2019—2020年最新高中数学人教B版必修一2.4.1《函数的零点》同步测试.doc

第二章 2.4 2.4.1函数的零点
一、选择题
1．函数f(x)＝2x ＋7的零点为( )
A ．7
B ．7
2
C ．－7
2
D ．－7
[答案] C
[解析] 令f(x)＝2x ＋7＝0，得x ＝－7
2
，
∴函数f(x)＝2x ＋7的零点为－7
2
.
2．函数f(x)＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
[答案] A
[解析] 令x2＋x＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0，∴方程无实数根，故函数f(x)＝x2＋x＋3无零点．
3．已知x＝－1是函数f(x)＝a
x
＋b(a≠0)的一个零点，则
函数g(x)＝ax2－bx的零点是( )
A．－1或1 B．0或－1
C．1或0 D．2或1
[答案] C
[解析] ∵x＝－1是函数f(x)＝a
x
＋b(a≠0)的一个零点，∴
－a＋b＝0，∴a＝b.
∴g(x)＝ax2－ax＝ax(x－1)(a≠0)，
令g(x)＝0，得x＝0或x＝1，故选C．
4．(2014·湖北文，9)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C ．{2－7，1,3}
D ．{－2－7，1,3}
[答案] D
[解析] 令x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x 2＋3x ， 又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋3x ，∴f(x)＝－x 2－3x(x<0)，
∴f(x)＝
⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2－3x x ≥0
－x 2－3x x<0
.
∴g(x)＝
⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2－4x ＋3x ≥0
－x 2－4x ＋3x<0
.
当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x<0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7，
∴函数g(x)的零点的集合为{－2－
7，1,3}．
5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )
[答案] A
[解析] 因为函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A中的图象对应的函数没有零点．
6．函数f(x)＝x－4
x
的零点有( )
A．0个B．1个C．2个D．无数个[答案] C
[解析] 令f(x)＝0，即x－4
x
＝0，∴x＝±2.
故f(x)的零点有2个．
二、填空题
7．函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的一个零点在原点，则m的值为________．
[答案]
12
[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝1
2
.
8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3，且f(－6)＝36，则二次函数f(x)的解析式为______________．
[答案] f(x)＝x 2－x －6
[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a(x ＋2)(x －3)，又f(－6)＝36，∴36＝a(－6＋2)(－6－3)
∴a ＝1，
∴f(x)＝(x ＋2)(x －3)，即f(x)＝x 2－x －6. 三、解答题
9．求下列函数的零点： (1)f(x)＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f(x)＝4x 2＋12x ＋9.
[解析] (1)f(x)＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f(x)＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0，
解得x＝－1
7
或x＝1.
∴f(x)＝－7x2＋6x＋1的零点是－1
7
，1.
(2)f(x)＝4x2＋12x＋9＝(2x＋3)2，令f(x)＝0，即(2x＋3)2＝0，
解得x1＝x2＝－3 2 .
∴f(x)＝4x2＋12x＋9的零点是－3 2 .
10．已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且函数f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
[解析] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点分别
为x1，x2，则x1＋x2＝－b
a
，x1x2＝
c
a
.
∵f(0)＝3，∴c＝3.
又∵－
b
2a
＝2，∴－
b
a
＝4.
∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝(－b
a
)2－
2c
a
＝16－
6
a
＝10，
∴a＝1，b＝－4.
∴f(x)＝x2－4x＋3.
一、选择题
1．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( ) A．一个B．两个
C．至少两个D．无法判断
[答案] B
[解析] ∵函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，
∴f(x)在(0，＋∞)上的图象与x轴只有一个交点，
又∵f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，
∴f(x)在(－∞，0)上的图象与x 轴也只有一个交点， 即f(－2)＝0，故选B ．
2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f(x)＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )
A ．1,2
B ．－1，－2
C ．1，1
2
D ．－1，－1
2
[答案] C
[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a
≠0)有两个实根1,2，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋2＝－b a
1×2＝
c
a ，∴
b a ＝－3，c
a
＝2，
于是f(x)＝cx 2＋bx ＋a ＝a(c
a x 2＋b
a
x ＋1)＝a(2x 2－3x ＋1)＝
a(x－1)(2x－1)，所以该函数的零点是1、1
2
，故选C．
3．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[答案] A
[解析] 本题考查函数的零点的判断问题．因为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c －a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A．
4．方程mx2＋2(m＋1)x＋m＋3＝0仅有一个负根，则m的取值范围是( )
A．(－3,0) B．[－3,0)
C．[－3,0] D．[－1,0]
[答案] C
[解析] 当m＝0时，x＝－3
2
<0成立，排除选项A、B，
当m＝－3时，原方程变为－3x2－4x＝0，
两根为x1＝0，x2＝－4
3
，也符合题设．
二、填空题
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是______.
[答案] (－∞，－2)∪(3，＋∞)
[解析] 由表中给出的数据可以得到f(－2)＝0，f(3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f(－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x∈(－∞，－2)时都有f(x)>0，同理可得当x∈(3，＋∞)时也有f(x)>0，故使ax2＋bx＋c>0的自变量x的取值范
围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m、m＋6，则实数c的值为________．
[答案] 9
[解析] f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋a
2
)2＋b－
a2
4
，
∵函数f(x)的值域为[0，＋∞)，
∴b－a2
4
＝0，∴f(x)＝(x＋
a
2
)2.
又∵关于x的方程f(x)＝c，有两个实根m，m＋6，∴f(m)＝c，f(m＋6)＝c，∴f(m)＝f(m＋6)，
∴(m＋a
2
)2＝(m＋
a
2
＋6)2，
∴(m＋a
2
)2＝(m＋
a
2
)2＋12(m＋
a
2
)＋36，
∴m＋a
2
＝－3.
又∵c＝f(m)＝(m＋a
2
)2，∴c＝9.
三、解答题
7．若函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．
[解析] ①当a－1＝0，即a＝1时，函数为y＝x＋2，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
②当a－1≠0，即a≠1时，函数y＝(a－1)x2＋x＋2是二次函数．
∵函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，
∴关于x的方程为(a－1)x2＋x＋2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝1－8(a－1)＝0，解得a＝9 8 .
综上所述，实数a的取值集合是{a|a＝1或a＝9
8 }．
8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点．
(1)求m 的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．
[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点，则m ＋6＝0，或
⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋6≠0Δ＝4m －12－4m ＋6m ＋10，
解得m ＝－6或m ≤－59
且m ≠－6， ∴m 的取值范围为m ≤－59
. (2)若函数有两个不同零点x 1，x 2，
则1x 1＋1x 2
＝－4，即x 1＋x 2＝－4x 1x 2，
∴－2m－1
m＋6
＝－
4m＋1
m＋6
，
解得m＝－3，经验证m＝－3符合题意．。