模块四 正弦交流电路

0）V。
【例4－1】正弦交流电压u=220sin（314t－30°）V，此交流电压的频率 是多少?周期是多少?用电压表测量这个交流电压，读数是多少?在t=0. 005s时 电压的瞬时值是多少? 解：从该交流电压的数学表达式中可知，Um=220V，ω=314rad/s,
0=－30°。 根据ω=2πf
U2 QL UI I 2 XL XL
U为交流电压的有效值，以V作单位；I为交 流电流的有效值，以A作单位；无功功率QL 的单位为Var（乏尔，读“乏”即可）。工 程上常用kVar（千乏）作无功功率的单位， 1kVar=1 000Var。
【例4－4】写出如图4－14所示的交流电动势的数学表达式。
解：
Em 2E 1.414 220 311V
图4－14
由图中看出相量与参考方向的夹角为120°，图中未表示角频率，故交 流电动势的表达式为 e=311sin（ωt+120°）V
活动4
确定两个交流电的相位差
两个交流电量（两个交流电流、电压或电动势，一个交流电流和 一个交流电压等都是两个交流电量）相位的差值，称作相位差，用符 号Δ 表示。
u Um i sin(314t 45 ) R R 100 sin(314t 45 )A 5 20sin(314t 45 )A
Um 2 Im 2 100 2 20 2
（2）
P UI



1000W 1kW
活动2 纯电感交流电路的特点
电路中只有线圈（电感元件）且线圈电阻忽略不计的交流电路称作纯 电感交流电路，又称纯电感电路。 线圈对交流电流的阻碍作用称作感抗，感抗用符号XL表示。 当交流电的角频率为ω（或频率为f或周期为T），线圈的电感为L时， 感抗为
0.707 I m
2. 交流电的平均值 交流电半个周期所有瞬时值的平均值称作交流电的平均值。交流电 流、交流电压和交流电动势的平均值分别用符号，Iav、Uav和Eav表示。 交流电平均值与最大值的关系是
I m 0.637 I m Uav Um 0.637Um 2 Eav Em 0.637 Em Iav
U I XL
图4－21 纯电感电路的波形图和相量图
【例4－8】将L=5mH的线圈接在电压为u=220sin（1 000t+60°）V的 电路中，写出线圈中电流i的数学表达式并画出电压和电流的相量图。
解：线圈的感抗为 XL=ωL=1 000×5×10－3Ω=5Ω 线圈中电流的最大值为
Um 220 Im A 44A XL 5
1. 交流电的有效值 在同一个电阻上，通电时间相同，若交流电产生的热量与直流电产生热量 相同，我们就把直流电的大小称作交流电的有效值。有效值是根据交流电的 热效应与直流电的热效应等效的原理确定的。 交流电最大值是有效值的 倍 2
E
Em 2
0.707Em
U
Um 2
0.707Um
I
Im 2
1 f T
或
1 T f
3. 机械角度与电角度
物体绕某一转轴旋转一周所经历的角度定义为360°，这样的角度称作机械 角度。交流电变化一次所经历的角度定义为360°，这样的角度称作电角度。 电角度与机械角度的关系是：电角度为磁极对数p与机械角度的乘积 4. 相位与初相位 交流电在某一时刻对应的电角度称作相位角，简称相位。 t=0的时刻，即开始时刻交流电所对应的相位，称作初相位，简称初相。 初相表示交流电的初始状态，它的单位是°（度）或rad（弧度）。
活动2
用波形图描述交流电
交流电随时间变化的图线称作波形图。根据交流电的数学表达式画出交流 电的波形图的方法和步骤如图4－10所示，首先选取坐标，用横轴作时间轴 或交流电的电角度轴，用纵轴作交流电电量的瞬时值轴。
图4－10 用数学表达式画出交流电路图
【例4－2】选择示波器的t/div=5ms/div，V/div=10V/div，得到的波形如图4 －11所示，从波形图中确定该交流电压三要素并写出该交流电压的数学表达 式。
U2 P UI I 2R R
U为交流电压的有效值，单位为V（伏特）；I为交流电流的有效值，单 位为A（安培）；有功功率P的单位为W（瓦）。
【例4－7】R=5Ω的电阻接在电压u1=100sin（314t+45°）V的电路上，求： （1）电阻中的电流i； （2）电阻的有功功率P。 解：（1）
1 1 f Hz 50Hz T 0.02
【例4－2 】续 交流电压的角频率为
2 2 f 314rad/s T
得
因为交流电压的初始值（t=0的瞬时值）所占格数为1. 7div，故电压初始值为 u=BV/div=1. 7×10V=17V 将t=0和对应的电压初始值代入交流电压的数学表达式u=22. 5sin（314t+ 0）V，
u 17 sin 0 0.707 Um 22.5
0=45°。故该交流电压的数学表达式为
u=22. 5sin（314t+45°）V
活动3 用相量图描述交流电
表示交流电的相量有如下的约定： （1）任意选定参考方向画交流电的相量时，应画出参考方向；如果在 直角坐标中画交流电的相量，则不必画出参考方向。 （2）相量从画出的位置开始，以角频率（也称作角速度，即每秒转过 的角度）ω按逆时针方向转动时，这个相量称作旋转矢量。旋转矢量某一 时刻在纵轴上的投影，为交流电该时刻的瞬时值。画相量图时，可以不画 出相量的旋转方向和标示ω的大小。 （3）相量的长度为交流电的有效值时，这个相量称作有效值相量，交 流电流、交流电压和电动势的有效值相量分别用符号 I 、 U 和 E 表示；相量的长度为交流电的最大值时，这个相量称作最大值相量，交 流电流、交流电压和电动势的最大值相量分别用符号 、 和 表 I m Um Em 示。 （4）相量还可以用相量式描述，相量式的表示方法是： 有效值相量=有效值∠初相位；最大值相量=最大值∠初相 位 （5）频率相同的交流电可以画在同一个图上；不同频率的交流电不能画在 同一个图上。在同一个相量图中，都用有效值相量或都用最大值相量。
2 L XL L 2 fL T
ω的单位用rad/s（或f的单位用Hz，T的单位用s）；电感L的单位 用H（亨利）；感抗XL的单位为Ω（欧姆）。
纯电感交流电路的特点 在纯电感交流电路中，电压和电流的频率相同；电压和电流的相位关 系是：电压超前电流90°（或说电流滞后电压90°）；电压最大值、有效 值与电流最大值、有效值之间的关系遵循欧姆定律，但电压瞬时值与电流 瞬时值之间的关系不遵循欧姆定律。
活动5
2 2 Um Um1 Um2
了解两个交流电的叠加
Um1 sin 1 Um 2 sin 2 tan Um1 cos 1 Um 2 cos 2
图4－17 平行四边形法则
项目二 交流电路的常用元件和特点
任务一 单一参数的正弦交流电路
活动1 纯电阻交流电路的特点
图4－11 正弦交流电压波形图
活动2 了解交流电的产生过程
在电力系统中，交流电是由交流发电机产生的；在信号系统中，交流 电是由振荡电路产生的。交流发电机的模型如图4－3所示，它由静止部分 和转动部分组成。
在磁感应强度为B的磁场中， 转动的线圈在时刻t的感应电 动势为
e 2BL
L1
2
sin ωt BLL1ωsinωt
2
2

任务三 熟悉交流电的描述方法
活动1 用数学表达式描述交流电
用数学表达式描述交流电，要清楚交流电的三要素，即交流电的最大值、 角频率和初相位，其方法如下：
交流电流的数学表达式为：i=Imsin（ωt＋
A； 0）
交流电压的数学表达式为：u=Umsin（ωt＋0）V； 交流电动势的数学表达式为：e=Emsin（ωt＋
解：从示波器的荧光屏上可以看 出，交流电压两个波峰之间所占 的格为4.5div，故交流电压的最大 值为
BV / div 4.5 10 Um V 22.5V 2 2
从示波器的荧光屏上可以看出，交流电压1个周期所占的格为4div，故交流 电压的周期为 T＝At/div=4×5ms=20ms=0. 02s 交流电压的频率为
【例4－3】画出u =10sin（ωt＋60°）V的相量图，并写出画图步骤。
图4－13 解：u =10sin（ωt＋60°）V的相量如图4－13所示。画出相量图的步骤 是： （1）选取参考方向； （2）在逆时针方向，与参考方向成60°夹角画一直线； （3）选取单位线段代表一定的电压（例中选取的单位线段代表电压 2V），用单位线段截取线段的长度等于有效值或最大值； （4）在截取线段的终点画上箭头，标注相量的符号。

同频率的两个交流电的相位差，就是两个交流电的初相位差，即
＝01 02
0 0 ＝0
第一个交流电超前第二个交流电。 第一个交流电滞后第二个交流电。 两交流电同相。
从波形图确定两个交流电相位差
图4－15 从波形图确定两个交流电相位差
从相量图确定两个交流电相位差
图4－16 从相量图确定两个交流电相位差
5. 角频率 交流电不仅大小和方向在变化，它的相位也在随时间的变化而变化。交流电 每秒变化的相位称作角频率，用符号ω表示，单位为rad/s（弧度每秒）。 角频率ω与周期T的关系为 角频率与频率的关系为 6. 交流电的三要素 最大值、角频率和初相称交流电的三要素

ω=2πf
2 T
活动2 实际中使用交流电的量值
f 2
得


314 HZ=50HZ 2 3.14
根据
2 得 T
T
2


2 3.14 s=0.02S 314
仪表测量的是交流电的有效值，根据U=0. 707Um，得电压表的读数为 U=0. 707×220V=155. 5V。 将t=0. 005s代入u=220sin（314t－30°）V得对应时刻电压的瞬时值为： u=220sin（314×0. 005－30°）V=220sin（0. 5π－30°）V=190. 5V
纯电阻交流电路中电流与电压的频率相同，初相位相同，相位相同。 瞬时值、有效值和最大值都遵循欧姆定律。即：
U I R
图4－19 纯电阻交流电路
纯电阻电路的功率
在交流电路中，把电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称作瞬时功 率，用符号p表示。在纯电阻电路中，瞬时功率为： p=ui=（Umsin ωt）（Imsinωt）=UmImsin2ωt 瞬时功率在一个周期内的平均值，称作平均功率，又称为有功功率， 用符号P表示。
电流的相位
相量图
i＝－90° ＋60° ＝-30°
I =44sin（1 000t－30°）A
线圈中电流的数学表达式为
纯电感电路的功率
在纯电感电路中，交流电整个周期内，电路不消耗电能，只存在电 能与磁场能的相互转换。为描述电能与磁场能的相互转换，把电感元件瞬 时功率的最大值称作无功功率，用符号QL表示。无功功率可用下式计算：
图4－3 交流发电机的模型
若 Em BLL1ω ，将不同时刻对应的感应电动势用e表示，则
e Em sinωt
任务二 交流电的物理量
活动1 描述交流电特征的物理量
1. 瞬时值与最大值 交流电流、电压和电动势的瞬时值分别用符号i、u和e表示。 交流电流、交流电压和交流电动势的最大值分别用符号Im、Um和Em表示。 2. 周期、频率 交流电变化一次所用的时间称作周期，用符号T表示，周期的单位是s （秒），常用单位有ms（毫秒）、μs（微秒）和ns（纳秒）等。 交流电每秒变化的次数称作频率，用符号f表示。频率的单位是Hz（赫兹），当 频率较高时，常用单位有kHz（千赫）、MHz（兆赫）、GHz（吉赫）等。 当周期用s作单位，频率用Hz作单位时，频率和周期有互为倒数的关系，即
模块四 正弦交流电路
项目1 3
直流量的测量
项目一 单相正弦交流电的产生与描述
任务一 了解交流电的产生
活动1 认识交流电的概念
大小和方向随时间按正弦规律周期性变化的电流、电压和电动势称作 正弦交流电，简称交流电。 电流、电压或电动势在某一时刻的大小称作瞬时值，若用横轴作时间轴， 电流、电压或电动势的大小做纵轴，将各个时刻对应的瞬时值连接起来所得 到的曲线，称作波形图或波形曲线，简称波形。如图4－11所示。