2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略课件：专题七 平面向量 精品

1．如图 7-1，在△ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，B→G＝2G→O，设C→D∥A→G， 若A→D＝51A→B＋λA→C(λ∈R)，则 λ 的值为________．
图 7-1
6 5
[因为B→G＝2G→O，所以A→G＝13A→B＋23A→O＝13A→B＋31A→C.
又C→D∥A→G，可设C→D＝mA→G.从而A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋m3 A→B＋m3 A→C＝1＋m3
(3)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若D→E ＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为________．
(1)A→D
(2)0
1 (3)2
[(1)设A→B＝a，A→C＝b，则E→B＝－12b＋a，F→C＝－12a＋b，
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专题七 平面向量
专 题 限 时 集 训
题型一| 平面向量的概念与运算
(1)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则E→B ＋F→C＝________.
(2)已知向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若(λa＋b)∥b，则 λ＝________.
(1)2 (2)－4 [(1)如图，以 A 为原点，以 AB 所在的直 线为 x 轴，建立直角坐标系，则 A(0,0)，B(2a,0)，C－1a， a3， ∵O 为△ABC 的外心，∴O 在 AB 的中垂线 m：x＝a 上，
又在 AC 的中垂线 n 上，AC 的中点－21a，2a3，AC 的斜率为 tan 120°＝－ 3，
题型三| 数量积的综合应用
(1)已知 O 为△ABC 的外心，AB＝2a，AC＝a2，∠BAC＝120°，若A→O ＝αA→B＋βA→C，则 α＋β 的最小值为________．
(2)已知点 R(－3,0)，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M(x，y) 在直线 PQ 上，且 2 P→M＋3 M→Q＝0，R→P·P→M＝0，则 4x＋2y－3 的最小值为 ________．
3．(2016·南通调研一)已知边长为 4 的正三角形 ABC，B→D＝21B→C，A→E＝31A→C， AD 与 BE 交于点 P，则P→B·P→D的值为________．
图 7-6
3 [法一：设A→B＝a，A→C＝b.则 a·b＝8.设A→P＝λA→B＋μA→E＝λa＋μ3b，
A→P＝ηA→D＝η2a＋η2b,
即 Δ＝|a|2－4a·b>0，∴a·b<a42，
又∵|a|＝2|b|≠0，
a2
∴cos θ＝|aa|·|bb|<
4 a2
2Leabharlann ＝21，即 cos θ<12，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ∈π3，π.]
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图 7-7
－2 [设 M(a，b)，则 b＝a2＋a 4(a＞0)，据题设得 B(0，b)，向量M→B＝(－a,0)， 设 A(m，m)，则直线 MA 的斜率为－1，即ba－ －mm＝－1，得 m＝a＋2 b， 向量M→A＝b－2 a，a－2 b，M→A·M→B＝a2－2 ab，把 b＝a2＋a 4(a＞0)代入得M→A·M→B ＝a2－2a2－4＝－2.]
从而E→B＋F→C＝－12b＋a＋－21a＋b＝12(a＋b)＝A→D. (2)由题意得 λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，由(λa＋b)∥b
得，(λ＋4)×(－2)－(－3λ－2)×4＝0，解得 λ＝0.
(3)如图，D→E＝D→B＋B→E＝21A→B＋23B→C＝12A→B＋32(A→C－A→B) ＝－61A→B＋23A→C，则 λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝21.]
A→C＋m3 A→B.
因为A→D＝51A→B＋λA→C，
所以m3 ＝51，λ＝1＋m3 ＝65.]
2．向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图 7-2 所示．若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)， 则μλ＝________.
图 7-2
4 [以向量 a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为 1，则 a＝(－1,1)，b＝ (6,2)，c＝(－1，－3)．由 c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋ 6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故 λ＝－2，μ＝－12，则μλ＝4.]
【导学号：91632023】
(1)22
7 (2)12
[(1)由C→P＝3P→D，得D→P＝14D→C＝14A→B，A→P＝A→D＋D→P＝A→D＋14
A→B，B→P＝A→P－A→B＝A→D＋14A→B－A→B＝A→D－34A→B.
因为A→P·B→P＝2，所以A→D＋14A→B·A→D－34A→B＝2， 即A→D2－12A→D·A→B－136AB→2 ＝2.
3．如图 7-3，在△ABC 中，AF＝31AB，D 为 BC 的中点，AD 与 CF 交于点 E.若A→B＝a，A→C＝b，且C→E＝xa＋yb，则 x＋y＝________.
图 7-3
－12 [如图，设 FB 的中点为 M，连结 MD.
因为 D 为 BC 的中点，M 为 FB 的中点， 所以 MD∥CF. 因为 AF＝31AB，所以 F 为 AM 的中点，E 为 AD 的中点．
图 7-5
－2 [∵B→C＝A→C－A→B， ∴A→D·B→C＝(A→B＋B→D)·B→C＝A→B＋31A→C－13A→B·(A→C－A→B) ＝23A→B＋31A→C·(A→C－A→B) ＝－23A→B2＋13A→C2＋31A→B·A→C ＝－23×9＋13×9＋13×3×3×13 ＝－6＋3＋1＝－2.]
题型二| 平面向量的数量积 (1)(2014·江苏高考)如图 7-4，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8， AD＝5，C→P＝3P→D，A→P·B→P＝2，则A→B·A→D的值是________．
图 7-4
(2)已知向量A→B与A→C的夹角为 120°，且|A→B|＝3，|A→C|＝2.若A→P＝λA→B＋A→C， 且A→P⊥B→C，则实数 λ 的值为________．
【名师点评】 求平面向量的数量积的两种方法 1．定义法：a·b＝|a||b|·cos θ，其中 θ 为向量 a，b 的夹角； 2．坐标法：当 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.
1．(2016·盐城三模)已知向量 a，b 满足 a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝ 21， 则向量 a，b 的夹角为________．
3．已知|a|＝2|b|≠0，且关于 x 的函数 f(x)＝13x3＋21|a|x2＋a·bx 在 R 上有极值， 则向量 a 与 b 的夹角的范围是________．
π3，π [设 a 与 b 的夹角为 θ. ∵f(x)＝31x3＋21|a|x2＋a·bx， ∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b. ∵函数 f(x)在 R 上有极值， ∴方程 x2＋|a|x＋a·b＝0 有两个不同的实数根，
∴中垂线 n 的方程为 y－2a3＝ 33x＋21a，把直线 m 和 n 的方程联立方程组
x＝a， y－ 2a3＝ 33x＋21a，
解得△ABC 的外心 Oa， 33a＋23a3，由条件A→O＝
αA→B＋βA→C，
得a， 33a＋23a3＝α(2a,0)＋β－1a， a3＝2aα－βa， a3β，
【名师点评】 1.运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形 或平行四边形.使用三角形加法法则要特别注意“首尾相接”；使用减法法则时， 向量一定“共起点”.
2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线 的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
3.O→A ＝λO→B＋μO→Cλ，μ 为实数，若 A，B，C 三点共线，则 λ＋μ＝1.
1．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：x2＋y2＝4 分别交 x 轴正半轴及 y 轴正 半轴于 M，N 两点，点 P 为圆 C 上任意一点，则P→M·P→N的最大值为________．
4＋4 2 [根据题意得：M(2,0)，N(0,2)．设 P(2cos θ，2sin θ)， 则P→M＝(2－2cos θ，－2sin θ)， P→N＝(－2cos θ，2－2sin θ)， 所以P→M·P→N＝－4cos θ＋4cos2θ－4sin θ＋4sin2θ ＝4－4(sin θ＋cos θ)
λ＝η2， 又 B，P，E 三点共线，所以3μ＝2η，
λ＋μ＝1，
解得 λ＝41，
μ＝34，η＝12，P→B＝A→B－A→P＝43a－14b，P→D＝41a＋14b，
P→B·P→D＝34a－41b14a＋14b＝116(3a2＋2a·b－b2)＝3.
法二：以 BC 为 x 轴，AD 为 y 轴，建立坐标系，B(－2,0)，C(2,0)，A(0,2 3)， P(0， 3)．所以P→B·P→D＝(－2，－ 3)·(0，－ 3)＝3.]
a＝2aα－aβ，
∴
33a＋23a3＝
a3β，
解得 α＝32＋31a2，β＝a32＋23，
∴α＋β＝23＋31a2＋a32＋23＝43＋31a2＋a32≥34＋2×31＝2，当且仅当 a＝1 时取等
号．
(2)由 2P→M＋3M→Q＝0，得 P0，－2y，Q3x，0.由R→P·P→M＝0，得3，－2y·x，32y ＝0，即 y2＝4x，∴4x＋2y－3＝y2＋2y－3＝(y＋1)2－4，因此，当 y＝－1 时，4x ＋2y－3 取得最小值，最小值为－4.]
＝4－4 2sinθ＋4π， 因为－1≤sinθ＋π4≤1，所以 4－4 2≤P→M·P→N≤4＋4 2， 所以P→M·P→N的最大值为 4＋4 2.]
2．(2016·苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系 xOy 中，设 M 是函数 f(x)＝x2＋x 4 (x＞0)的图象上任意一点，过 M 点向直线 y＝x 和 y 轴作垂线，垂足分别是 A，B， 则M→A·M→B＝________.
又因为A→D2＝25，A→B2＝64，所以A→B·A→D＝22.
(2)因为A→P⊥B→C，所以A→P·B→C＝0， 所以(λA→B＋A→C)·B→C＝0，即(λA→B＋A→C)·(A→C－A→B)＝λA→B·A→C－λA→B2＋A→C2－ A→C·A→B＝0. 因为向量A→B与A→C的夹角为 120°，|A→B|＝3，|A→C|＝2， 所以(λ－1)|A→B||A→C|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得 λ＝172.]
π 3
[∵a＝(4，－3)，∴|a|＝5，
又|b|＝1，|a－b|＝ 21，
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝25.
5 ∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝5×2 1＝12.
又〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝π3.]
2．如图 7-5，在△ABC 中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝31，D→C＝2B→D，则A→D·B→C 的值为________．
法一：因为A→B＝a，A→C＝b，D 为 BC 的中点， 所以A→D＝21(a＋b)． 所以A→E＝12A→D＝14(a＋b)． 所以C→E＝C→A＋A→E＝－A→C＋A→E＝－b＋14(a＋b)＝14a－34b. 所以 x＝14，y＝－34， 所以 x＋y＝－12.
法二：易得 EF＝21MD，MD＝21CF， 所以 EF＝41CF，所以 CE＝43CF. 因为C→F＝C→A＋A→F＝－A→C＋A→F ＝－b＋13a， 所以C→E＝34－b＋13a＝41a－34b. 所以 x＝14，y＝－34，则 x＋y＝－12.]
【名师点评】 两类平面向量综合问题的解决方法 1.用向量解决平面几何问题，主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐标 化，然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题； 2.在平面向量与平面解析几何的综合问题中，应先根据平面向量知识把向量 表述的解决几何问题的几何意义弄明白，再根据这个几何意义用代数的方法研 究解决.