高二数学直线方程与直线位置关系
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16（ 全国文）已知两条直线 ： ， ： ，其中 为实数，当这两条直线的夹角在 内变动时， 的取值范围是
（ ， ）
11( 全国Ⅲ)已知过点 和 的直线与直线 平行，则
的值为
12（ 天津文）“ ”是“直线 平行于直线 ”的
充分而不必要条件 必要而不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
13( 上海春)直线 与直线 的夹角为
14（ 浙江）点 到直线 的距离是
15（ 全国）已知点 （ ）到直线 ： 的距离为 ，则 等于
（二）典例分析：
问题1.已知两点 ， . 求直线 的斜率 和倾斜角 ；
求直线 的方程； 若实数 ，求 的倾斜角 的范围.
问题2． （ 河南）已知直线 过点 且与以点 ， 为
端点的线段相交，求直线 的斜率及倾斜角 的范围. 求函数 的值域.
问题3．求满足下列条件的直线 的方程：
过两点 ， ； 过 ，且以 为方向向量；
问题8.如图所示， 的顶点 ， ，
，求 的平分线 所在直线的方程.
(至少用两种解法)
（四）课后作业：
（1）直线方程练习
（ 上海春）若直线 的倾斜角为 ，则
等于 等于 等于 不存在
（ 全国）如右图，直线 的斜率分别为 ，则
( 合肥模拟)直线 的方向向量为 ，直线 的倾斜角为
的方向向量为 ，则 的倾斜角为
问题5.已知两条直线 ： 和 ： ，求满足下列条件的 值： ，且过点 ，且坐标原点到这两条直线的距离相等.
问题6.等腰三角形一腰所在的直线 的方程是 ，底边所在的直线 的方程是 ，点 在另一腰上，求这腰所在直线 的方程.
问题7.已知三条直线 ： 。直线 ： 和直线
： ，且 与 的距离是 . 求 的值； 求 到 的角 ；
过 ，倾斜角是直线 的倾斜角的 倍；
过 ，且在 轴， 轴上截距相等；
在 轴上的截距为 ，且它与两坐标轴围成的三角形面积为 ；
过 ，且与 轴、 轴分别交于 、 两点，若点 分 比为 .
问题4． ( 上海春)直线 过点 ，且分别与 轴的正半轴于 两点， 为原点. 求 面积最小值时 的方程， 取最小值时 的方程.
3.( 北京)若三点 共线，则 的值等于
4.（ 湖南）设直线的方程是 ，从 这五个数中每次取两个不同的数
作为 的值，则所得不同直线的条数是
5.( 广东)在平面直角坐标系中，已知矩形 的长
为 ，宽为 ， 、 边分别在 轴、 轴的正半轴上，
点与坐标原点重合（如图所示）.将矩形折叠，使 点
落在线段 上.（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为 ，
直线 的倾斜角为
（ 上海春）若直线 的倾斜角为 ，且过点 ，则直线 的方程为
一直线过点 ，且在两轴上的截距之和为 ，则此直线方程是
若两点 ， ，直线 的倾斜角是直线 的一半，求直线 的斜率
已知 ， 两点，直线 的斜率为 ，若一直线 过线段 的中点且倾斜角的正弦值为 ，求直线 的方程.
（1）直线与直线位置关系练习
试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.
6.（ 全国）两条直线 ， 垂直的充要条件是：
8（ 北京）“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的
充分必要条件； 充分而不必要条件； 必要而不充分条件； 既不充分也不必要条件.
9（ 京皖春）直线 和直线 的位置关系是
相交不垂直 垂直 平行 重合
10（ 全国Ⅱ）过点 且垂直于直线 的直线方程为
(3)点到直线的距离、直线与直线的距离：
点 到直线 的距离为：
直线 ，且其方程分别为 ： , ：
则 与 的距离为：
（4）两条直线的夹角公式：若直线 的斜率为 ， 的斜率为 ，则：
直线 到 的角满足：tan .
直线 与直线 所成的角（简称夹角） 满足：
说明：①当 和 的斜率都不存在时，所成的角为 ；②当 与 的斜率有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；③ 到 的角 不同于 到 的角 ，它们满足： .④到角范围： ；夹角范围：
若两平行线 与 之间的距离为 ，则
直线 在 轴和 轴上的截距分别为 和 ，直线 的方程为 ，直线 与 的夹角为 ，则 的值为
已知一直线 被两直线 ： 和 ： 截得的
线段长为 ，且 过点 ，求直线 的方程.
（五）走向高考：
1.（ 全国）直线 的倾斜角为
2.（ 湖南文）设直线 的倾斜角为 ，且 ，则
满足：
重点、难点
1．根据直线方程的各种形式的使用条件与范围及题目条件选用恰当形式的直线方程解题
2．会灵活应用两直线平行、垂直，点到直线的距离公式，两直线的夹角公式等解决相关问题
考点及考试要求
根据直线方程的各种形式的使用条件与范围及题目条件选用恰当形式的直线方程解题，会灵活应用两直线平行、垂直，点到直线的距离公式，两直线的夹角公式等解决相关问题
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
（2）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交.
当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
斜截式
一般式
方 程
：
：
：
：
相 交
垂 直
平 行
且
或
重 合
且
当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系.
说明：由于直线 的方向向量为 ，可推导上述结论.
教育学科教师辅导讲义
讲义编号
学科组长签名及日期
教务长签名及日期
课题
直线的方程与直线位置关系
授课时间：2009年4月12日17:30-19:30
备课时间：2009年4月10日
教学目标
1．理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的各种形式，并会灵活的应用于求直线的方程。
2．理解直线与直线的位置关系的判定；点到直线的距离公式；两直线的夹角公式、到角公式
教学内容
（一）主要知识：
（1）直线方程
倾斜角：一条直线 向上的方向与 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 .
斜率：当直线的倾斜角不是 时，则称其正切值为该直线的斜率，即 ;当直线的倾斜角等于 时，直线的斜率不存在。
过两点 , 的直线的斜率公式:
若 ，则直线 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 .
直线的方向向量：设 为直线上的两点，则向量 及与它平行的向量都称为直线的方向向量.
若 ， ，则直线的方向向量为 = .
直线 的方向向量为 .当 时， 也为直线的一个方向向量.
直线方程的种形式：
名称
方程
适用范围
斜截式
不含垂直于 轴的直线
点斜式
不含直线
两点式
不含直线 ( )和
直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
，则直线 的倾斜角为
直线 的倾斜角范围是
（ 上海）下面命题中正确的是：
经过定点 的直线都可以用方程 表示.
经过任意两个不同的点 , 的直线都可以用方程
表示；
不经过原点的直线都可以用方程 表示
经过点 的直线都可以用方程 表示
已知三点 、 、 共线，则 的取值是
过点 在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有
已知直线 ： 和直线 ： ，求满足下列条件的实数 的取值范围或取值：
与 相交；； ∥ ：；
；； 与 重合；
（ 届高三北京海淀第一学期期末练习）若直线 与直线
平行，则实数 的值为
或 或
（ 上海）设 分别为 所对边长，则直线 与直线
的位置关系是：
平行 重合 垂直 相交但不垂直
已知 ，则 的最小值是
已知： 、 ，且 ，求证： ≥
（ ， ）
11( 全国Ⅲ)已知过点 和 的直线与直线 平行，则
的值为
12（ 天津文）“ ”是“直线 平行于直线 ”的
充分而不必要条件 必要而不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
13( 上海春)直线 与直线 的夹角为
14（ 浙江）点 到直线 的距离是
15（ 全国）已知点 （ ）到直线 ： 的距离为 ，则 等于
（二）典例分析：
问题1.已知两点 ， . 求直线 的斜率 和倾斜角 ；
求直线 的方程； 若实数 ，求 的倾斜角 的范围.
问题2． （ 河南）已知直线 过点 且与以点 ， 为
端点的线段相交，求直线 的斜率及倾斜角 的范围. 求函数 的值域.
问题3．求满足下列条件的直线 的方程：
过两点 ， ； 过 ，且以 为方向向量；
问题8.如图所示， 的顶点 ， ，
，求 的平分线 所在直线的方程.
(至少用两种解法)
（四）课后作业：
（1）直线方程练习
（ 上海春）若直线 的倾斜角为 ，则
等于 等于 等于 不存在
（ 全国）如右图，直线 的斜率分别为 ，则
( 合肥模拟)直线 的方向向量为 ，直线 的倾斜角为
的方向向量为 ，则 的倾斜角为
问题5.已知两条直线 ： 和 ： ，求满足下列条件的 值： ，且过点 ，且坐标原点到这两条直线的距离相等.
问题6.等腰三角形一腰所在的直线 的方程是 ，底边所在的直线 的方程是 ，点 在另一腰上，求这腰所在直线 的方程.
问题7.已知三条直线 ： 。直线 ： 和直线
： ，且 与 的距离是 . 求 的值； 求 到 的角 ；
过 ，倾斜角是直线 的倾斜角的 倍；
过 ，且在 轴， 轴上截距相等；
在 轴上的截距为 ，且它与两坐标轴围成的三角形面积为 ；
过 ，且与 轴、 轴分别交于 、 两点，若点 分 比为 .
问题4． ( 上海春)直线 过点 ，且分别与 轴的正半轴于 两点， 为原点. 求 面积最小值时 的方程， 取最小值时 的方程.
3.( 北京)若三点 共线，则 的值等于
4.（ 湖南）设直线的方程是 ，从 这五个数中每次取两个不同的数
作为 的值，则所得不同直线的条数是
5.( 广东)在平面直角坐标系中，已知矩形 的长
为 ，宽为 ， 、 边分别在 轴、 轴的正半轴上，
点与坐标原点重合（如图所示）.将矩形折叠，使 点
落在线段 上.（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为 ，
直线 的倾斜角为
（ 上海春）若直线 的倾斜角为 ，且过点 ，则直线 的方程为
一直线过点 ，且在两轴上的截距之和为 ，则此直线方程是
若两点 ， ，直线 的倾斜角是直线 的一半，求直线 的斜率
已知 ， 两点，直线 的斜率为 ，若一直线 过线段 的中点且倾斜角的正弦值为 ，求直线 的方程.
（1）直线与直线位置关系练习
试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.
6.（ 全国）两条直线 ， 垂直的充要条件是：
8（ 北京）“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的
充分必要条件； 充分而不必要条件； 必要而不充分条件； 既不充分也不必要条件.
9（ 京皖春）直线 和直线 的位置关系是
相交不垂直 垂直 平行 重合
10（ 全国Ⅱ）过点 且垂直于直线 的直线方程为
(3)点到直线的距离、直线与直线的距离：
点 到直线 的距离为：
直线 ，且其方程分别为 ： , ：
则 与 的距离为：
（4）两条直线的夹角公式：若直线 的斜率为 ， 的斜率为 ，则：
直线 到 的角满足：tan .
直线 与直线 所成的角（简称夹角） 满足：
说明：①当 和 的斜率都不存在时，所成的角为 ；②当 与 的斜率有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；③ 到 的角 不同于 到 的角 ，它们满足： .④到角范围： ；夹角范围：
若两平行线 与 之间的距离为 ，则
直线 在 轴和 轴上的截距分别为 和 ，直线 的方程为 ，直线 与 的夹角为 ，则 的值为
已知一直线 被两直线 ： 和 ： 截得的
线段长为 ，且 过点 ，求直线 的方程.
（五）走向高考：
1.（ 全国）直线 的倾斜角为
2.（ 湖南文）设直线 的倾斜角为 ，且 ，则
满足：
重点、难点
1．根据直线方程的各种形式的使用条件与范围及题目条件选用恰当形式的直线方程解题
2．会灵活应用两直线平行、垂直，点到直线的距离公式，两直线的夹角公式等解决相关问题
考点及考试要求
根据直线方程的各种形式的使用条件与范围及题目条件选用恰当形式的直线方程解题，会灵活应用两直线平行、垂直，点到直线的距离公式，两直线的夹角公式等解决相关问题
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
（2）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交.
当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
斜截式
一般式
方 程
：
：
：
：
相 交
垂 直
平 行
且
或
重 合
且
当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系.
说明：由于直线 的方向向量为 ，可推导上述结论.
教育学科教师辅导讲义
讲义编号
学科组长签名及日期
教务长签名及日期
课题
直线的方程与直线位置关系
授课时间：2009年4月12日17:30-19:30
备课时间：2009年4月10日
教学目标
1．理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的各种形式，并会灵活的应用于求直线的方程。
2．理解直线与直线的位置关系的判定；点到直线的距离公式；两直线的夹角公式、到角公式
教学内容
（一）主要知识：
（1）直线方程
倾斜角：一条直线 向上的方向与 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 .
斜率：当直线的倾斜角不是 时，则称其正切值为该直线的斜率，即 ;当直线的倾斜角等于 时，直线的斜率不存在。
过两点 , 的直线的斜率公式:
若 ，则直线 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 .
直线的方向向量：设 为直线上的两点，则向量 及与它平行的向量都称为直线的方向向量.
若 ， ，则直线的方向向量为 = .
直线 的方向向量为 .当 时， 也为直线的一个方向向量.
直线方程的种形式：
名称
方程
适用范围
斜截式
不含垂直于 轴的直线
点斜式
不含直线
两点式
不含直线 ( )和
直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
，则直线 的倾斜角为
直线 的倾斜角范围是
（ 上海）下面命题中正确的是：
经过定点 的直线都可以用方程 表示.
经过任意两个不同的点 , 的直线都可以用方程
表示；
不经过原点的直线都可以用方程 表示
经过点 的直线都可以用方程 表示
已知三点 、 、 共线，则 的取值是
过点 在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有
已知直线 ： 和直线 ： ，求满足下列条件的实数 的取值范围或取值：
与 相交；； ∥ ：；
；； 与 重合；
（ 届高三北京海淀第一学期期末练习）若直线 与直线
平行，则实数 的值为
或 或
（ 上海）设 分别为 所对边长，则直线 与直线
的位置关系是：
平行 重合 垂直 相交但不垂直
已知 ，则 的最小值是
已知： 、 ，且 ，求证： ≥