114y -=λ，2
24y -
=λ，…………………………………………6分
又λ1 +λ2=38-，∴2111y y +
=3
2
，即3(y 1+y 2)=2 y 1y 2，…………………………………8分 把y =k x +4代入1322
=-y x 化简的(3-k 2)y 2-24y +48-3k 2
=0，
∵3-k 2
≠0，∴y 1+y 2=2324k -，y 1y 2=2
23348k k --， ………………………………………10分
∴3×2324k -=2×2
2
3348k
k --，∴2±=k ∴ 所求Q 点坐标为（2±，0）。

…………………………………………………………12分
（文科）(Ⅰ)设椭圆方程为122
22=+b
y a x (a >0，b >0),由已知得：
c b =， 422
=c
a ，222c
b a +=解得22=a ，12=b ，12=
c ∴所求椭圆方程为12
22
=+y x 。

………………………………………………………4分
(Ⅱ) 由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为y =k x +4,A (x 1，y 1),B(x 2，y 2),
则直线l 与x 轴的交点D (k
2
-，0)，
由⎪⎩
⎪⎨⎧=++=1222
2y x kx y 消去y 化简得：(1+2k 2)+8kx +6=0, ……………………………………6分 Δ=64k 2-24(1+2k 2)>0,解得k 2>23, 且⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+-=+221221216218k x x k k x x ， S ΔAOB =21|OD |•| y 1-y 2|=21k
2•|kx 1+2-kx 2-2|=| x 1-x 2|
=212
214)(x x x x -+=
2
221)32(22k k +-, …………………………………………8分
令m=322-k ，则2k 2
=m 2
+3，
∴S =
=+4222m m m
m 42
2+≤22，当且仅当m=2时，S ΔAOB
取得最大值22， 此时k =±2
14
，所求的直线方程为±14x -2y +4=0. 22、（文科）
(Ⅰ) 证：∵ f (0)=-2，∴ c =-2,
又 ∵f (x 0)= f (-1)=0，∴ -1，x 0是方程f (x )=0，的两根， ∴-1· x 0=
a c =a 2-，∴ 0
2
x a =，又x 0>2, ∴0<a <1……………………………………4分 (Ⅱ) 证：∵ f (-1)= a -b -2=0，∴ b = a -2，∴f (1)=a +b -2=2a -4
由0<a <1得-4<2a -4<-2，即-4< f (1)<-2 ……………………………………………8分 (Ⅲ) ∵0<a <1且f (x 0)= f (-1)=0，∴f (x )=a (x +1)(x -x 0)
∴ f (3x )=a (3x +1)( 3x
-x 0)，
f (3x )≥0 ⇔ 3x ≥x 0 ⇒ x ≥lo
g 3 x 0，
∴ log 3 x 0=1，∴ x 0=3， ………………………………………………………………10分
于是a =
32，b =34-, ∴f (x )= 32x 23
4
-x -2 …………………………………………………………………12分
（理科）解：(Ⅰ)首先函数的定义域为（-∞，2）。

f /(x )= a +
a
x -1，f (1) =a ，f /
(1) =a -1， ∴ (1, f (1))处的切线为l ：y -a =(a -1)(x -1)即(a -1) x - y +1=0
由已知得11
)1(|1|2=+-+-a a ，∴ a =1， …………………………………………………4分
(Ⅱ) f /
(x )=
2
)]
12([--
-x a x a ，∵a >0，∴a 12-<2
又x -2<0，∴不等式f /
(x )>0的解为x <a
12-
∴函数f (x )在区间（-∞，]12a -单调递增，在a
1
2[-，2）单调递减。

……………8分
(Ⅲ)由21<a <1,得0<a 12-<1，∴f (x )在]12,0[a -单调递增，在]1,1
2[a
-单调递减，
f (0)=ln 2, f (1)=a ，而2
1
< ln 2<1，
∴ 当2
1
< a < ln 2时，f (x )在[0，1]上的最小值为f (1)=a ，
当ln 2≤a <1时，f (x )在[0，1]上的最小值为f (0)= ln 2 . ……………………………12分。