九年级数学第六章解直角三角形师大版知识精讲

初三数学第六章解直角三角形师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容： 第六章解直角三角形
正弦和余弦，正切和余切
学习目标：
1. 掌握正弦、余弦，正切和余切的定义。

2. 能对图形和式子进行灵活变化。

3. 掌握特殊角的正弦、余弦、正切和余切值。

4. 注意数形结合思想，转化思想和方程思想的提炼和运用。

重点：
1. 正、余弦函数定义，正、余切函数定义。

2. 灵活将图形和式子进行变化。

难点：
对正、余弦，正、余切概念的理解和认识。

一. 基础知识分析
1. 正弦——Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作：sinA
即：的对边
斜边sin A A =∠
2. 余弦——Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA
即：∠的邻边
斜边cosA A =
如图：
A b Ｃ
sin cos A a c
A b c
=
=
3. 正、余弦的定义：
（）范围为锐角时，为锐角时，101
01αααα<<<<⎧⎨⎩
sin cos
（）一般角互余两角函数关系：（）
同角正、余弦关系：2901
22
sin cos sin cos αααα=-+=⎧⎨⎪⎩⎪ （）特殊角：、、、、各角正、余弦值。

3030456090
（）增减性为锐角时，随增而增
为锐角时，随增而减4ααααααsin cos ⎧⎨
⎩
4. A A tanA 正切——∠的对边与邻边的比叫做∠的正切，记作，即的对边
的邻边
tan A A A =
∠∠
5. 余切——把∠A 的邻边与对边的比（即tanA 的倒数）叫做∠A 的余切，记作：cotA
即的邻边的对边cot tan A A A A =∠∠=
1
tan cot cot tan A A A A =-=-（）
（）9090
6. 正、余切的定义（）一般角互余两角关系：（）同角正、余切：同角三角函数关系：（）范围时，时，190120450114590011tan cot tan cot tan sin cos tan cot cot tan ααααααααααααα=-⋅==
⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪<≤<
≤≥<≤≤<>⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
（3）特殊角30°、45°、60°各角正、余切值
（）增减性为锐角时，随增而增
为锐角时，随增而减4ααααααtan cot ⎧⎨
⎩
二. 典型例题分析
例如果为锐角，那么的值是（
）1. αααsin cos +
A. 小于1
B. 等于1
C. 大于1
D. 无法确定 分析：由锐角三角形函数的定义。

设是直角三角形中的锐角αA
则sin cos αα+=+=
+a c b c a b
c
据三角形三边关系：0<c<a+b ∴+>sin cos αα1 答案：C
例：化简2121010128080-⋅-+⋅sin cos sin cos
分析：化简本题关键是将被开方数化成完全平方的形式，为此需逆向运用sin 2A+cos 2A=1，将1分别化为sin 210°+cos 210°及sin 280°+cos 280°。

解：原式=-+-++sin sin cos cos sin sin cos cos 2222102101010802808080 =--+（）sin cos (sin cos )1010808022
=--+sin cos sin cos 10108080 =--+sin sin sin sin 10808010 =--+(sin sin )(sin sin )80108010
=---sin sin sin sin 80108010 =-210sin
例已知方程的两个根恰是一直角三角形两个锐角的余弦342102.(),x m x m -++= 求m 的值。

分析：根据互余两角及同角三角函数关系可知这两个根的平方和为1，再利用根与系数的关系即可求出m 。

解：设直角三角形两锐角分别为∠A 、∠B ，由根与系数的关系有
cos cos cos cos A B m A B m +=+⋅=
⎧
⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪12
4 ∠+∠=A B 90 ∴=cos sin B A
∴+=+⋅=⎧
⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪cos sin cos sin A A m A A m 12142（）
（）
（）（）122122
2222-⨯+=+-cos sin (
)A A m m
即（
）1122
2=+-m m
整理得：±m2=3 m =3 由题意得
m A B =⋅>40cos cos
∆=+-41162()m m =-≥4102()m ∴=m 3
例4. 已知：∠A 、∠B 均为锐角，并且sinA 是方程6x 2-11x+3=0的根。

cosB 是方程6x 2-x-2=0的根，求sin 2A+cos 2B 的值。

分析：从已知sinA 、cosB 分别是两方程的根，通过解方程可求出sinA 、cosB 。

从而求解，充分注意锐角三角函数值都是正数的性质，且sinA 、cosB 的最大值为1。

解：611302x x -+=
()()31230133
2
12x x x x --===解得，
013
2
2<<∴=sinA x 不合题意舍去
∴=sin A 1
3
解方程即620322102x x x x --=-+=()()
解得，x x 12231
2
==-
011
2
2<<∴=-cosB x 不合题意舍去
∴=cosB 2
3
∴+=+sin cos ()()2222132
3
A B
=59
例在中，，，5151484.∆∆ABC AB BC S ABC ===
（1）求tanC 的值； （2）求sinA 的值。

分析：为了求tanC 、sinA 的值，分别构造出以∠C 、∠A 为内角的直角三角形。

解：（1）如图，过点A 作AE ⊥BC 于E
则1
2⋅⋅=BC AE S ABC ∆ 即1
2
14⋅⋅=AE S ABC ∆ ∴=AE 12
则BE AB AE =-=-=222215129 ∴=-=-=CE BC BE 1495
在中Rt AEC C AE CE ∆tan ==
12
5
（2）由（1）知：CE=5，AE=12
∴=+AC AE CE 22 =+=1251322 过点作于C CD AB D ⊥
由得S AB CD CD ABC ∆=⋅=⋅⋅12841
2
15 ∴=
CD 565
在中
Rt ADC A CD AC ∆sin ===5651356
65
例 6. 为了测河的北岸上电杆PQ 的高度，在河这边电杆的正南方的A 点。

测电杆顶点P 的仰角为，再在点的正西方距点米的处测得和的水平角为。

αβA A a B A Q
求：电杆高PQ 。

分析：如图，由于AQ 是南北方向，AB 是东西方向，∴∠QAB=90°，于是构成直角三角形和△，在△中，可求，在△中，只有∠无法求AQP BAQ Rt BAQ AQ Rt AQP QAP =α解，但由于解出后，可转化为可解的直角三角形，从而求出。

Rt BAQ AQ PQ ∆
解：在中，，Rt BAQ BAQ AB a ∆∠==90 ∴=⋅∠AQ AB ABQ tan =⋅a tan β
在中，Rt AQP QAP ∆∠=α A Q a =⋅tan β
∴=⋅PQ AQ tan α =⋅⋅a tan tan βα =⋅⋅a tan tan αβ
答：电杆的高度为a tan tan ⋅⋅αβ
例7. 如图，△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D 为BC 边上一点，
tan ADC ∠是方程的一个较大的根，求的长（结果取准确值）3151
222()()x x
x x CD +-+=
分析：由于是方程的一个较大的根，且∠这与要求的有tan tan .∠=ADC ADC AC
CD
CD 关，
故求方程的根是关键。

A B
解：31
51
2022
（）x x x x +
-+-=()
∴++--+-=312251
2022()()x x
x x
3151
802()()x x x x +-+-=
解得或x x x x +=-+=1118
3
当时方程无实根x x x x +=-++=1
1102
当时，x x x x +=-+=18
3
38302
解得x x 1247347
3
=+=
-, 由于x x 12>
∴∠=
+tan ADC 47
3
在中，Rt ABC AC BC ∆=⋅=cot 303 在中，Rt ADC CD AC ADC ∆=
∠=+=-tan 3473
4321
3
例已知关于的方程的两根平方和是8. x x x 223010--=tan θ
求：锐角的度数θ
解：设的两根为，则，x x x x x x x x 212121223023--=+==-tan ,tan θθ ∴+=+-x x x x x x 1222122222()
=+462tan θ x x 122210+=
∴+=46102tan θ ∴=tan 21θ
θθ为锐角，tan >0
∴=tan θ1 从而θ=45
例在中，、、分别是、、的对边，且，若关于的方程9. ABC a ∆b c A B C c x ∠∠∠=53（）（）有两个相等的实数根，又方程53253021022+++-=-+
b x ax b x A x (sin )506sinA BC =的两实数根的平方和为。

求的面积。

∆A
解： 方程（）（）有两相等实数根。

5325302+++-=b x ax b ∴=()-+-=∆24535302a b b ()()
即a b 2275+= c a b c 222275
=∴+=
故△ABC 是直角三角形且∠C=90°
设是方程的两实数根，x x x A x A 12221050,(sin )sin -+=
则x x A x x A 121255
2
+=⋅=sin sin
x x 12226+=
而x x x x x x 1222122122+=+-()
∴--=(sin )sin 55602A A
解得或（舍去）sin sin A A ==-352
5
在Rt △ABC 中 c a c A ==⋅=53
33sin
b c a =-=2243
∴==S ab ABC ∆1
2
18
【模拟试题】
1. 当a=sin45°，b=sin60°时
求的值a ab a ab b a ab b a b b 22222
332+++--+÷+()
2. 求下列各式的值
（）12451
2
6090sin cos cos -+
（）24423060260146222sin sin cos cos sin -+-++
（）353375337sin cos cos sin ⋅+⋅
3. 化简：sin (cos )αα---112
4. 如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=5，AC=6
（1）求sinA 、sinB 的值；
（2）过C 作CD ⊥AB 于D ，求cos ∠ACD 的值。

5. 计算
（）1301
2
452452(cos )tan sin -+-
（）2126060602-+-tan tan sin
6901
2
.tan 已知中，，，求的四个三角函数值。

Rt ABC C A B ∆∠==∠
7. （1）方程（m+5）x 2-（2m+5）x+4=0的两个根是直角三角形两锐角的正弦值。

求m 。

（）已知方程的两根是和，求和的值。

2343302x x k k -+=tan cot θθθ
【试题答案】
1. 解：原式=
++--+⋅
+-+a a b a b a ab b b
a b a ab b ()()
()()()
2
222
2
=-+=
-+a b a b sin sin sin sin 45604560
=-265
2. （）
134
（）原式24446230602212
=+-+-sin sin sin (cos )
=+-+-sin cos 22444411
2
1
=12
（）原式337373737=⋅+⋅cos cos sin sin
=+cos sin 223737 =1
3112.sin (cos )αα---
=--+11sin cos αα =-cos sin αα
416122.（） AB AC BC =+=
∴=
==sin A BC AB 561
561
61 sin B AC AB =
=
661
61
（）29090
∠=∴∠+∠=ACB A B
CD AB ⊥
∴∠+∠=ACD A 90 ∴∠=∠ACD B ∴∠==
=
cos cos ACD B BC AB 561
61
513212122
2
.（）原式=-+-⨯
=
+-32232
（）原式（）2160602=--tan sin
=--
1332
=
-3
2
1
6. 解： tan tan sin cos sin cos A A A A
A A ==∴
=121
2
， ∴=2sin cos A A
cos sin cos 2210A A A +=>且 ∴=-cos sin A A 12
∴=-∴=211
5
22sin sin sin A A A
又 sin sin A A >∴=055
∴=
cosA 25
5
∠+∠=∴==A B B A 9025
5，sin cos cos sin B A ==
55 tan cot tan B A A ===1
2
cot tan B B ==11
2
71.sin ,sin sin cos （）设两锐角为，则方程两根为，又，故方程的根为
Rt ∆αβαββα,=sin ,cos .αα
由题意得（）（）（）m m m m m m +≠+-⨯⨯+≥+=++⋅=
+⎧⎨⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪50254450125524
532
()()sin cos sin cos αααα
由（）15m ≠-
由（）或212141
2
14m m ≤--≥-+
将（）得32255
2222
sin sin cos cos ()αααα++=++m m
则（）12255
52
+⋅=++sin cos ()ααm m
（）代入（）45324002m m +-=
∴==-m m 10
34或（舍去）
∴=m 103
（）由题2433tan cot tan cot θθθθ+=
⋅=⎧⎨⎪⎩
⎪k
⇒+==⎧⎨⎪⎩⎪tan tan θθ14331k ⇒===⎧⎨⎪⎩⎪tan tan θθ3331或k ⇒==⎧⎨⎩
θ60301 或k
当时原方程k =>10∆
∴==k 13060，或θ。