高考数学 一轮复习课时作业48第8章 解析几何3 Word版含答案
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课时作业(四十八)圆的方程
一、选择题
1．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r。
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：将已知直线化为y－2＝(a－1)(x＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＝0。
答案：C
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹2＋(y＋1)2＝1
∴x＋y＋c的最小值为1－ ＋c，
∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－ ＋c≥0，
∴c的取值范围为c≥ －1。
12．在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－ y＝4相切。
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求 · 的取值范围。
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则 解得 因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x ＋y ＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1。
答案：A
5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是()
A．8 B．－4C．6 D．无法确定
解析：圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心 ，即－ ＋3＝0，∴m＝6。
答案：C
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过点C，则以C为圆心，半径为 的圆的方程为()
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a。
∵|CA|2＝|CB|2，
∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。
∴a＝1，b＝1.∴r＝2。
∴方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。
答案：C
2已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()
A．(x－4)2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
解析：设圆心为O，则O(0,0)，则以OP为直径的圆为△ABP的外接圆。圆心为(2,1)。半径r＝ ＝ 。
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5。
答案：D
6．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围。
解析：(1)由(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2
＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－ ＜t＜1。
(2)∵r＝ ＝ ，
∴当t＝ ∈ 时，rmax＝ 。
解析：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－ y＝4的距离，即r＝ ＝2，
所以圆O的方程为x2＋y2＝4。
(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)。
设P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，
· ＝x2＋y2，
即x2－y2＝2。
· ＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，由于点P在圆O内，故
由此得0≤y2＜1，
所以 · 的取值范围为[－2,0)。
A．5 B．10 C．15 D．20
解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是 ，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2 ＝2 (注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2 ，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于 |AC|×|BD|＝ ×2 ×2 ＝10 ，选B。
答案：B
二、填空题
7．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为__________。
解析：方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心， 为半径的圆，设x－2y＝m，则圆心到直线x－2y－m＝0的距离d＝ ∈[0， ]，解得m的最大值为10。
答案：10
8．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________。
此时圆的方程为 2＋ 2＝ 。
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0时，点P在圆内，
∴8t2－6t＜0，即0＜t＜ 。
11．已知实数x，y满足x2＋y2－2y＝0。
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围。
解析：由题意可知点(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，
(1)方法一：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为
∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1，
∵－ ≤2cosθ＋sinθ≤ ，
∴1－ ≤2x＋y≤ ＋1。
方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时 ＝1。
∴b＝1± ，
∴1－ ≤2x＋y≤1＋ 。
(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝ sin ＋1，
解析：∵圆与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)，
∴由垂径定理得圆心在y＝－3这条直线上。
又已知圆心在2x－y－7＝0上，
∴ 解得 即圆心C(2，－3)，
半径r＝|AC|＝ ＝ ，
∴所求圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5。
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
9．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为__________。
解析：如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°。而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝ ＝3，在△AOB中，可求得OA＝6。所以所求圆的方程为x2＋y2＝36。
答案：x2＋y2＝36
三、解答题
10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆。
一、选择题
1．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r。
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：将已知直线化为y－2＝(a－1)(x＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＝0。
答案：C
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹2＋(y＋1)2＝1
∴x＋y＋c的最小值为1－ ＋c，
∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－ ＋c≥0，
∴c的取值范围为c≥ －1。
12．在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－ y＝4相切。
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求 · 的取值范围。
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则 解得 因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x ＋y ＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1。
答案：A
5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是()
A．8 B．－4C．6 D．无法确定
解析：圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心 ，即－ ＋3＝0，∴m＝6。
答案：C
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过点C，则以C为圆心，半径为 的圆的方程为()
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a。
∵|CA|2＝|CB|2，
∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。
∴a＝1，b＝1.∴r＝2。
∴方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。
答案：C
2已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()
A．(x－4)2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
解析：设圆心为O，则O(0,0)，则以OP为直径的圆为△ABP的外接圆。圆心为(2,1)。半径r＝ ＝ 。
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5。
答案：D
6．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围。
解析：(1)由(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2
＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－ ＜t＜1。
(2)∵r＝ ＝ ，
∴当t＝ ∈ 时，rmax＝ 。
解析：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－ y＝4的距离，即r＝ ＝2，
所以圆O的方程为x2＋y2＝4。
(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)。
设P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，
· ＝x2＋y2，
即x2－y2＝2。
· ＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，由于点P在圆O内，故
由此得0≤y2＜1，
所以 · 的取值范围为[－2,0)。
A．5 B．10 C．15 D．20
解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是 ，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2 ＝2 (注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2 ，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于 |AC|×|BD|＝ ×2 ×2 ＝10 ，选B。
答案：B
二、填空题
7．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为__________。
解析：方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心， 为半径的圆，设x－2y＝m，则圆心到直线x－2y－m＝0的距离d＝ ∈[0， ]，解得m的最大值为10。
答案：10
8．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________。
此时圆的方程为 2＋ 2＝ 。
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0时，点P在圆内，
∴8t2－6t＜0，即0＜t＜ 。
11．已知实数x，y满足x2＋y2－2y＝0。
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围。
解析：由题意可知点(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，
(1)方法一：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为
∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1，
∵－ ≤2cosθ＋sinθ≤ ，
∴1－ ≤2x＋y≤ ＋1。
方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时 ＝1。
∴b＝1± ，
∴1－ ≤2x＋y≤1＋ 。
(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝ sin ＋1，
解析：∵圆与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)，
∴由垂径定理得圆心在y＝－3这条直线上。
又已知圆心在2x－y－7＝0上，
∴ 解得 即圆心C(2，－3)，
半径r＝|AC|＝ ＝ ，
∴所求圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5。
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
9．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为__________。
解析：如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°。而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝ ＝3，在△AOB中，可求得OA＝6。所以所求圆的方程为x2＋y2＝36。
答案：x2＋y2＝36
三、解答题
10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆。