北京市大兴区2011-2012学年度九年级数学第二学期模拟试卷

大兴区2011-2012学年度第二学期模拟试卷（一）初三数学
考生须知 1．本试卷共4页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、某某和某某号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．—5的倒数是 A ．5
1
-
B ．
5
1 C ．—5 D ．5
2．据新华社2012年1月19日电，截至2011年末，常住人口已经突破20 000 000人，用科学记数法表示20 000 000这个数字为 A ．8
102⨯
B ．61020⨯
C ．9102.0⨯
D ． 7
102⨯
3．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，4=AB ，7=AD ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则ED 的长为 A ．4 B ． 3 C ．
2
7
D ． 2 4．若0)2(32=++-+y y x ，则y x -的值为 A ．3
B ．－7
C ．7
D ．－3
5．九年级一班5名女生进行体育测试，她们的成绩分别为70，80，85，75，85（单位：分），这次测试成绩的众数和中位数分别是 A ．79，85 B ．80，79 C ．85，80 D ．85，85
6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 两点在⊙O 上，若∠C ＝40°， 则∠ABD 的度数为
A ．40° B．50° C ．80° D．90°
7．在a 2
□4a □4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的代数式中，可以构成完全
平方式的概率是 A ．12
B ．13
C ．14
D ．1
8．如图，圆柱底面直径AB 、母线BC 均为4cm ，动点P 从A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到
BC 的中点S 的最短距离 A.（212π+）cm B.（2412π+）cm C.（214π+）cmD.（242π+）cm
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．在函数1
2y x
=
-中，自变量x 的取值X 围是． 10．分解因式：2
2
4
y x x -=．
11．如图，等腰梯形ABCD 的上底BC 长为1，弧OB 、 弧OD 、弧BD 的半径相等，弧OB 、弧BD 所在圆的圆心 分别为A 、O ．则图中阴影部分的面积.
12．如图所示的10-三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次
全行的数都为1的是第3行，第3次全行的数都为1的是第行，…，第n 次全行的数都为1的是第行．
第1行 第2行
第3行 第4行
第5行
……………………………………
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．0
12012)2
1(60cos 29-+︒+-
14．解不等式组：⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋1≤7①
x ＜4x ＋23②.
15．已知：如图，AC ＝AD ，AB 是∠C AD 的角平分线．
求证：BC =BD
16．已知0122
=+-a a ，求代数式22a
2a 4a 22a 1
+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++的值．
17．如图，直线x y l 2:1=与直线3:2+=kx y l 在同一平面直角坐标系 内交于点P ，且直线2l 与x 轴交于点A . 求直线2l 的解析式及△OAP 的 面积.
18．列方程或方程组解应用题：
小明将一根长1.4米的细绳剪成3段，第一次剪下一段，第二次剪下的细绳比第一次剪下的细绳长0.2米，剩余的细绳长恰好是第一次剪下的细绳长的2倍，请问他剪下的三段细绳拉直后首尾顺次相接能否围成一个三角形？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 已知：如图，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，
∠BCD=120°，，BC=5CD=6， 求AD 的长.
20．已知：如图，直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且
AC 平分∠PAE ，过C 作CD PA ⊥于D .
(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；
(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长.
21．学校为了解九年级学生数学月考成绩的情况，随机抽取了九年级50名学生的数学月考成绩，并把这50名学生的数学月考成绩整理分成五组，并制成如下频数分布表和扇形统计图，请根据所提供的信息解答下列问题：
频数分布表
组别成绩（分）频数
A 50≤x＜60 3
B 60≤x＜72 m
C 72≤x＜85 10
D 85≤x＜102 n
E 102≤x≤120 15
（1）频数分布表中的m＝_ ，n＝_ ；
（2）扇形统计图中，E组所对应的扇形圆心角的度数是_ ；
（3）若该校九年级共800名学生，请你估计该校九年级的学生中，测验成绩不少于85
分的大约有多少人？
22．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=120°,∠ABC=40°，试过△ABC
的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形.
他的做法是：如图2，首先保留最小角∠C，然后过三角形顶点A画直线交BC于点D. 将∠
BAC分成两个角，使∠DAC=20°，△ABC即可被分割成两个等腰三角形.
喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三
角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.
他的做法是：
如图3，先画△ADC ，使DA=DC，延长AD到点B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，
那么∠CD B =∠ABC，因为∠CDB=2∠A，所以∠ABC= 2∠A．于是小明得到了一个结论：
当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割
成两个等腰三角形．
请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三
角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两
条结论（不必写出探究过程或理由）．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知抛物线2
2
1(2) 1.4
y x k x k =-+++ （1）k 取什么值时，此抛物线与x 轴有两个交点？ （2）此抛物线2
2
1(2)14
y x k x k =-++
+与x 轴交于A ()12(,0),0x B x 、 两点（点A 在点B 左侧），且123x x +=，求k 的值.
xOy 中，O 为坐标原点，直线)0,2
1
21(332≠≤≤-+=
k k m kx y 其中经过点A （23,4）,且与y 轴相交于点C. 点B 在y 轴上，且727OB OA =+-.△ABC 的面积为S. （1）求m 的取值X 围; （2）求S 关于m 的函数关系式;
（3）设点B 在y 轴的正半轴上，当S 取得最大值时，将△ABC 沿AC 折叠得到C B A '∆，求点B '的坐标.
25.已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是MN 上一动点（B 不与点M 、N 重合），∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、
AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．
（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形； （2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值； （3）连结PQ ，求2
2
3PQ OA +的值．
大兴区2011~2012学年度第二学期模拟试卷(一)
初三数学参考答案及评分标准 第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
D
B
C
C
B
A
A
第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
题号 9
10 11 12 答案
2x <
))((2y x y x x -+
2
3 7, 21n -
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13.解：原式122
1
23-+⨯+=…………………………………………………………………4分
5=. ………………………………………………………………5分 14. 解：由①得，x ≤3……………………………………………………………………2分
由②得，x ＞－2 (4)
分
所以不等式组的解集是－2＜
x ≤3…………………………………………………………………5分
15.证明：∵AB 是∠CAD 的角平分线
∴∠BAC =∠BAD ……………………………………………1分 在△ABC 和△ABD 中
⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD
∠BAC ＝∠BAD AB ＝AB
……………………………………3分 ∴△ABC ≌△ABD …………………………4分 ∴BC =BD ……………………5分
16．解：2
2
2422
1a a a a +⋅⎪⎭⎫
⎝⎛-++
[
]2
2 )2)(2(221a
a a a a +⋅-+++=……………………………………………………………1分
=[)2)(
2(2)
2)(2(2
-+-+-+a a a a a ]22a a +⋅………………………………………………2分
)2)(2(-+=a a a 22
a a +⋅……………………………………………………………………3分
a a 21
2
-=
…………………………………………………………………………………4分
由0122=+-a a ,得 122-=-a a ． ∴原式=1-． ………………………………………………………………………………5分
17．（本小题5分）
解：把1=x 代入x y 2=，得2=y . ∴点P （1，2）. …… …………………1分 ∵点P 在直线3+=kx y 上，
∴32+=k . 解得 1-=k .…………2分 ∴3+-=x y . …………………………3分 当0=y 时，由30+-=x 得3=x .
∴点A （3，0）. …………………………………………………………………………4分
∴3232
1
=⨯⨯=
∆OAP S . …………………………………………………………………5分 18.解：设小明第一次剪下的细绳的长为x 米，则第二次剪下的细绳的长为（x +0.2）米，
第三次剪下细绳的长
为
2x
米………………………………………………………………1分
x +x +0.2+2x =1.4 (3)
分
x =
……………………………………………………………………………
4分
x +0.2=
小明剪下的三条细绳长度分别是0.3米、0.5米、0.6米可以围成一个三角形.
答：小明剪下的三条细绳拉直后首尾顺次相接，能围成一个三角形 .………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 过A 作AF ⊥CB 交CB 的延长线于F ， 过D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于E ，
∴AF ∥DE ,
过F 作FG ∥AD 交DE 于G ,
∴ADGF 是平行四边形. ………………………………………………………………………1分
135.45sin 4522
32ABC FBA ABF AF FB AB AB ∠=︒∴∠=︒
∴∆∴==⋅︒
=
=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯是等腰直角三角形.分
12060sin 6036233
ccos 601
62
33BCD DCE DE CD CE CD ∠=︒∴∠=︒∴=⋅︒=
⨯==⋅︒=⨯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯又分
2282346412
2195EFG EF FB BC CE EG ED DG ED AF
AD FG EF EG ∆=++==-=-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴==+=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯在Rt 中，分分
20.（1）证明：连接OC ， ∵点C 在⊙O 上，OA =OC ， ∴.OCA OAC ∠=∠ ∵CD PA ⊥， ∴90CDA ∠=， 90CAD DCA ∠+∠=.
∵AC 平分∠PAE ，
∴.DAC CAO ∠=∠……………………………………………………………………………1分
∴90.DCO DCA ACO DCA CAO DCA DAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠= 又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，
·
∴CD 为⊙O 的切线. …………………………………………………………………………2分
（2）解:过O 作OF AB ⊥于点F ， ∴90OCD CDA OFD ∠=∠=∠=， ∴四边形OCDF 为矩形，
∴,.OC FD OF CD == ……………………………3分 ∵DC +DA =6，设AD x =, ∴6.OF CD x ==- ∵⊙O 的直径为10， ∴5DF OC ==， ∴5AF x =-. 在Rt AOF △中， ∵222.AF OF OA += 即()()225625.x x -+-= 化简得211180x x -+=，
解得2x =或x=9. ……………………………………………………………4分
∵AD DF <， ∴2x =. 52 3.AF =-=
∵OF AB ⊥，
∴2 6.AB AF ==………………………………………………………………………………5分
21.解：（1）4，18……………………………………………………………………….…………2分
（2）108°………………………………………………………….…………………4分 （3）18＋15
50
⨯800＝528（人）……………………………………………………………5分
答：该校九年级的学生中，测试成绩不少于85分的大约有528人．
22.结论1：当三角形中的两个内角互余时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割
成
两
个
等
腰
三
角
形. ………………………………………………………………………2分
结论2：当三角形中有一个角是另一个角的3倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一
条
直
线
分
割
成
两
个
等
腰
三
角
形.……………………………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解: （1）∵抛物线221(2)14
y x k x k =-+++与x 轴有两个交点,
221
0,(2)1=04
y x k x k ∴=-+++令即…………………………………………………1分
[]
2
21
(2)41(1)
04
k k -+-⨯⨯+
224440k k k ++--
40k >
0k ∴>，
即0k >时，此抛物线与x 轴有两个交点……………………………………2分
（2）∵抛物线221(2)14
y x k x k =-+++与x 轴交于A ()12(,0),0x B x 、 两点
∴1,224k k x +±=， ……………………………………………………………………
…3分
点A 在点B 左侧， 即12x x <， 又
0k >，
2
421k k x -+=∴
02
422 k
k x ++=
……………………………………………………………………4分 22x x ∴=. ∵123x x +=， ∴123x x +=，
242-4k k k k
+++ 即1k =…………………………………………………………………………7分 24.解：⑴∵直线2311(0)2
2
y m k k +-≤≤≠且经过点A （23）,
4m +=, ∴114
k m =-. ∵1122
k -≤≤, ∴1111242
m -≤-≤. 解得26
m ≤≤且m ≠
4 ……………………………………………………..………………2分
⑵∵A
的坐标是（）,
∴OA
=
又∵7OB OA =+-,
∴OB =7. ∴B 点的坐标为(0,7)
或
(0,-7). ……………………………………………..…………………3分
直线y m +与y 轴的交点为C (0,m). ① 当点B 的坐标是(0,7)时,
∵C (0,m), 26m ≤≤且m ≠4,
∴BC =7- m.
分4................................................................................................................................373)
7(3322
1+-=-=⋅⨯=∴m m BC s
② 当点B 的坐标是(0,-7)时,
∵C (0,m ), 26m ≤≤且m ≠4,
∴BC =7+m .
分5............................................................................................................................373)
7(3322
1+=+=⋅⨯=∴m m BC s
⑶当m =2时,
一次函数S =+
这时C (0,2).
如图,分别过点A 、B ′作y 轴的垂线AD 、B′E ,垂足为D 、E.
∴AD =,CD =4-2=2.
在Rt△ACD 中,tan∠ACD =
AD CD
∴∠ACD =60°……………………………………………………6分
由题意,得∠AC B′=∠ACD =60°,
C B ′=BC =7-2=5,
∴∠B′CE =180°—∠B′CB=60°.
在CE B Rt '∆中,∠B′CE =60°,C B ′=5,
∴CE =
52
, B′E . OE=CE-OC =12
.
∴点B 12-）……………………7分 25.解：（1）是…………………………………………………1分
（2）∵EPGQ 是矩形．
∴∠CED =90°
∠AED +∠CEB =90°．
∵BA ⊥OM ，
∠BAO =90°
∴∠AED +∠EDA =90°
∴∠E D A=∠CEB ．
∵BA ⊥OM ，BC ⊥ON , ∠AOC =90°
∴OABC 是矩形.
∴BC =OA , A B =OC
∠ABC =∠BAO =90°
∴△AED ∽△BCE ．……………………………………………………………………2分 ∴BC
AE BE AD =. 设OA =x ，AB =y ， 则x y y x :2
2:2=
得222x y =．……………………………………………………………………………3分 又 222OB AB OA =+，
即2221=+y x ．
∴1222=+x x ， 解得33=x ． ∴OA 的值为33………………………………………………………………………5分 （2）连结GE 交PQ 于O '，过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '． ∵四边形PGQE 是平行四边形
∴E O G O Q O P O '=''=',．
∵BC ∥GE
∴△PCF ∽△PEG ，
1
2===FC GE PC PE PF PG , ∴ AB B A A P 3
132=''='……………………6分 OA GE A G 3
131==', ∴ OA A G GE O A 6
121='-=''． 在Rt △O A P ''中，222O A A P O P ''+'='，
即 36
94222OA AB PQ +=，……………………………………………………………7分 又 122=+OA AB ，
∴ 3
1322+=AB PQ ， ∴ 3
4)31(32222=++=+AB OA PQ OA ．……………………………………………8分 说明：以上各题的其它解法只要正确，请参照本评分标准给分。