最新高一下学期升高二期末抽测选拔考试数学(理)试题

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角的终边在射线上，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析:先根据题意得到在第四象限,且,再求的值即得的值. 详解：由题得在第四象限,且，
所以
故答案为：A.
点睛：（1）本题主要考查直线的斜率和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在中，存在着“知一求二”的解题规律，即只要知道了其中一个，就可以求出另外两个.
2. 已知向量，则在方向上的投影为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意有投影为.
3. 在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为万元，则10时到11时的销售额为（）
A. 万元
B. 万元
C. 万元
D. 万元
【答案】C
【解析】分析：先根据12时到14时的销售额为万元求出总的销售额，再求10时到11时的
销售额.
详解：设总的销售额为x,则.
10时到11时的销售额的频率为1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.
所以10时到11时的销售额为.故答案为：C.
点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图求概率、频数和总数，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)在频率分布直方图中，所有小矩形的面积和为1，频率=.
4. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析：直接利用中位数、众数、极差的公式求解.
详解：由题得中位数为，众数为45，极差为.故答案为：C.
点睛：本题主要考查中位数、众数、极差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.
5. 已知曲线，则下面结论正确的是（）
A. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长
度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】B
【解析】，
，
将上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
再向左平移个单位长度，得，即曲线，
所以到的变换过程为把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.
故选B.
6. 设函数，则下列结论正确的是（）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 把的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D. 的最小正周期为，且在上为增函数
【答案】C
【解析】分析：函数，向左平移个单位长度，得到f（x）=sin（2x+）=cos2x，即可得出结论．
详解：函数，向左平移个单位长度，
得到f（x）==sin（2x+）=cos2x，是偶函数，
故答案为：C．
点睛：（1）本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对知识的掌握水平.(2) 把函数
向左平移个单位，得到函数的图像, 把函数向右平移
个单位，得到函数的图像.
7. 已知是第三象限角，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：根据已知分别求出，即得的值.
详解：因为是第三象限角，且，
所以
所以=.故答案为：A.
点睛：（1）本题主要考查同角的三角函数关系及求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)
同角的三大关系：商数关系= tan,平方关系.
8. 某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高一年级全体名学生中抽名学生做学习状况问卷调查.现将名学生从到进行编号。

在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是
号，则第组中应取的号码是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由系统抽样方法可知编号后分为组，每组人，每组中抽人，号码间隔为，第
一组中随机抽取到号，则第组中应取号码为．故本题答案选．
9. 已知程序框图如下图所示，则输出的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：直接按照程序框图运行程序即得解.
详解：s=1,i=1,1＜1000，s=1,i=3, 1＜1000，s=3,i=5,3＜1000，s=15,i=7,15＜
1000,s=105,i=9,105＜1000，s=945,i=11,945＜1000，s=10395,i=13,10395＞1000，输出i=13.故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)解答程序框图题目时，要把好输出关，既不能提前，也不能滞后.
10. 已知为非零向量，满足，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵（）⊥，（）⊥，
∴（）•=﹣2 =0，
（）•=﹣2 =0，∴==2，设与的夹角为θ，
则由两个向量的夹角公式得 cosθ=.
∴θ=60°，
故选：B．
11. 一位同学家里订了一份报纸，送报人每天都在早上6：20~7：40之间将报纸送达，该同学需要早上7:00~8:00之间出发上学，则这位同学在离开家之前能拿到报纸的概率（）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，设送报人到达的时间为，这位同学在离开家为；
则可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为
,
其矩形区域的面积为.
事件A所构成的区域为.
即图中的阴影部分，其中.
且△ABC的面积为.
则阴影部分的面积为.
所求对应的概率为.
故选D.
由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件。

根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明在离开家前能得到报纸，即事件A发生，
所以，
故选：D.
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．12. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，若方程
在区间上有两个不同的实数解不，则的值为（）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】由函数图象可知函数的周期为：，
要使方程在区间[0,π]上有两个不同的实数解,
只需函数与函数的图象在区间上有两个不同的交点,
由图象知,两个交点关于直线或关于对称,
因此或.
本题选择D选项.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形,可以用随机模拟方法近似计算的面积，在正方向中随机投掷个点，若恰好有个点落入中，则的面积的近似值为______．
【答案】
【解析】分析：直接利用几何概型求的面积的近似值.
详解：设M的面积为,由几何概型得
点睛：（1）本题主要考查几何概型，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 几何概型的解题步骤:首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是
一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式
；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.
14. 用秦九韶算法计算多项式时的值时，的值为__________．
【答案】-57
【解析】由秦九韶算法可得：
则： .
15. __________．
【答案】1
【解析】分析：由，用两角和的正弦公式展开，把化为，再由两角和的正弦公式化简．
详解：
．
故答案为1．
点睛：三角函数的化简求值关键是应用三角公式进行变形，如诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等等，解题时一定要注意“角”的变换，通过角的变换才能确定选用哪一个公式．
16. 如图，在中，点在边上，点在边上，且，，与交于点，设，则的值为__________．
【答案】
【解析】分析：由B、M、F三点共线，可得 =s+（1﹣s）=s+．由E、M、C 三
点共线，得=t+（1﹣t）=+．解方程组求出 t=，得到=+．再由 =+，求出xy的值，即可求得 x+y的值．
详解：∵，，，∴
由题意知：B、M、F三点共线，∴ =s+（1﹣s）=s+,
由E、M、C 三点共线，∴=t+（1﹣t）=+,
∴1﹣t=，解得 t=．
故=+.
再由 =+，
∴
∴x=，y=，
故 x+y=．
故答案为．
点睛：(1)本题主要考查平面向量基本定理和基底法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 设不共线，点三点共线的充要条件是
,特别地，当时，是中点.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知向量.
（1）若，求；
（2）求的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析：（Ⅰ）两向量垂直，数量积为0，根据角的范围，解出；（Ⅱ）第一步，先根据模的计算公式，化简，第二步，然后代入两向量的坐标，进行三角函数的化简，第三步，根据所给角的范围，求三角函数的最值．
试题解析：解：（Ⅰ）由已知得：即：∴=-1
∵∴5分
（Ⅱ）由已知得：++2（）
=3+2∵
∴∴
即：≤∴≤
即：的最大值为．．10分
考点：1．向量垂直的充要条件；2．向量模的计算；3．三角函数求最值
18. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，随机抽取了个试销售数据，得到第个销售单价(单位:元)与销售(单位:件)的数据资料，算得
（1）求回归直线方程；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元?(利润-销售收入-成本)
附：回归直线方程中，，其中是样本平均值.
【答案】(1);(2)当单价定为元时，工厂可获得最大利润．
【解析】分析：（1）先利用最小二乘法求出，再写出回归直线方程.(2)先求出L 的解析式，再利用二次函数的图像和性质求产品的单价.
详解：（1）根据题意，计算=
，
，
从而回归直线方程为；
（2）设工厂获得的利润为元，依题意得：
所以，当仅当时，取得最大值，
故当单价定为元时，工厂可获得最大利润．
点睛：本题主要考查利用最小二乘法求回归直线方程，考查二次函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.
19. 学校高一数学考试后，对分(含分)以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，分数在分的学生人数为人，
（1）求这所学校分数在分的学生人数；
（2）请根据频率发布直方图估计这所学校学生分数在分的学生的平均成绩；
（3）为进“步了解学生的学习情况，按分层抽样方法从分数在分和分的学生中抽出人，从抽出的学生中选出人分别做问卷和问卷，求分的学生做问卷，
分的学生做问卷的概率.
【答案】(1)200人;(2)113分;(3).
【解析】试题分析：（1）由分数在120～130分的学生人数为30人，且分数在120～130分频率为0.15，能求出分数在90～140分的学生人数．
（2）由频率分布直方图能估计这所学校学生分数在90～140分的学生的平均成绩．
（3）分数在90～100分的学生人数为20人，分数在120～130分的学生人数为30人，按照分层抽样方法抽出5人时，从分数在90～100分的学生抽出2人，记为A1，A2，从分数在
分的学生抽出3人，记为B1，B2，B3，从抽取的5人中选出2人分别做问卷A和问卷B，利用列举法能求出90-100分的学生做问卷A，120-130分的学生做问卷B的概率．
试题解析：
（1）分数在分的学生人数为人，且分数在分频率为，分数在
分的学生人数为人.
（2）估计这所学校学生分数在分的学生的平均成绩为
分.
（3）因为分数在分的学生人数为人，分数在分的学生人数为人，所以按分层抽样方法抽出人时，分数在分的学生抽出人，记为，分数在分的学生抽出人，记为 .从抽出人中选出人分别做问卷和问卷，共有种情况，分别为，设事件“分的学生做问卷，分的学生做问卷”，则事件共有种情况，分别为，，即事件的概率为.
点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
20. 已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）用五点法在图中作出在闭区间上的简图；
（3）说明的图象可由的图象经过怎样的变化得到？
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.
【解析】分析: (1)先利用三角恒等变换的知识化简,再利用三角函数的图像性质求当时求的值域.(2)利用五点法作出在闭区间上的简图.(3)利用图像变换的知识写出的图象可由的图象经过怎样的变化得到.
详解：（1）∵
∴
∴
（2）列表：
作图：
（3）把的图象向左平移个单位，可得函数的图象；
再把所得图象上点的横坐标变为原来的倍，可得函数的图象；
再把所得图象上的点的纵坐标变为原来的倍，可得函图象．
点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查五点法作三角函数的图像，考查三角函数图像变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.
21. 如图，点是的外心，以为邻边作平行四边形，再以为邻边作平行四边形，设；
（1）用表示向量；
（2）证明：；
（3）若在中，，外接圆半径为；求.
【答案】(1);(2)见解析;(3).
【解析】分析：（1）利用向量加法的平行四边形法则可得；
（2）计算，结果为0，则证得结论．
（3）由外接圆的性质可得，同上（1），应用向量的数量积运算法则计算可得．
详解：（1）解：；
（2）证明：＝，
则；
（3）解：•
∵
∴（圆心角是圆周角的两倍）
∴，
同理可得，，，
∴，
∴．
点睛：本题考查平面向量基本定理，考查向量的数量积，解题方法是把问题转化为平面向量的数量积：，．
22. 如图，一个水轮的半径为,水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计算时间。

（1）将点距离水面的高度表示为时间的函数；
（2）点第一次到达最高点大约需要多少时间？
【答案】(1);(2)点第一次到达最高点大约需要．
【解析】分析：（1）先根据已知得到，解之即得A,B的值，再根据周期求出w 的值，最后根据已知求出的值,即得.(2) 令,求出t的值.
详解：（1）依题意可知的最大值为，最小为，
∴；
∵每秒钟内所转过的角为，得，
当时，，得，即，故所求的函数关系式为
（2）令，得，
取，得，
故点第一次到达最高点大约需要．
点睛：（1）本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出.。