2021年高二数学下学期期中 理(含解析)

2021年高二数学下学期期中 理（含解析）
一.选择题（5×12=60）
1.若点A （1，m-1,1）和点B(-1,-3,-1)关于原点对称，则m=（ ） A.-4 B.4 C.2 D.-2 【答案】B
【解析】因为点A （1，m-1,1）和点B(-1,-3,-1)关于原点对称，所以m-1=3,即m=4.
2．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A ．202π
B ．252π
C ．50π
D ．200π 【答案】C
【解析】易知长方体外接球的半径为，所以外接球的表面积为。

3．与函数y ＝|x|为同一函数的是( )
A ．y ＝(x)2
B ．y ＝x 2
C ．y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，x>0－x ，x<0 D ．y ＝alog a x
【答案】B
【解析】A ．y ＝(x)2
定义域不同，不是同一函数； B ．y ＝x 2
＝|x|，是同一函数；
C ．y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，x>0－x ，x<0 定义域不同，不是同一函数；
D ．y ＝alog a x 不是同一函数。

4．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
【答案】D
【解析】A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ，错误，m 与n 可能平行或异面； B ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，错误，可能相交或平行； C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β，错误，可能相交或平行； D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，正确，此为线面垂直的性质定理。

5.三个数、、的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】B
【解析】因为、、，所以 。

6.已知某个几何体的三视图如下，根据图中数据，求这个几何体的体积是（ ）
A. B. C. D. 2 【答案】B
【解析】由三视图知：该几何体为三棱锥，其中三棱锥的底面为等腰三角形，此等腰三角形的底边长为2，高为2；三棱锥的高为2，所以该几何体的体积为。

7．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2
＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0
【答案】A
【解析】设圆心为O ，则O （1，0），所以，所以所求直线的斜率为1，所以所求直线方程为。

8．已知四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长都是2，且SO ⊥平面ABCD ，O 为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( )
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
【答案】C
【解析】设侧棱与底面所成的角为，则，所以侧棱与底面所成的角为45°。

9．已知函数f (x )＝log 12 (3x 2
－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是
( )
A ．－8≤a ≤－6
B ．－8<a <－6
C ．－8<a ≤－6
D ．a ≤－6
【答案】C
【解析】因为函数f (x )＝log 12 (3x 2
－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，所以。

10.已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
2
21
22
1
l
1俯视图
左视图主视图
A． B. C. D. 【答案】A
【解析】因为函数的定义域是，所以
5 114,1214,
2 x x x
-≤+≤-≤-≤≤≤
所以即0，所
以的定义域是。

11. 已知，则下列正确的是（）
A．f(x)是奇函数，在R上为增函数 B．f(x)是偶函数，在R上为增函数
C．f(x)是奇函数，在R上为减函数 D．f(x)是偶函数，在R上为减函数
【答案】A
【解析】易知函数的定义域为R，又，所以f(x)是奇函数；因为都是增函数，所以
是R上的增函数。

12.若直线与圆有公共点，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为直线与圆有公共点，所以，即。

二.填空题（5×4=20）
13．如右图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，
其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积
是
【答案】
【解析】根据题意和直观图可知：原三角形为等腰三角形，三角形的底面边长为2，髙为，所以△ABC的面积是。

14.已知是定义在上的减函数，若.
则实数a的取值范围是 .
【答案】2﹤a﹤
【解析】因为是定义在上的减函数，且，所以。

15．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，点P(x,y)是线段AB上任一点，则的取值范围是
【答案】k≥或k≤-4
【解析】如图，取Q（1，1），则的取值范围等价于直线PQ的斜率k的取值范围，
∵点A（2，-3），B（-3，-2），点P（x，y）是线段AB上任一点，所以，
所以k≥或k≤-4。

16.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨
⎪⎧
a x
， x<0，
(a －3)x ＋4a ， x≥0.
若对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)－f(x 2)
x 1－x 2
<0成立，
则a 的取值范围是
【答案】(0, ]
【解析】因为对任意x 1≠x 2，都有
f(x 1)－f(x 2)
x 1－x 2
<0成立，所以函数f(x)＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a x
， x<0，(a －3)x ＋4a ， x≥0.是R 上的减函数，所以。

三.解答题（17题10分，18，19,20,21，22题各12分） 17．已知集合A ＝{x |x≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}． (1)若a ＝－2，求A∩∁R B ； (2)若A ⊆B ，求a 的取值范围．
18.已知直线，一个圆的圆心在轴正半轴上，且该圆与直线和轴均相切. （1）求该圆的方程；
（2）若直线：与圆交于两点，且，求的值.
19.已知函数，（1）若是奇函数，求的值；（2）证明函数在R 上是增函数。

20.如图，在四棱锥P —ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC ＝∠CAD＝60°，PA 垂直于平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB. (1)若F 为PC 的中点，求证：PC⊥平面AEF ； (2)求证：EC∥平面PAB.
21．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租
出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
22.已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，并且.
（1）解不等式
（2）若在上是增函数，求实数m的取值范围.
答案：
1 2 3 4 5 6
B C B D B B
7 8 9 10 11 12
A C C A A D
13. 14.2﹤a﹤ 15.k≥或k≤-4 16.(0, ]
17.①A∩∁R B={x|-1≤x≤1}．②a﹤-4
18. ①
②m=±
19. (1)f(x)的定义域是R,并且f(x)是奇函数，则f(0)=0得a=1
(2)用定义法证明略
20. 证明(1)由题意得PA＝CA，∵F为PC的中点，
∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，
∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，
∴EF∥CD，∴EF⊥PC.
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.
(2)方法一
如图，取AD的中点M，
连接EM ，CM . 则EM ∥PA .
∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴EM ∥平面PAB .
在Rt△ACD 中，∠CAD ＝60°，MC ＝AM ， ∴∠ACM ＝60°.而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB . ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB .∵EM ∩MC ＝M ， ∴平面EMC ∥平面PAB . ∵EC ⊂平面EMC ， ∴EC ∥平面PAB . 方法二
如图，延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连接PN . ∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，
AC ⊥CD ，∴C 为ND 的中点．
∵E 为PD 的中点，∴EC ∥PN . ∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ， ∴EC ∥平面PAB .
21. 解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－3000
50＝12.所以这时
租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金为x 元．则租赁公司的月收益为f(x)＝(100－x －3000
50
)(x －150)－x －3000
50×50， 整理得
f(x)＝－x 2
50＋162x －21000＝－150
(x －4050)2
＋307050.
所以，当x ＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为307050元． 22.略27397 6B05 欅837220 9164 酤29099 71AB 熫32755 7FF3 翳n- 38113 94E1 铡$27035 699B 榛]s,24718 608E 悎。