广东省揭阳市第二中学2022年高三数学文月考试题含解析

广东省揭阳市第二中学2022年高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
2. 已知集合，，则
（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B.
由题意得，，所以.
3. 若函数满足：存在非零常数，则称为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
4. 下列说法中正确的有
（1）命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”；
（2）“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件；
（3）对于命题p：?x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2+x+1≥0（4）若P∧q为假命题，则P、q均为假命题．( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
参考答案：
C
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】（1）由逆否命题的意义即可判断出正误；
（2）由x2﹣3x+2＞0解得x＞2或x＜1，即可判断出结论；
（3）由￢p的定义即可判断出正误；
（4）若P∧q为假命题，则P、q至少有一个为假命题，即可判断出正误．
【解答】解：（1）命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”，由逆否命题的意义可得：其逆否命题为“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”，正确；
（2）由x2﹣3x+2＞0解得x＞2或x＜1，∴“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确；（3）对于命题p：?x∈R，x2+x+1＜0，由￢p的定义可知￢p：?x∈R，x2+x+1≥0，正确；
（4）若P∧q为假命题，则P、q至少有一个为假命题，因此不正确．
综上可得：正确命题的个数为3．
故选：C．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5. 已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足f（x+a）=f（a﹣x），则f（a+）=（）A．A B．﹣A C．0 D．不确定
参考答案：
C
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由题意求出函数的对称轴，函数的周期，利用正弦函数的基本性质即可求出f（a+）的值．
【解答】解：函数f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足f（x+a）=f（a﹣x），
∴函数关于x=a对称，x=a时函数取得最值，
∴2a+φ=kπ+，k∈Z，
∴f（a+）=Asin（2a++φ）=Acos（2a+φ）=Acos（kπ+）=0．
故选：C．
6. 在数列中，，，且（），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是A．210 B．10 C．50 D．90
参考答案：
C
7. 已知a、b、c R，函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则
A、a>0,4a+b=0
B、a<0,4a+b=0
C、a>0,2a+b=0
D、a<0,2a+b=0
参考答案：
A
8. 复数的虚部为（）
A． i B．﹣i C． 1 D．﹣1
参考答案：
D
9. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
B
略
10. 在平面直角坐标系中,不等式组(是常数)所表示的平面区域的面积是9,那么实数的值为( )
A. B. C. D.1
参考答案：
D 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,且,则
．
参考答案：
12. 若实数x满足x＞﹣4，则函数f（x）=x+的最小值为．
参考答案：
2
【考点】基本不等式．
【专题】函数思想；数学模型法；不等式．
【分析】由题意可得x+4＞0，变形可得f（x）=x+=x+4+﹣4，由基本不等式可得．
【解答】解：∵x＞﹣4，∴x+4＞0，
∴f（x）=x+=x+4+﹣4
≥2﹣4=2
当且仅当x+4=即x=﹣1时取等号，
故答案为：2．
【点评】本题考查基本不等式求最值，凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．13. 已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．
参考答案：
(1)5(2)
14. 不等式|x﹣1|≤x的解集是_________ ．
参考答案：
15. 已知
，
，点C 在∠AOB 内，∠AOC=45°，设
，则
= ．
参考答案：
【考点】向量在几何中的应用．
【专题】计算题．
【分析】将向量
沿
与
方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得
三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有已知给定图形的限制，应该有两种情况，即也可能为OC 在OA
顺时针方向45°角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
则=（1，0），=（0，），
∴
=m
+n
=（m ， n ），
∴tan45°==1，
∴=
．
故答案为：
．
【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．
16. i 是虚数单位，则
= ．
参考答案：
1﹣i
【考点】虚数单位i 及其性质．
【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式．
【解答】解：∵
=
=
=1﹣i ，
∴
=1﹣i ， 故答案为：1﹣i
17. 若数列的通项公式为，则 ．
参考答案：
因为
，所以，所以。

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.
（12分）已知椭圆
过点，且离心率。

（1）求椭圆方程； （2）若直线
与椭圆交于不同的两点
、
，且线段
的垂直平分线
过定点
，求的取值范围。

参考答案：
解析：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率
∴椭圆方程为……2分
又点在椭圆上
∴椭圆的方程为（4分）（Ⅱ）设
由
消去并整理得……6分
∵直线与椭圆有两个交点
，即……8分又
中点的坐标为……10分
设的垂直平分线方程：
在上
即
……12分
将上式代入得
即或
的取值范围为…………（8分）19. 已知函数为奇函数。

(I）证明：函数在区间（1，）上是减函数；
(II）解关于x的不等式。

参考答案：
（I）函数为定义在R上的奇函数，
函数在区间（1，）上是减函数。

(II）由
是奇函数，
又，且在（1，）上为减函数，
解得
不等式的解集是
20. 已知椭圆过点，离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）直线过点且交椭圆于、两点，若（其中为坐标原点），求直线的方程．
参考答案：
见解析
（Ⅰ）将代入方程可得，
离心率，
∴，
∴的方程为：．
（Ⅱ）设，，直线方程为，
则，，
∵，
∴，
由，
可得，
∴，，∵，
∴，
∴，
∴．
∴直线的方程为或．
21. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．
参考答案：
（1）证明见解析；（2）.
令，则，
∴，
∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值．
∴．
考点：（1）直线与平面垂直的判定；（2）二面角的平面角及其求法；（3）空间向量求平面的夹角.
【一题多解】对于（2）还可采用由：①当与重合时，．②当与重合时，过作，且使，连接，，则平面平面，
∵，，∴平面，∴平面，∴，∴，
∴．③当与，都不重合时，令，延长交的延长线于，连接，∴在平面与平面的交线上，∵在平面与平面的交线上，∴平面平面，过作交于，连接，由（1）知，，又∵，∴平面，∴，又∵，，∴平面，∴，∴，在中，，从而在
中，，∵，∴，
∴，∵，∴，综上所述，．
22. 已知函数
(1)若求在处的切线方程;
(2)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.
参考答案：
略。