2020-2021学年湖北省孝感市孝昌县九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年湖北省孝感市孝昌县九年级第一学期期末数学试
卷
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是（）A．B．
C．D．
2．指出下列事件中是必然事件的个数（）
①一元二次方程x2+2x+4＝0一定有两个不等的实数根；②抛物线y＝2（x﹣1）2+3向左
平移1个单位，再向下平移3个单位可得抛物线y＝2x2；③90°的圆周角所对的弦是圆中最长的弦；④平行四边形是中心对称图形
A．1B．2C．3D．4
3．若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
4．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）
A．40°B．50°C．60°D．20°
5．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值为（）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
6．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）
A．B．C．D．
7．如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）
A．πB．πC．πD．π
8．如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
9．如图是一副三角尺ABC和与DEF拼成的图案，若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向
旋转，则边DE与边AB第一次平行时，旋转角的度数是（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
10．已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（）
A．B．C．D．
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．
13．在同一平面直角坐标系中，点A、B分别是函数y＝x﹣1与y＝﹣3x+5的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的横坐标为．
14．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°．若点E在上，则∠E ＝°．
15．如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是．
16．关于x的反比例函数y＝的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+＝0的根的情况是．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）（3x﹣1）2＝（x+1）2；
（2）．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）如果k是满足条件的最大的整数，且方程x2﹣2x+k＝0一根的相反数是一元二次方程（m﹣1）x2﹣3mx﹣7＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一根．
19．如图，在等腰直角三角形MNC中．CN＝MN＝，将△MNC绕点C顺时针旋转60°，得到△ABC，连接AM，BM，BM交AC于点O．
（1）∠NCO的度数为；
（2）求证：△CAM为等边三角形；
（3）连接AN，求线段AN的长．
20．为了增进亲子关系丰富学生的生活，学校九年级1班家委会组织学生、家长一起参加户外拓展活动，所联系的旅行社收费标准如下：如果人数不超过24人，人均活动费用为120元；如果人数超过24人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于85元，活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？
21．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0、1、2；
乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1、﹣2、0；先从甲袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x2﹣1的图象上的概率；
（3）若以点M为圆心，2为半径作⊙M，求⊙M与坐标轴相切的概率．
22．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．
23．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件
的新型商品在第x天销售的相关信息如表所示．
销售量p（件）p＝50﹣x
销售单价q（元/
当1≤x≤20时，q＝30+x
件）
当21≤x≤40时，q＝20+
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？
24．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD 折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q 从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是（）A．B．
C．D．
【分析】根据旋转变换，平移变换的定义判断即可．
解：观察图象可知，选项D中的图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到，故选：D．
2．指出下列事件中是必然事件的个数（）
①一元二次方程x2+2x+4＝0一定有两个不等的实数根；②抛物线y＝2（x﹣1）2+3向左
平移1个单位，再向下平移3个单位可得抛物线y＝2x2；③90°的圆周角所对的弦是圆中最长的弦；④平行四边形是中心对称图形
A．1B．2C．3D．4
【分析】分别利用一元二次方程根的判别式以及二次函数平移的性质、圆周角定理、中心对称图形的性质分别分析得出答案．
解：①一元二次方程x2+2x+4＝0，由△＝22﹣16＝﹣12＜0，则一元二次方程没有实数根，故原命题是不可能事件；
②抛物线y＝2（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得抛物线y＝2x2，
是必然事件，符合题意；
③90°的圆周角所对的弦是圆中最长的弦，是必然事件，符合题意；
④平行四边形是中心对称图形，是必然事件，符合题意；
故选：C．
3．若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2＝0有实数根，则k的取值范围在数
轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2＝0有实数根，
∴，
解得：k＞﹣1．
故选：A．
4．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）
A．40°B．50°C．60°D．20°
【分析】由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC＝∠B＝∠AOC ＝40°，推出∠AOD＝50°．
解：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝∠AOC＝40°，
∴∠ADB＝90°﹣∠B＝50°，
故选：B．
5．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值为（）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【分析】根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则S△OAM＝S△OBM，而S△ABM＝2，S△OAM＝1，然后根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义即可得到k＝﹣2．
解：∵直线y＝mx与双曲线y＝交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴S△OAM＝S△OBM，
而S△ABM＝2，
∴S△OAM＝1，
∴|k|＝1，
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：A．
6．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得
答案．
解：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，
∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5＝．
故选：C．
7．如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）
A．πB．πC．πD．π
【分析】作OC⊥AB于C，设AB与x轴交于点M，与y轴交于点N．先由直线AB的解析式，得出OM＝ON＝，求出OC＝OM＝．再根据等边三角形的性质得出AB ＝2AC＝，∠AOB＝60°，然后代入弧长公式计算即可．
解：如图，作OC⊥AB于C，设AB与x轴交于点M，与y轴交于点N．
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∴M（，0），N（0，），
∴OM＝ON＝，△OMN是等腰直角三角形，
∴∠OMN＝∠ONM＝45°，
∵OC⊥AB，
∴OC＝OM＝．
∵△OAB为等边三角形，OC⊥AB，
∴AB＝2AC，AC＝＝＝，∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，
∴AB＝，
∴弧AB的长度为：＝π．
故选：C．
8．如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
解：过O作OE⊥AB于E，∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝OA＝30cm，
∴弧CD的长＝＝20π，
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝20π，解得r＝10，
∴圆锥的高＝＝20．
故选：D．
9．如图是一副三角尺ABC和与DEF拼成的图案，若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边AB第一次平行时，旋转角的度数是（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据旋转的性质和平行线的性质即可得到结论．
解：过M作MH∥AB交BC于H，
∵AB⊥BC，
∴MH⊥BC，
∴△BMH是等腰直角三角形，
∴∠BMH＝45°，
∴若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边AB第一次平行时，旋转角的度数是45°，
故选：C．
10．已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（）
A．B．C．D．
【分析】P为AG中点，D为AB中点，所以PD是三角形ABG的中位线，则DP＝1/2 BG，当BG最大时，则DP最大．
由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，BG最大．
解：P为AG中点，D为AB中点，所以PD是三角形ABG的中位线，则DP＝1/2 BG，当BG最大时，则DP最大．
由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，BG最大．
∵C（5，3），B（9，0），
∴BC＝＝5，
∴BG的最大值为2+5＝7，
∴DP的最大值为．
故选：A．
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝4．【分析】根据根与系数的关系得到，通过解该方程组可以求得a、b的值．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a＝0的两个实数根分别是2、b，
∴由韦达定理，得，
解得，．
∴ab＝1×4＝4．
故答案是：4．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0．
【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．
解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，
∵抛物线的对称轴过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），
∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入解析式得：0＝4a﹣2b+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
故答案为：0．
13．在同一平面直角坐标系中，点A、B分别是函数y＝x﹣1与y＝﹣3x+5的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的横坐标为﹣1．
【分析】设点A的坐标为（a，a﹣1），根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数表示出点B的坐标，然后代入y＝﹣3x+5计算即可得解．
解：∵点A在y＝x﹣1的图象上，
∴设点A的坐标为（a，a﹣1），
∵点A、B关于原点对称，
∴点B（﹣a，1﹣a），
∴﹣3×（﹣a）+5＝1﹣a，
解得a＝﹣1，
∴点A的横坐标为﹣1，
故答案为：﹣1．
14．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°．若点E在上，则∠E ＝125°．
【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD＝180°﹣∠C＝70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD＝55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数．
解：∵∠C+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣110°＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵四边形ABDE为圆的内接四边形，
∴∠E+∠ABD＝180°，
∴∠E＝180°﹣55°＝125°．
故答案为125．
15．如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是．
【分析】求出随机闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，共有几种可能情况，以及能让灯泡L1，L2同时发光的有几种可能，由此即可解决问题．
解：∵随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个共有10种可能（任意开两个有4+3+2+1＝10可能，故此得出结论），能够使灯泡L1，L2同时发光有2种可能（S1，S2，S4或S1，S2，S5）．
∴随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是＝．
故答案为．
16．关于x的反比例函数y＝的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+＝0的根的情况是没有实数根．
【分析】由比例函数y＝的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，得出2xy＞12，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可．
解：∵反比例函数y＝的图象位于一、三象限，
∴a+4＞0，
∴a＞﹣4，
∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，
∴2xy＞12，
即a+4＞6，a＞2
∴a＞2．
∴Δ＝（﹣1）2﹣4（a﹣1）×＝2﹣a＜0，
∴关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+＝0没有实数根．
故答案为：没有实数根．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）（3x﹣1）2＝（x+1）2；
（2）．
【分析】（1）先移项，然后用平方差公式进行求解．
（2）题无法用直接开方法和因式分解法进行求解，因此可考虑用求根公式来进行计算．解：（1）原方程可化为：（3x﹣1）2﹣（x+1）2＝0，
（3x﹣1+x+1）（3x﹣1﹣x﹣1）＝0，
∴4x＝0或2x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝1；
（2）∵a＝2，b＝1，c＝﹣，
∴b2﹣4ac＝1﹣4×2×（﹣）＝5；
∴x＝＝；
∴．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）如果k是满足条件的最大的整数，且方程x2﹣2x+k＝0一根的相反数是一元二次方程（m﹣1）x2﹣3mx﹣7＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一根．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，得出4﹣4k≥0，即可求出k的取值范围；
（2）先求出k的值，再代入方程x2﹣2x+k＝0，求出x的值，再把x的值的相反数代入（m﹣1）x2﹣3mx﹣7＝0，即可求出m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围是k≤1；
（2）当k≤1时的最大整数值是1，
则关于x的方程x2﹣2x+k＝0是x2﹣2x+1＝0，
解得：x1＝x2＝1，
∵方程x2﹣2x+k＝0一根的相反数是一元二次方程（m﹣1）x2﹣3mx﹣7＝0的一个根，∴当x＝﹣1时，（m﹣1）+3m﹣7＝0，
解得：m＝2．
则原方程为x2﹣6x﹣7＝0，
解得x1＝7，x2＝﹣1，方程的另一根是7．
答：m的值是2．方程的另一根是7．
19．如图，在等腰直角三角形MNC中．CN＝MN＝，将△MNC绕点C顺时针旋转60°，得到△ABC，连接AM，BM，BM交AC于点O．
（1）∠NCO的度数为15°；
（2）求证：△CAM为等边三角形；
（3）连接AN，求线段AN的长．
【分析】（1）由旋转可得∠ACM＝60°，再根据等腰直角三角形MNC中，∠MCN＝45°，运用角的和差关系进行计算即可得到∠NCO的度数；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行证明即可；
（3）根据△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，判定△ACN≌△AMN，再根据Rt△ACD中，AD＝CD＝，等腰Rt△MNC中，DN＝CM＝1，即可得到AN ＝AD﹣ND＝﹣1．
解：（1）由旋转可得∠ACM＝60°，
又∵等腰直角三角形MNC中，∠MCN＝45°，
∴∠NCO＝60°﹣45°＝15°；
故答案为：15°；
（2）∵∠ACM＝60°，CM＝CA，
∴△CAM为等边三角形；
（3）连接AN并延长，交CM于D，
∵△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，
∴NC＝NM＝，CM＝2，AC＝AM＝2，
在△ACN和△AMN中，
，
∴△ACN≌△AMN（SSS），
∴∠CAN＝∠MAN，
∴AD⊥CM，CD＝CM＝1，
∴Rt△ACD中，AD＝CD＝，
等腰Rt△MNC中，DN＝CM＝1，
∴AN＝AD﹣ND＝﹣1．
20．为了增进亲子关系丰富学生的生活，学校九年级1班家委会组织学生、家长一起参加户外拓展活动，所联系的旅行社收费标准如下：如果人数不超过24人，人均活动费用为120元；如果人数超过24人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于85元，活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？
【分析】判断得到这次春游活动的人数超过24人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：∵24人的费用为24×120＝2880元＜3520元，
∴参加这次春游活动的人数超过24人，
设该班参加这次春游活动的人数为x名．
根据题意，得[120﹣2（x﹣24）]x＝3520，
整理，得x2﹣84x+1760＝0，
解得：x1＝44，x2＝40，
x1＝44时，120﹣2（x﹣24）＝80＜85，不合题意，舍去；
x2＝40时，120﹣2（x﹣24）＝88＞85．
答：该班共有40人参加这次春游活动．
21．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0、1、2；
乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1、﹣2、0；先从甲袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x2﹣1的图象上的概率；
（3）若以点M为圆心，2为半径作⊙M，求⊙M与坐标轴相切的概率．
【分析】（1）树状图如下图所示；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣1＝﹣1，故点（0，﹣1）在函数y＝﹣x2﹣1的图象上，同理点（1，﹣2）也在函数图象上，即可求解；
（3）当x＝2，y＝﹣1时，以点M为圆心，2为半径作⊙M，与坐标轴相切，同理可得：点（0．﹣2）、（1，﹣2）、（2，﹣2）、（2，0）以及（2，﹣1）共5个点符合条件，即可求解．
解：（1）树状图如下图所示：
（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣1＝﹣1，故点（0，﹣1）在函数y＝﹣x2﹣1的图象上，同理点（1，﹣2）也在函数图象上，
即：（0，﹣1）和（1，﹣2），共2个点在函数图象上，
故点M（x，y）在函数y＝﹣x2﹣1的图象上的概率为；
（3）当x＝2，y＝﹣1时，以点M为圆心，2为半径作⊙M，与坐标轴相切，
同理可得：点（0．﹣2）、（1，﹣2）、（2，﹣2）、（2，0）以及（2，﹣1）共5个点符合条件，
即：⊙M与坐标轴相切的概率为．
22．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．
【分析】（1）连接OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO＝90°，再由AC＝FC得到∠CAF＝∠CFA，根据对顶角相等得∠CFA＝∠DFO，所以∠CAF＝∠DFO，加上∠OAD＝∠ODF，则∠OAD+∠CAF＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）由于圆的半径R＝5，EF＝3，则OF＝2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF 的长．
【解答】（1）证明：连接OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠DFO＝90°，
∵AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵∠CFA＝∠DFO，
∴∠CAF＝∠DFO，
而OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODF，
∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵圆的半径R＝5，EF＝3，
∴OF＝2，
在Rt△ODF中，∵OD＝5，OF＝2，
∴DF＝＝．
23．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如表所示．
销售量p（件）p＝50﹣x
销售单价q（元/
当1≤x≤20时，q＝30+x
件）
当21≤x≤40时，q＝20+
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？
【分析】（1）在每个x的取值范围内，令q＝35，分别解出x的值即可；
（2）利用利润＝售价﹣成本，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，y与x的函数关系式；
（3）当1≤x≤20时，y＝﹣x2+15x+500＝﹣（x﹣15）2+612.5，求出一个最大值y1，当21≤x≤40时，求出一个最大值y2，然后比较两者的大小．
解：（1）当1≤x≤20时，令30+x＝35，得x＝10，
当21≤x≤40时，令20+＝35，得x＝35，经检验得x＝35是原方程的解且符合题意即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．
（2）当1≤x≤20时，y＝（30+x﹣20）（50﹣x）＝﹣x2+15x+500，
当21≤x≤40时，y＝（20+﹣20）（50﹣x）＝﹣525，
即y＝，
（3）当1≤x≤20时，y＝﹣x2+15x+500＝﹣（x﹣15）2+612.5，
∵﹣＜0，
∴当x＝15时，y有最大值y1，且y1＝612.5，
当21≤x≤40时，∵26250＞0，
∴随x的增大而减小，
当x＝21时，最大，
于是，x＝21时，y＝﹣525有最大值y2，且y2＝﹣525＝725，
∵y1＜y2，
∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．
24．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD 折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q 从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD＝m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O
两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP＝EQ，可求得t的值；
（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．
解：（1）∵CE＝CB＝5，CO＝AB＝4，
∴在Rt△COE中，OE＝＝＝3，
设AD＝m，则DE＝BD＝4﹣m，
∵OE＝3，
∴AE＝5﹣3＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2＝DE2，即m2+22＝（4﹣m）2，解得m＝，∴D（﹣，﹣5），
∵C（﹣4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y＝ax（x+4），
∴﹣5＝﹣a（﹣+4），解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x（x+4）＝x2+x；
（2）∵CP＝2t，
∴BP＝5﹣2t，
∵BD＝，DE＝＝，
∴BD＝DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP＝EQ，
∴5﹣2t＝t，
∴t＝；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为＝﹣1，线段CM中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，
∴＝﹣1，解得m＝2，
又M点在抛物线上，
∴y＝×22+×2＝16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为＝﹣3，
∵EM，CN互相平分，
∴＝﹣3，解得m＝﹣6，
又∵M点在抛物线上，
∴y＝×（﹣6）2+×（﹣6）＝16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．。