循环码实验报告

课程名称：信息论与编码
课程设计题目：循环码的编码和译码程序设计指导教师：
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学号：姓名：
合作者
完成时间：
成绩：评阅人：
一、实验目的：
1、通过实验了解循环码的工作原理。

2、深刻理解RS 码构造、RS 编译码等相关概念和算法。

二、实验原理
1、RS 循环码编译码原理与特点
设C 使某
线性分组码的码字集合，如果对任C c c c C n n ∈=--),,,(021 ，它的循环移位),,,(1032)1(---=n n n c c c c C 也属于C ，则称该
码为循环码。

该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。

其特点是：（1）可以用反馈移位寄存器很容易实现编码和伴随式的计算；（2）由于循环码有很多固有的代数结构，从而可以找到各种简单使用的译码办法。

如果一个线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n 元组
},,,{110-=n c c c c 是子空间S 的一个码字，则经过循环移位得到的},,,{201)1(--=n n c c c c 也同样是S 中的一个码字；或者，一般来说，经过j 次循环移位后得到的
},,,,,,,{11011)(---+--=j n n j n j n j c c c c c c c 也是S 中的一个码字。

RS 码的编码系统是建立在比特组基础上的，即字节，而不是单个的0和1，因此它是非二进制BCH 码，这使得它处理突发错误的能力特别强。

码长：12-=m
n
信息段：t n k 2-= （t 为纠错符号数）
监督段：k n t -=2
最小码段：12+=t d
最小距离为d 的本原RS 码的生成多项式为：g(x)=(x-α)(x -α2)(x -α3)…(x -αd -2)
信息元多项式为：：m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk -1xk-1
循环码特点有：
1）循环码是线性分组码的一种，所以它具有线性分组的码的一般特性，且具有循环性，纠错能力强。

2）循环码是一种无权码，循环码编排的特点为相邻的两个数码之间符合卡诺中的邻接条件，即相邻数码间只有一位码元不同，因此它具有一个很好的优点是它满足邻接条件，没有瞬时错误（在数码变换过程中，在速度上会有快有慢，中间经过其他一些数码形式，即为瞬时错误）。

3）码字的循环特性，循环码中任一许用码经过牡环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。

对所有的i=0,1,2,……k -1，用生成多项式g(x)除n k i x -+，有：
)()()(x b x g x a x
i i i k n +=+- （2—7） 式中)(x b i 是余式，表示为：
0,1,11,)(i i k n k n i i b x b x b x b ++=---- （2—8） 因此，)(x b x i k n ++-是g(x)的倍式，即)(1x b x i k n ++-是码多项式，由此得到系统形式的生成矩阵为：
(2—9)
它是一个k ⨯n 阶的矩阵。

同样，由G ⨯T H =0可以得到系统形式的一致校验矩阵为：
（2—10）
已知（7，4）循环码的生成多项式和校验多项式分别为：1)(3++=x x x g ，1)(24+++=x x x x h 。

写得其生成矩阵和校验矩阵分别为：
2、编码原理：
有信息码构成信息多项式
011)(m x m x m k k ++=-- ，其中最高幂次为k-1； 用k n x -乘以信息多项式m(x)，得到的)(x m x k n -，最高幂次为n-1，该过程相当于把信息码⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101000011010000110100001101G ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101110001011100010111H ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------------0,01,01,00,1,21,20,11,11,10000010001b b b b b b b b b G k n x k k k n k k k k n k ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------------1000100010,00,20,11,01,21,11,01,21,1 b b b b b b b b b H k k k k k n k n k k n k
（1-k m ，2-k m ，……，1m ，0m ）移位到了码字德前k 个信息位，其后是r 个全为零的监督位；
用g(x)除)(x m x k n -得到余式r(x),其次数必小于g(x)的次数，即小于（n-k ），将此r(x)加于
信息位后做监督位，即将r(x)于
)(x m x k n -相加，得到的多项式必为一码多项式。

1）有信息码构成信息多项式m(x)=m k-1x k-1+``````m 0
其中高幂次为k-1。

2）用x n-k 乘上信息多项式m(x)，得最高幂次为n-1，做移位。

3）用g(x)除x n-k m(x)和到余式r(x)。

编码过程流程图：
3、译码原理：
1） 有接收到的y(x)计算伴了随式s(x)。

2） 根据伴随式s(x)找出对应的估值错误图样。

3） 计算c^(x)=y(x)+e^(x)，得估计码字。

若c^(x)= c(x)，则译码正确，否则错误。

否 由于g(x) 的次数为n - k 次，g(x) 除E(x) 后得余式（即伴随式）的最高次数为n-k-1次，故S(x) 共有2n-k 个可能的表达式，每一个表达式对应一个错误格式。

可以知道(7,4）循环码的S(x) 共有2(7-4) = 8个可能的表达式，可根据错误图样表来纠正(7,4）循环码中的一位错误。

解码过程流程图：
4、纠错能力：
由于循环码是一种线性分组码，所以其纠检错能力与线性分组码相当。

而线性分组码的最小距离可用来衡量码的抗干扰能力，那么一个码的最小距离就与它的纠检错能力有关。

初始化
由R(x)确定S(x)： S(x)=0，无误码误由S(x)确定错误图样E(x) 纠错)()()(X R X E x c += 存储c(x)
定理： 对于任一个),(k n 线性分组码，若要在码字内
（1） 检测个错误，要求码的最小距离1+≥e d
； （2） 纠正个错误，要求码的最小距离12+≥t d
； （3） 纠正个错误同时检测个错误，则要求1++≥e t d ；
循环码的译码分检错译码与纠错译码两类。

在无记忆信道上，对码字c ，差错图案e 和接收向量r 的多项式描述为
)()()(x e x c x r +=
定义)(x r 的伴随多项式为)(x s
112210))
((mod )()(--++++==r r x s x s x s s x g x r x s
由于)),((mod 0)()()(x g x g x a x c ==所以 ))()(mod ()
(x g x e x s = 由此可见，0)(≠x s 则一定有差错产生，或说满足0))()(mod (≠x g x e 的差错图样)(x e 产生，它满足0))()(mod (=x g x e 。

循环码的检错译码即是计算)(x s 并判断是否为0
三、实验分析
1、实验测试结果，包括译码结果、误码率与信噪比之间的关系、生成多项式
理想状态下，对信号随机的提取，编码器输入为1000001110001000，
通过encode函数后，因为加入了监督码，信号变得复杂密集，
编码输出为1011000101001110110001011000
通过译码输出为1000001110001000，与编码输入一致。

说明循环码的检错和纠错能力性能好。

输出多项式为：g(x)=(x+a) (x+a2) (x+a3)=a6+a5x+a4x+a3x2+ a3x +a2x+x3
以randint函数重新做一个输入信号并进行编码，结果与上例相似，输入与输出一致。

由上面所有的图可以发现，编码器输入信号并不完全相同，因为对信号的提取是随机的，所以码元也是随机的，信号经过编码器后，因为要加入监督码，所以波形变得更加密集了。

信号经过译码后，波形和编码器输入信号大致相同，说明循环码的检错和纠错能力可以。

信噪比与误码率的关系比较，从图中可看出，当信噪比在20以内时，误码率相对比较大，最高达到0.45以上，而当SNR大于２０后，信噪比保持很稳定。

下面是误码率的数字显示：
2、实验过程遇到的问题及解决方法
刚开始并没有注意到运用循环码时可用上简便的Matlab自带函数，一直苦恼怎么进行纠错编码及解码，然后查找资料，收集了与循环码相关的函数（部分如下：）
1）encode函数
功能：编码函数
语法：code=encode(msg,N,K,method,opt)
说明：用method指定的方法完成纠错编码。

其中msg代表信息码元，是一个K列矩阵，N是编码后的码字长度；K是信息位的长度；opt是有些编码方式需要的参数。

2）decode函数
功能：译码函数
语法：msg=decode（code，N，K，method，opt1,opt2,opt3,opt4）;
说明：这个函数对接收到的码字进行译码，恢复出原始的信息，译码参数和方式必须和编码时采用的严格相同。

它对接收到的码字，按method指定的方式进行译码；opt1，…，opt4是可选项的参数。

3）cyclpoly函数
功能：生成循环码的生成多项式。

语法：p=cyclpoly（N,K）;
p=cyclpoly（N,K,fd_flag）;
说明：从p=cyclpoly（N,K）中可找到一个给定码长N和信息位长度K生成多项式p，注意不是任意
给定一个多项式都可以作为生成多项式。

4）randint函数
功能：引起一致地分布的任意整数矩阵
语法：out = randint(m)
out = randint(m,n)
out = randint(m,n,rg)
out = randint(m,n,rg,state)
在进行误码率与信噪比之间的关系编程后，Matlab一直显示
其后才发现原来没有对加噪后的信号进行整形输出，于是加入for循环以四舍五入对信号进行整形设定。

for i=1:100
for a=1:k+1
if noisycode(i,a)<0.5
noisycode(i,a) = 0;
else
noisycode(i,a) = 1;
end
end
end
四、RS码在现代通信系统中的应用
RS编码起源于1960年MIT Lincoln实验室，经历了数十年的发展，RS码成为了研究最详尽，分析最透彻，应用最广泛，研究成果最多的码类之一。

１、在井下通信中的应用：由于井下空间小，供电系统布置受到很大局限，电磁干扰现象也很严重，通过选择合适的信道编码方式是抗干扰措施之一，可有效消除干扰，而由于RSce纠正t个m位的二进制错误会符号，而不管这t\个错误会符号是连续出现的还是离散出现，因此RS很适用于存在突发错误信道中，如井下工作，对系统码率的降低和可靠性的提高起重要作用。

井下采煤机与通信系统的硬件框图
２、RS码在PDS水声通信技术的应用
水声通信技术信道是随机时变空变的，其多途扩展产生的码间干扰直接影响到了水声通信的质量。

而RS是一种扩展的非二进制BCH码，具有与PDS通信相结合的优势。

３、RS 码在无线高保真音频传输系统中的应用
在无线音频传输中, 如果传输的数据出现误码, 则会在播放时出现噪声或者啸叫声, 所以想要确保得到高保真的音频, 控制无线传输的误码率是必须的, 通常采用重传和纠错编码两种方法。

重传机制对无线信道的带宽要求更高, 这里采用RS 纠错编码的方法来控制误码率。

五、实验程序
1、循环码编码与解码Matlab源程序（实验以（7，4）循环码进行分析）
m = 3;
n = 2^m-1; %定义码长
k = n-m; %信息位长
msg = randint(k*4,1,2); %随机提取信号，引起一致地分布的任意整数矩阵subplot(2,2,1)
stem(msg)
title('编码器输入信号')
p=cyclpoly(n,k) %循环码生成多项式，n=7，k=4
code = encode(msg,n,k,'cyclic',p); %编码函数，对信号进行差错编码
subplot(2,2,2)
stem(code)
title('编码器输出信号')
recode=decode(code,n,k,'cyclic',p) %对信号进行译码，对接收到的码字进行译码，恢复
出原始的信息，译码参数和方式必须和编码时采用
的严格相同
subplot(2,2,3)
stem(recode)
title('译码器输出信号')
t=-1:0.01:1;
x=recode; %将recode赋值给x，并进行长度与fft设定N=length(x);
fx=fft(x);
df=100/N;
n=0:N/2;
f=n*df;
subplot(2,2,4);
plot(f,abs(fx(n+1))*2/N); grid;
title('频谱图')
2、误码率与信噪比之间的关系程序（以（3，2）循环码进行测试）
m = 2;
n = 2^m-1; %定义码长
k = n-m; %信息位长
Fs=40; %系统采样频率
Fd=1; %码速率
N=Fs/Fd;
M=2; %进制数
for SNRpBit=1:100;%信噪比
SNR=SNRpBit/log2(M);
%制造100个信息组，每组k位
msg = randint(100,k,[0,1]);
code = encode(msg,n,k,'cyclic/binary');
%加入噪声
%在已调信号中加入高斯白噪声
noisycode=awgn(code,SNR-10*log10(0.5)-10*log10(N),'measured',[],'dB');
%将浮点数转化为二进制，波形整形过程
for i=1:100
for a=1:k+1
if noisycode(i,a)<0.5
noisycode(i,a) = 0;
else
noisycode(i,a) = 1;
end
end
end
%译码
newmsg = decode(noisycode,n,k,'cyclic');
%计算误码率
[number,ratio]=biterr(newmsg,msg);
result(SNRpBit)=ratio;
disp(['The bit error rate is',num2str(ratio)]);
end
%不同信噪比下循环码经过加性高斯白噪声信道的误码率
figure(1)
stem(result);
title('循环码在不同信噪比下的误码率')
legend('误码率','*')
xlabel('信噪比');
ylabel('在加性高斯白噪声下的误码率');
六、实验感想
好像在做这个实验时，一直拖一直拖，到最后都快没时间了才查资料看例子，在这次基于MATLAB的通信原理课程设计中，通过查找了大量的循环码理论知识和MA TLAB仿真应用的书籍之后，开始调试程序，并进一步了解MA TLAB编程的关键字的运用，查阅资料之后进行不断的修正和更改，得出最终的结果。

这次MATLAB课程设计不仅仅加深了对课程理论知识的了解，并更加熟悉了计算机语言，软件的应用。

并让我了解，学习知识不仅仅只在课本上，还有更多更广的渠道获得更宽广的知识。

七、参考文献
[1]徐明远，邵玉斌MATLAB仿真在通信与电子工程中的应用.西安：西安电子科技大学学出版社，2005.6
[2]唐向宏，岳恒立，郑雪峰MA TLAB及在电子信息类课程中的应用(第二版）.北京：电子工业出版社，2009.6。