高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》全集汇编及解析

【最新】单元《平面向量》专题解析
一、选择题
1．在ABC ∆中，已知3AB =，23AC =，点D 为BC 的三等分点(靠近C)，则AD BC ⋅u u u v u u u v
的取值范围为（ ）
A ．()3,5
B ．()
5,53
C ．()5,9
D ．()5,7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC u u u r u u u r
，的数量积，再利用余弦函数求最值，
得解． 【详解】
如图，()()()
13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()
11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22211333
AC AB AB AC =--⋅u u u
r u u u r u u u r u u u r ＝8﹣11
3233
cos BAC -⨯⨯∠ ＝7﹣2cos ∠BAC ∵∠BAC ∈（0，π）， ∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1）， ∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9）， 故选C ．
【点睛】
此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．
2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
A ．,,M N P 三点共线
B ．,,M N Q 三点共线
C ．,,N P Q 三点共线
D ．,,M P Q 三点共线
【答案】B 【解析】 【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】
因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r
所以()
2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,
因为5MN a b =+u u u u r r
r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r
由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu
r 为共线向量,
又因为MN u u u u r 与NQ uuu
r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.
故选: B 【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
3．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r r
v v ，且||3a =v ，||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为
（ ） A ．
3
π B ．
23
π C ．
6
π D ．
56
π 【答案】B 【解析】 【分析】
对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与
a b
-v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.
【详解】
因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .
如图，设AB a =u u u v v ，AD b =u u u v v
，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为tan 3BDA ∠=，所以3
BDA π
∠=
，23
BDE π
∠=
.故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.
4．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为23的两点,P Q 在圆
2
2
2:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅u u u r u u u u r
的最小值为（ ）
A ．18122-
B ．19122-
C ．18122+
D ．19122+
【答案】B 【解析】 【分析】
设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r
，求得2
3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，再
利用圆与圆的位置关系，即可求解故()
2
3223MP MQ ⋅≥--u u u r u u u u r ，得到答案.
【详解】
依题意，设PQ 中点D ，
则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r
，所以2
3MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，
2
2
2
22(
)12
PQ C D QC =-=Q ，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上， 22221[(2)4]2(3)1832C C a a a =+--=-+≥Q ，
1221min min MD C C C D MC ∴=-- 故()
2
322319122MP MQ ⋅≥--=-u u u r u u u u r .
【点睛】
本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.
5．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u
r 方向上的投影为4-，则
向量BA u u u r 与AC u u u
r 的夹角为（ ） A ．45° B ．60° C ．120° D ．150°
【答案】C 【解析】
【分析】
设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u
r 方向上的投影为cos =4BD α-u u u r
，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．
【详解】
312AB AC ==，D 是AC 的中点，
则4AC =，2AD DC ==，
向量BD u u u r 在AC u u u
r 方向上的投影为4-，
设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u
r 的夹角为θ， 则cos =4BD α-u u u r
，
∴()
cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC
BA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC
α⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r
u ur r u
， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】
本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
6．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．3
B ．
32
C ．
33
D 3【答案】D 【解析】
∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v ，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r
，
∴
33cos 3cos 33
AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v
⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，
故选D ．
7．在平行四边形OABC 中，2OA =，OC =
6
AOC π
∠=
，动点P 在以点B 为圆
心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则43λμ+的最大值为（ ）
A ．2+
B ．3+
C ．5+
D ．7+
【答案】D 【解析】 【分析】
先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，再求出
7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r
的最大值为.
【详解】
如图所示，由2OA =，6
AOC π
∠=
，
由余弦定理得24+3221,12
AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，
又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ， ∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
∴()
43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6
BAD π
∠=
,
所以3,2AD DB OB ===∴==, 所以
7
cos
BOA ∠==
,
所以
27
OB OA ⋅==u u u r u u u r ，
因为BP OA ⋅u u u r u u u r
2cos0⨯=o ，
∴43λμ+的最大值是7+. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交
AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r
在向量BC uuu r 方向上的投影为（ ）
A ．2
B ．
32
C ．1
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
由1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r
，然后套用公式
向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||
AF BC
BC ⋅=u u u r u u u r
u u u r ，即可得到本题答案. 【详解】
因为点E 为BC 的中点，所以1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又因为EF BC ⊥，
所以()
22111()()()12222
AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=
-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ， 所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||
AF BC
BC ⋅=u u u r u u u r
u u u r . 故选：A. 【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
9．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r
方向上的投影为( )
A ．165
-
B ．
165
C ．1613
-
D ．
1613
【答案】C 【解析】 【分析】
先计算出16a b r r
⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b
⋅r r
r 可得
【详解】
()4,3a =r Q ，()5,12b =-r
，
4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r
，
则向量a r 在b r
方向上的投影为1613a b b
⋅-=r r
r ，
故选：C. 【点睛】
本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r
的夹角为θ，向量a r 在b r
方向上的投影为
cos a θ⋅r 或a b b
⋅r r r
10．已知平面向量,,a b c r r r
满足()()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值
为（ ）
A B C ．
2
-
D 【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，易知a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由
()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221
202
x y x +-+=，所以原问题等价于，圆
221
202
x y x +-+
=上一动点与点()20，
之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，
(),c x y =r
，
因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r
，所以221202
x y x +-+=，
又
b c -=r r
所以原问题等价于，圆22
1
202
x y x +-+=上一动点与点()20，
之间距离的最小值，
又圆2
2
1202x y x +-+
=
的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭
，所以点()20
，与圆221
202
x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
22=. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
11．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则
a v 在
b v
方向上的投影为
A
B
C ．1
D 【答案】C 【解析】 【分析】 根据a v 在b v 方向上的投影定义求解.
【详解】
a v 在
b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)381(3,4)5a b b
⋅⋅--+=
==-r
r r ， 选C. 【点睛】
本题考查a v
在b v
方向上的投影定义，考查基本求解能力.
12．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+=
（ ） A ．13
- B ．
13
C ．12
-
D ．
12
【答案】C
【解析】 【分析】
由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，进而得出
()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，列式分别求出λ和μ，即可求得
λμ+.
【详解】
解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点， 由向量的加减法运算，
得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，
则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩
，
则1
2
λμ+=-.
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
13．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线
于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225
+=8
λμ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
23
B 35
C ．
32
2
D ．
98
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知求出,u λ，再代入2
2
5
+=
8
λμ求出双曲线的离心率. 【详解】
由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2
(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a
-
因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a a
λλ=+-.
所以,,b
u c u c
λλ+=-= 解之得,.22b c c b
u c c
λ+-=
=
因为2
2
5+=8λμ，所以225(
)(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能
力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v
求出,u λ.
14．已知向量(b =r ，向量a r 在b r
方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的
值为（ ） A ．
13
B ．13
-
C ．
23
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
设(),a x y =r ，转化条件得62
x +=-，()
4x λ=-，整体代换即可得解.
【详解】 设(),a x y =r
，
Q a r 在b r
方向上的投影为6-，∴62a b x b
⋅+=
=-r r
r 即12x +=-.
又 ()a b b λ+⊥r r r
，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ++=，
∴()
4x λ+=-即124λ-=-，解得1
3
λ=
. 故选：A. 【点睛】
本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.
15．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r
A ．12A
B AD -+u u u r u u u r B ．12
AB AD -u u u r u u u r C ．12
AB AD +u u u r u u u r D ．12AB AD -u u u r u u u r 【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量的加法法则运算即可.
【详解】
如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法
则可知1.2
BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选A.
【点睛】
本题考查平面向量的加法法则，属基础题.
16．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．2D ．﹣2 【答案】B
【解析】
【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.
【详解】 因为向量m =r (1，cosθ)，n =r (sinθ，﹣2)， 所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r 因为m r ⊥n r ，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
17．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v ，则AF u u u v ＝( )
A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v ，得04
3x =，
013y n =，根据点
B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v
【详解】
根据题意作图：
设点()2,A n ，()00,B x y ．
由椭圆C ：2
212x y += ，知22a =，21b =，21c =，
即1c =，所以右焦点F (1,0)．
由3FA FB =u u u v u u u v ，得()()001,31,n x y =-．
所以()0131x =-，且03n y =.
所以04
3x =，01
3y n =.
将x 0，y 0代入2
212x y +=，
得22
1411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.解得21n =，
所以AF u u u v ===
故选A
【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.
18．下列命题为真命题的个数是（ ）
①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；
②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误； 对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确； 对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，
所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
19．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形 【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.
【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()
0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠=
，故ABC ∆为直角三角形.
故选：A.
【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.
20．已知单位向量,a b r r
满足3a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π 【答案】C
【解析】
由3a b +=r r 22236913a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r ，
又因为单位向量,a b r r ，所以1632a b a b ⋅=⇒⋅=r r r r ， 所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==⋅r r r r r r ，且,[0,]a b π〈〉∈r r ，所以,3
a b π〈〉∈r r ，故选C.。