人教版八年级第二学期5月份 质量检测数学试卷及答案

一、选择题
1．如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A ，又顺次连接正方形1111D C B A 四边中点得到第二个正方形
2222A B C D ，……，以此类推，则第六个正方形6666A B C D 的面积是（ ）
A ．164
B ．116
C ．132
D ．18
2．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）
A ．43
B ．7
5 C ．2 D ．52-
3．如图，正方形ABCD 的边长为10，8AG CH ==，6BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）
A ．835
B ．2
C ．145
D ．1052-
4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BC ＝EC ，CF ⊥BE 交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF ；②CF 平分∠DCB ；③BC ＝FB ；④PF ＝PC ．其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图，长方形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，且点F 在长方形ABCD 内，将AF 延长交边BC 于点G ，若BG=3CG ，则AD AB =（ ）
A ．54
B ．1
C ．5
D ．6 6．如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(8,0)，点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度沿y 轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿x 轴负半轴方向运动，设点P 、Q 运动的时间为(08)t t <<秒.以PQ 为斜边，向第一象限内作等腰Rt PBQ ∆，连接OB .下列四个说法：
①8OP OQ +=；②B 点坐标为(4,4)；③四边形PBQO 的面积为16；④PQ OB >.其中正确的说法个数有（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．如图，矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE ∆沿AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为( )
A．5
3
或2 B．
5
2
或
5
3
C．
5
2
或
3
5
D．
3
5
或2
8．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ( )
①∠DCF=1
2
∠BCD；②EF=CF；③2
BEC CEF
S S
∆∆
<；④∠DFE=4∠AEF
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
9．已知菱形ABCD的面积为83，对角线AC的长为43，∠BCD=60°，M为BC的中点，若P为对角线AC上一动点，则PB+PM的最小值为（）
A．3B．2 C．23D．4
10．如图，在ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）
A．60
13
B．
30
13
C．
24
13
D．
12
13
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ，25
AC=，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
12．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．
13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是
OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．
14．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．
15．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．
16．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．
17．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则
DF =_________．
18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，
若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝2CD；其中正确的是_____（填序号）
19．如图所示，已知AB＝6，点C，D在线段AB上，AC ＝DB ＝1，P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________．
20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D落在AB边的点F处，得折痕AE，再折叠，使点C落在AE边的点G处，此时折痕恰好经过点B，如果AD=a，那么AB长是多少？”常明说；“简单，我会. AB应该是_____”.
常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B，而是经过了AB边上的M点，如果AD=a，测得EC=3BM，那么AB长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.
三、解答题
∆沿21．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一点（不与点A，D重合），ABE
BE折叠，得BEF，点A的对称点为点F．
=时，点F会落在CE上吗？请说明理由．
（1）当AB AD
（2）设()01AB m m AD
=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．
②若
AE n AD
=，用等式表示m n ，的关系． 22．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ． (1)求证: FCE BOE ≌；
(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．
23．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．
（1）求证：四边形BEDF 是菱形；
（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．
24．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．
（1）求证：AE ＝CE ；
（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE 2，求CE 的长．
25．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段
BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．
（1）求证：BP ＝CQ ；
（2）若BP ＝13
PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．
26．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.
（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；
（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；
②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.
27．（问题情境）
在△ABC 中，AB=AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE=CF ．
图① 图② 图③
证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ．（不要证明）
（变式探究）
当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由.
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
（结论运用）
如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；
（迁移拓展）
在直角坐标系中.直线l 1：y=443
x -
+与直线l 2：y=2x+4相交于点A ，直线l 1、l 2与x 轴分别交于点B 、点C ．点P 是直线l 2上一个动点,若点P 到直线l 1的距离为1.求点P 的坐标.
28．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．
（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．
29．阅读下列材料，并解决问题：
如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC
的值是多少．
在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时DE 取最小值，得出DE 的最小值为6．
参考小红的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE 的长度最小时，AD AC =_______； （2）如图3，延长DA 到点F ，使AF DA =．以DF ，DB 为边作FDBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC
的值．
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；
（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当325
t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解.
【详解】
顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A
则正方形1111D C B A 的面积为11122⨯= 正方形222
2A B C D 的面积为
111224⨯= 正方形3333A B C D 的面积为11112228
⨯⨯= 正方形n n n n A B C D 的面积为1
1()22n n
= 根据规律可得，第六个正方形6666A B C D 的面积为661
11()2264
=
= 【点睛】 本题考查了特殊正方形中的面积计算，解题的关键在于找出规律，根据规律求解.
2．C
解析：C
【分析】
延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ，可得GE=BE-BG=1，HE=CH-CE=1，∠HEG=90°，由勾股定理可得GH 的长．
【详解】
解：如图，延长BG 交CH 于点E ，
在△ABG 和△CDH 中，
AB CD AG CH BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ABG ≌△CDH （SSS ），
AG 2+BG 2=AB 2，
∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，
在△ABG 和△BCE 中，
1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABG ≌△BCE （ASA ），
∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE -BG=4-3=1，
同理可得：HE=1，
在Rt △GHE 中，GH=2
222112GE EH +=+=，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为等腰直角三角形是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
延长DH 交AG 于点E ，利用SSS 证出△AGB ≌△CHD ，然后利用ASA 证出
△ADE ≌△DCH ，根据全等三角形的性质求出EG 、HE 和∠HEG ，最后利用勾股定理即可求出HG ．
【详解】
解：延长DH 交AG 于点E
∵四边形ABCD 为正方形
∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°
在△AGB 和△CHD 中
AG CH BA DC BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△AGB ≌△CHD
∴∠BAG=∠DCH
∵∠BAG ＋∠DAE=90°
∴∠DCH ＋∠DAE=90°
∴CH 2＋DH 2=82＋62=100= DC 2
∴△CHD 为直角三角形，∠CHD=90°
∴∠DCH ＋∠CDH=90°
∴∠DAE=∠CDH ，
∵∠CDH ＋∠ADE=90°
∴∠ADE=∠DCH
在△ADE 和△DCH 中
ADE DCH AD DC
DAE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADE ≌△DCH
∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°
∴EG=AG －AE=2，HE= DE －DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°
在Rt △GEH 中，GH=
2222EG HE +=
故选B ．
【点睛】
此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】
证明：如图：
∵BC ＝EC ，
∴∠CEB ＝∠CBE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC ∥AB ，
∴∠CEB ＝∠EBF ，
∴∠CBE ＝∠EBF ，
∴①BE 平分∠CBF ，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据中点定义得出DE=CE，再根据折叠的性质得出DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，从而得出CE=EF，连接EG，利用“HL”证明△ECG≌△EFG，根据全等三角形性质得出CG=FG，设CG=a，则BC=4a，根据长方形性质得出AD=BC=4a，再求出AF=4a，最后求出
AG=AF+FG=5a，最后利用勾股定理求出AB，从而进一步得出答案即可.
【详解】
如图，连接EG，
∵点E是CD中点，
∴DE=EC，
根据折叠性质可得：AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴CE=EF，
在Rt△ECG与Rt△EFG中，
∵EG=EG，EC=EF，
∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），
∴CG=FG，
设CG=a ，
∴BG=3CG=3
a ， ∴BC=4
a ， ∴AF=AD=BC=4
a . ∴AG=5
a . 在Rt △ABG 中， ∴224AB AG BG a =
-=， ∴1AD AB
=, 故选B.
【点睛】
本题主要考查了长方形与勾股定理及全等三角形判定和性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键,
6．B
解析：B
【分析】
根据题意，有OP=AQ ，即可得到8OP OQ OA +==，①正确；当4t =时，OP=OQ=4，此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，即点B 坐标为（4，4），②正确；四边形PBQO 的面积为：4416⨯=，在P 、Q 运动过程面积没有发生变化，故③正确；由正方形PBQO 的性质，则此时对角线PQ=OB ，故④错误；即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，点P 与点Q 同时以1个单位长度/秒的速度运动，
∴OP=AQ ，
∵OQ+AQ=OA=8，
∴OQ+OP=8，①正确；
由题意，点P 与点Q 运动时，点B 的位置没有变化，四边形PBQO 的面积没有变化， 当4t =时，如图：
则AQ=OP=4，
∴OQ=844-=，
∴点B 的坐标为：（4，4），②正确；
此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，
∴四边形PBQO的面积为：4416
⨯=，③正确；
∵四边形PBQO是正方形，
∴PQ=OB，
即当4
t=时，PQ=OB，故④错误；
∴正确的有：①②③，共三个；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键是根据点P、Q的运动情况，进行讨论分析来解题.
7．B
解析：B
【分析】
连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
【详解】
如图,连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x,则PD′=BM=x，
∴AM=AB−BM=7−x，
又折叠图形可得AD=AD′=5，
∴x2+(7−x)2=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4.
在Rt△END′中,设ED′=a，
①当MD′=3时,AM=7−3=4,D′N=5−3=2，EN=4−a，
∴a2=22+(4−a)2，
解得a=5
2
,即DE=
5
2
，
②当MD′=4时,AM=7−4=3,D′N=5−4=1，EN=3−a，∴a2=12+(3−a)2，
解得a=5
3
,即DE=
5
3
.
【点睛】
本题考查翻折变换（折叠问题）, 矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理与折叠问题.解决本题的关键是依据题意分别表示Rt△AMD′ 和Rt△END′的三边，利用勾股定理解直角三角形.
8．B
解析：B
【分析】
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】
解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．
∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．
∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF
=1
2
∠BCD，故①正确；
延长EF，交CD延长线于M．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM
中，
A FDM
AF DF
AFE DFM
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M．
∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．
∵FM=EF，∴EF=CF，故②正确；
③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．
∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC
故③正确；
④设∠FEC=x，则
∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x ．
∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．
故答案为B．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出
△AEF≌△DMF是解题的关键．
解析：C
【分析】
作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；由菱形的面积可求出BD=4，由题意可证△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质可得DM⊥BC，CM=BM=2，由勾股定理可求DM=23．
【详解】
解：作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；
∵菱形ABCD的面积为3，对角线AC长为3，
∴BD=4，
∵BC=CD，∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=4，
∵M是BC的中点，
∴DM⊥BC，CM=BM=2，
在Rt△CDM中，CM=2，CD=4，
∴2216423
CD CM-=
-
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的性质，直角三角形勾股定理；掌握利用轴对称求最短距离，将PB与PM之和的最小值转化为线段DM的长是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．
【详解】
解：连接AP，在ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝1
2 AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴S△ABC＝11
22
BC AP AB AC
⋅=⋅，
∴11
13512 22
AP
⨯=⨯⨯，
∴AP最短时，AP＝60 13
，
∴当AM最短时，AM＝1
2
AP＝
30
13
．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．
二、填空题
11．12或20
【分析】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=5
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
CE AC AE，
(25)42
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
BE AB AE543
=-=-=,
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
(25)42
CE AC AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
=-=-=,
BE AB AE543
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
12．200m
【分析】
如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】
如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M
由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形
∵∠A＝∠B＝60°
∴18060E A B ∠=-∠-∠=
∴△ABC 是等边三角形
∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m
故答案为：200m ．
【点睛】
本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
13．45
【分析】
设EF ＝x ，根据三角形的中位线定理表示AD ＝2x ，AD ∥EF ，可得∠CAD ＝∠CEF ＝45°，证明△EMC 是等腰直角三角形，则∠CEM ＝45°，证明△ENF ≌△MNB ，则EN ＝MN ＝12
x ，BN ＝FN ＝5，最后利用勾股定理计算x 的值，可得BC 的长．
【详解】
解：设EF ＝x ，
∵点E 、点F 分别是OA 、OD 的中点，
∴EF 是△OAD 的中位线，
∴AD ＝2x ，AD ∥EF ，
∴∠CAD ＝∠CEF ＝45°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝2x ，
∴∠ACB ＝∠CAD ＝45°，
∵EM ⊥BC ，
∴∠EMC ＝90°，
∴△EMC 是等腰直角三角形，
∴∠CEM ＝45°，
连接BE ，
∵AB ＝OB ，AE ＝OE
∴BE ⊥AO
∴∠BEM ＝45°，
∴BM ＝EM ＝MC ＝x ，
∴BM ＝FE ，
易得△ENF ≌△MNB ，
∴EN ＝MN ＝12x ，BN ＝FN ＝5， Rt △BNM 中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2， 即2221
5()2x x =+
解得，x ＝25，
∴BC ＝2x ＝45．
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
14．102︒
【分析】
根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ，AD=CD ；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．
【详解】
连接BD ，BF ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD=CD ，
∴∠DAC=∠DCA ．
∵EF 垂直平分AB ，AC 垂直平分BD ，
∴AF=BF ，BF=DF ，
∴AF=DF ，
∴∠FAD=∠FDA ，
∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，
∵∠CDF=27°，
∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，
∴∠DAB=2∠DAC=102°．
故答案为：102°．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD ，BF ，这是解答本题的突破口．
15．4
2
a
-23
3
【分析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a 最小，可计算a的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠ACB=30°，BC=23，
∴AB=2，AC=4，
∵AG=a，
∴CG=4a
-，
如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=1
2
CG=
4
2
a
-
，
则点G到BC边的距离为4
2
a
-
，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH=
4
2
2
a
-
-=
2
a
，
∴S△ADG
113
23
222
a a
AD MG
=⋅=⨯=，
当a最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，
∴4
2
a
a -
=，
∴
4
3
a=，
∴△ADG 3423
3
=，
故答案为：4
2
a
-23
．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
16．6
【分析】
先证明△AEB≌△FEB≌△DEF，从而可知S△ABE =1
3
S△DAB，即可求得△ABE的面积．
【详解】
解：由折叠的性质可知：△AEB≌△FEB ∴∠EFB=∠EAB=90°
∵ABCD为矩形
∴DF=FB
∴EF垂直平分DB
∴ED=EB
在△DEF和△BEF中
DF=BF EF=EF ED=EB
∴△DEF≌△BEF
∴△AEB≌△FEB≌△DEF
∴
1
366
6
AEB FEB DEF ABCD
S S S S
∆∆∆
====⨯=
矩形
．
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形
的判定和性质，证得△AEB≌△FEB≌△DEF是解题的关键．
17．4
【分析】
证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．
【详解】
解：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE=BE．
∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF=BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．
作EM⊥DB于点M，
∵四边形CDBF是平行四边形，22
BC=
∴BE=1
2
2
BC=，DF=2DE，
在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM
∴EM=1，
在Rt△EMD中，
∵∠EDM=30°，
∴DE=2EM=2，
∴DF=2DE=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，18．①②③⑤
【分析】
根据三角形中位线定理得到EF＝1
2
AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝
1
2
AC，
根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF＝1
2
AB，EF∥AB，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，故①正确；
∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝CF=1
2 AC，
∵AB=AC，EF＝1
2 AB，
∴EF＝DF，故②正确；
∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，
∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∴∠DFC=90°，
∵EF//AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，
∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，
∵∠FDC＝45°，
∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，
∴∠FDE=∠CDE，
∴DE平分∠FDC，故③正确；
∵AB＝AC，∠CAB＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC2=2CD2，
∴CD，
∵AB=AC，
∴AB CD，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
19．2
【分析】
分别延长AE ，BF 交于点H ，易证四边形EPFH 为平行四边形，得出点G 为PH 的中点，则G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ，再求出CD 的长度，运用中位线的性质求出MN 的长度即可．
【详解】
解：如图，分别延长AE ，BF 交于点H ，
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH ∥PF ，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH ∥PE
∴四边形EPFH 为平行四边形，
∴EF 与HP 互相平分，
∵点G 为EF 的中点，
∴点G 为PH 的中点，即在P 运动的过程中，G 始终为PH 的中点，
∴G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ，
∵CD=6-1-1=4，
∴MN=12
CD =2， ∴点G 移动路径的长是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ．
202a
3212
a 【分析】
（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；
（2）结合（1）可知，AE AM 2a ==
，因为EC=3BM ，所以有1BM 2
FM =，求出BM ，继而可得解．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得，
CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=， ∴AB=AE ，
∵AE ==
∴AB =．
（2）结合（1）可知，AE AM ==，
∴FM a =-，
∵EC=3BM ， ∴1BM 2
FM =
∴BM 2
a -=
∴1AB 22a a -=
+=．
；
12
a ． 【点睛】 本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．
三、解答题
21．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-
【分析】
（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；
（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；
②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ∆中应用勾股定理即可求解．
【详解】
（1） 由折叠知BEF BEA ≅ ，
所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒， ．
若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=，
与AB AD =矛盾，
所以点F 不会落在CE 上．
（2）①因为()01AB m m AD
=<<，则AB AD < ， 因为点F 落在CE 上，
所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ，
所以BF BA CD == ．
因为//AD BC ，
所以DEC FCB ∠=∠ ，
所以BCF CED ≅ ，
所以CF DE =．
②若AE n AD
=，则AE nAD =． 设1AD =，则AE n AB m ==，．
因为//AD BC ，
所以BEA EBC ∠=∠ ．
因为BEF BEA ∠=∠ ，
所以EBC BEC ∠=∠ ，
所以1CE CB AD === ．
在Rt CDE ∆中，11DE n CE CD m ===一，， ，
所以222
11()n m -+= ，
所以²²20m n n =+-．
故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．
22．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析
【分析】
（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.
【详解】
(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，
∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，
∴OD CF =，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB OD =，
∴OB CF =，
在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()FCE BOE AAS ≌．
(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:
∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形
∴,,,OA OC OB OD AC BD ===
∴OC OD =，
∴四边形OCFD 为菱形
【点睛】
本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.
23．（1）见解析；（2
；（3）2
【分析】
（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE ，BF=DF ，可得∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF ，可证BE ∥DF ，DE ∥BF ，可得四边形DEBF 是平行四边形，即可得结论；
（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF 的长；
（3）过点D 作BC 的垂线，垂足为H ，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH 的长度，再利用底乘高得出结果．
【详解】
解：证明：（1）∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠DBC ，
∵EF 垂直平分BD ，
∴BE=DE ，BF=DF ，
∵∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，
∴∠EBD=∠BDF ，∠EDB=∠DBF ，
∴BE ∥DF ，DE ∥BF ，
∴四边形DEBF 是平行四边形，且BE=DE ，
∴四边形BEDF 是菱形；
（2）过点D 作DH ⊥BC 于点H ，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF=DE=2，
∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，
∴DH=1
2
DF=1，FH=3DH=3，
∵∠C=45°，DH⊥BC，
∴∠C=∠CDH=45°，
∴DH=CH=1，
∴FC=FH+CH=3+1；
（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，
∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，
∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，
∴∠DFH=∠ABC=30°，
∵DE=DF=2，
∴DH=1，
∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．
24．（1）详见解析；（2）30°；（3）2
【分析】
（1）利用正方形的性质，得到AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，进而判断△ADE≌△CDE得到结论；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到OB＝OE，∠OBE＝∠OEB＝15°，再利用外角和定理求得；
（3）连接OC，与（2）同理得到∠POC＝60°，则△EOC为直接三角形，再应用勾股定理求得.
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°，
在△ADE 和△CDE 中，
AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△CDE （SAS ），
∴AE ＝CE ；
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DBC ＝45°，
∵∠PBC ＝30°，
∴∠PBE ＝15°，
∵PE ⊥BD ，O 为BP 的中点，
∴EO ＝BO ＝PO ，
∴∠OBE ＝∠OEB ＝15°，
∴∠EOP ＝∠OBE ＋∠OEB ＝30°；
（3）如图，连接OC ，
∵点O 是BP 的中点，∠BCP ＝90°，
∴CO ＝BO ，
∴EO ＝CO 2，∠OBC ＝∠OCB ＝30°，
∴∠POC ＝60°，
∴∠EOC ＝∠EOP ＋∠POC ＝90°，
∵EC 2＝EO 2＋CO 2＝4，
∴EC ＝2.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、外角和定理、勾股定理，综合性较强，要注意数形结合.
25．（1）见解析；（2）4.8；（3）
1282x x
- 【分析】
（1）证明△ABP ≌△BCQ 即可得到结论；
（2）证明Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN 求出DQ ，设AN ＝NC '＝a ，则DN ＝8﹣a ，利用勾股定理即可求出a ；
（3）过Q 点作QG ⊥BM 于G ，设MQ ＝BM ＝y ，则MG ＝y ﹣x ，利用勾股定理求出MQ ，再根据面积相减得到答案.
【详解】
解：（1）证明：∵∠ABC ＝90°
∴∠BAP +∠APB ＝90°
∵BQ ⊥AP
∴∠APB +∠QBC ＝90°，
∴∠QBC ＝∠BAP ，
在△ABP 于△BCQ 中，
ABP BCQ AB BC
BAP QBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABP ≌△BCQ （ASA ），
∴BP ＝CQ ，
（2）由翻折可知，AB ＝BC '，
连接BN ，在Rt △ABN 和Rt △C 'BN 中，AB ＝BC '，BN ＝BN ，
∴Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN （HL ），
∴AN ＝NC '，
∵BP ＝13
PC ，AB ＝8， ∴BP ＝2＝CQ ，CP ＝DQ ＝6，
设AN ＝NC '＝a ，则DN ＝8﹣a ，
∴在Rt △NDQ 中，（8﹣a ）2+62＝（a +2）2
解得：a ＝4．8，
即AN ＝4．8．
（3）解：过Q 点作QG ⊥BM 于G ，由（1）知BP ＝CQ ＝BG ＝x ，BM ＝MQ ．。