专题01 函数的基本性质学霸必刷100题(解析版)

专题01 函数的基本性质100题
1．已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21
x y x
+=
与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1
m
i i i x y =+=∑（ ）
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
【答案】C
【解析】因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-， 即函数()f x （x ∈R ）满足
()()
22
f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，
函数21x y x +=
等价于12y x =+，所以函数21
x y x +=也关于点(0,2)对称， 所以函数21
x y x
+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，
故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，
故
()1
2121
()()0422
m
i
i
m m i m
x y x
x x y y y m =+=+++++++=+
⨯=∑. 故选：C.
2．已知函数2
(
2)
2
()log x
f x ax +=+，若对任意(1,3]t ∈-，任意x ∈R ，不等式()()1f x f x kt +-≥+恒成立，
则k 的最大值为 A ．1- B ．1
C ．13
-
D ．
13
【答案】D 【解析】
因为()()
2
2log 2f x x ax =++，所以()()()
2
22log 22f x f x x +-=+≥，则不等式
()()1f x f x kt +-≥+恒成立等价于12kt +≤，设()1g t kt =+，则()()112
3312
g k g k ⎧-=-+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，解得113k -≤≤.
答案选D.
3．已知函数()()f x g x ，的图象分别如图1，2所示，方程()()()()
1f g x g f x ＝，
＝－1，1(())2
g g x =-的实根个数分别为a 、b 、c ，则（ ）
A ．a b c +=
B ．b c a ＋＝
C ．b a c ＝
D ．ab c ＝
【答案】A 【解析】
由方程(())1f g x =，可得()(10)g x m m =-<<. 此方程有4个实根，
所以方程(())1f g x =有4个实根，则4a =； 由方程(())1g f x =-，可得()1f x =或()1f x =-. 所以方程(())1g f x =-有2个实根，则2b =，
由方程1(())2g g x =-，可得113()12g x x x ⎛⎫
=-
<<- ⎪⎝⎭
或()22()10g x x x =-<<或33()(01)g x x x =<<或443()12g x x x ⎛
⎫=<< ⎪⎝
⎭，
这4个方程的实根的个数分别为0，4，2，0. 则6c =.故a b c +=，故选：A
4．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，且其图象关于点()2,0-对称，则关于x 的不等式
()()23120f x f x -+-≥的解集为（ ）
A ．[)4,-+∞
B ．[]4,2-
C ．[]2,4-
D ．(],2-∞
【答案】B 【解析】
因为()f x 的图象关于点()2,0-对称，所以()()40f x f x +--=. 因为(
)()2
3120f x
f x -+-≥，故()()()2
312412f x f x f x -≥--=---⎡⎤⎣⎦，
所以(
)()2
325f x
f x -≥-.
因为()f x 是定义在R 上的增函数，故2325x x -≥-即2280x x +-≤， 解得42x -≤≤，故原不等式的解集为[]4,2-， 故选：B.
5．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：（1）对任意()0,x ∈+∞，恒有()()22f x f x =成立；（2）当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.给出如下结论： ①对任意m Z ∈，有()2
0m
f =；
②函数()f x 的值域为[)0,+∞；
③若函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，则存在k Z ∈，使得()(
)1
,2,2
k
k a b +⊆.
其中所正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】D 【解析】
()2220f =-= ()()()()122122222220m m m m f f f f ---∴===⋅⋅⋅==，①正确；
取(1
2,2m m x +⎤∈⎦，则
(]1,22m x ∈ 222m
m x
x f ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
()12482202482m m m x x x x f x f f
f f x +⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
====⋅⋅⋅==-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()f x ∴的值域为[)0,+∞，②正确；
由②知：(
1
2,2
k k x +⎤∈⎦
时，()1
2k f x x +=-，此时()f x 单调递减 由此可知，存在()(
)1
,2,2
k
k a b +⊆，使得()f x 在(),a b 上单调递减，③正确.
故选：D
6．已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，如果
121x x ，且122x x +>，则()()12f x f x +的值（ ）
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负函数
【答案】B 【解析】
因为(1)(1)f x f x -=-+，所以()()110f x f x -++=，所以()f x 关于点()1,0成中心对称，且()10f = 又因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()f x 在(),1-∞上也单调递增，所以()f x 是R 上的增函数， 因为122x x +>，所以122x x >-，所以()()122f x f x >-， 又因为()()22110f x f x -++=，所以()()2220f x f x -+=， 所以()()12f x f x >-，所以()()120f x f x +>. 故选：B.
7．已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21
()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y ++++++
+=( )
A ．0
B ．6
C ．12
D ．18
【答案】D 【解析】
()211
211
x g x x x -=
=+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，
1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以
12612618x x x y y y ++
++++
+=，故选D
8．已知函数()|lg |f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b -的取值范围是( ) A ．(0,)+∞ B ．[1,)-+∞
C ．(,1)-∞-
D ．(,0)-∞
【答案】C 【解析】
lg ,1
()lg lg ,01x x f x x x x ≥⎧==⎨-<<⎩
，画出函数图像，如图所示：
()()f a f b =，则lg lg a b -=，故1ab =，且01a <<，故2
2a b a a
-=-
.
设函数()2f x x x =-，则函数在()0,1上单调递增，故()2
2,1a b a a
-=-∈-∞-. 故选：C .
9．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()4f x f x =-，当02x ≤≤时，52x f x
，函数
1
12
g x
x ，则()()()F x f x g x =-零点个数为( ) A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】B 【解析】
因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当02x ≤≤时，52x f x ，
所以令20x -≤≤，52x f x f x
，
即当20x -≤≤时，52x f x
，
因为()()4f x f x =-，所以函数()f x 的周期4T =，
综上所述，可以绘出函数()f x 以及函数1
12
g x
x 的图像，
结合图像可知，函数()()()F x f x g x =-的零点个数为6个 综上所述，故选B 。

10．给出定义：若11
(,]22
x m m ∈-
+（其中m 为整数），则m 叫做与实数x ”亲密的整数”记作{x }＝m ，在此基础上给出下列关于函数()|{}|f x x x =-的四个说法： ①函数()y f x =在(0,1)是增函数；
②函数()y f x =的图象关于直线()2
k
x k Z =
∈对称； ③函数()y f x =在1(,)()2
k k k Z +∈上单调递增
④当(0,2)x ∈时，函数2
1
()()22
g x f x x =--
有两个零点， 其中说法正确的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④
C ．①②④
D ．①③④
【答案】B 【解析】
{}{}|(1)|)1||(111f f x x x x x x =-=+=+-++-，
()f x ∴的周期为1，当0m =时，11
(,]22
x ∈-，
102
()102x x f x x x x ⎧--<≤⎪⎪==⎨⎪<≤
⎪⎩
，
先做出11
(,]22
x ∈-
函数()f x 图像， 利用周期做出()f x 图像如下图所示：
()f x 在(0,1)不具有单调性，①错误；
函数()y f x =的图象关于直线()2
k
x k Z =
∈对称，②正确； 函数()y f x =在1(,),2
k k k Z +∈上单调递增，③正确； 当1(0,]2
x ∈时，2
1(),()22
f x x
g x x x ==+-， 令2
1
()0,202
g x x x =+-
=，
解得x =
或x = 当1(,1]2x ∈时，2
3()1,()22
f x x
g x x x =-+=--+， 令2
3
()0,202
g x x x =+-
=，
解得1314x -=
或131
4
x --=（舍去）， (1,2]x ∈时，()g x 无零点，
当(0,2)x ∈时，函数2
1
()()22
g x f x x =--
有两个零点，④正确. 故答案为:B.
11．已知函数()()
2
ln 122x
x
f x x -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()(),11,-∞-+∞
B ．()2,1--
C ．()1,1,3⎛
⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
D ．()(),21,-∞-⋃+∞
【答案】D 【解析】
已知函数()()
2
ln 122x
x
f x x -=-++,令210x ->,解得1x <-或1x >,所以函数()f x 的定义域为
(,1)(1,)-∞-+∞,则其定义域关于原点对称,
又()()
()()2
2ln ()12
2ln 122x
x x x f x x x f x ---=--++=-++=,所以函数()f x 为偶函数,当1x >时,
()()
2ln 122x x f x x -=-++,又()2ln 1y x =-及22x x y -=+在1x >时都是增函数,所以()f x 在1x >时
也是增函数,
故解不等式()()12f x f x +<,即121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩,解得113021122x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪
><-⎨⎪⎪><-
⎪⎩
或或或即2x <-或1x >,综上不等式
()()12f x f x +<成立的x 的取值范围为()(),21,-∞-⋃+∞.
故选:D
12．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21x
f f x e
x e --+=-，则函数()f x 的零
点所在区间为（ ） A ．2
10,
e ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
B ．2
11,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()1,e
【答案】C 【解析】
设()2ln 2x
f x e x t --+=，即()2ln 2x
f x e x t =+-+，()1f t e =-，因为()f x 是定义在()0,∞+上
的单调函数，所以由解析式可知，()f x 在()0,∞+上单调递增． 而()12f e t =-+，()1f t e =-，故1t =，即()2ln 1x
f x e x =+-．
因为()110f e =->，11
112ln 13e e f e e e e ⎛⎫
=+-=- ⎪⎝⎭
，
由于1
1
ln ln 3ln 30e
e e
-=-<，即有13e e <，所以
1
130e f e e ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
． 故()110f f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 的零点所在区间为1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 故选：C ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知n A ，n B 是圆2
2
2
x y n +=上两个动点，且满足22
n n n
OA OB ⋅=-
（*N n ∈），设n A ，n B
到直线(1)0x n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1
{}n
a 的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．3
(,)4
+∞
B ．3[,)4
+∞
C ．3(,)2
+∞
D ．3[,)2
+∞
【答案】B 【解析】
由22n n n OA OB ⋅=-，得2
cos 2
n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，所以120n n A OB ∠=，设线段n n A B 的中点为n C ，则
2n n OC =，所以n C 在圆2
22
4
n x y +=上，
n A ，n B
到直线(1)0x n n +++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍.点n C 到直线距离的最
大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，
而圆2
224n x y +=的圆心()0,0
到直线(1)0x n n +++=的距离为
()
12
n n d +=
=
， 2
(+12[]222n n n n a n n ∴=+=+），2
11111()222n
a n n n n ∴==-++， 123
111
11111111
111111(1)23243522
212n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++
=-+-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3
4
<
，34m ∴≥,故选：B.
14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x ，2x 都有
()()
211212
0x f x x f x x x ->-，
记:(
)0.20.2
4.14.1
f a =
，()2.1
2.1
0.40.4
f b =，()
0.24.10.2
log
4.1log
f c =，则（ ）
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
【答案】D 【解析】
根据题意，设()()f x g x x =
，对任意两个不相等的正数1x ，2x 都有
()()211212
0x f x x f x x x ->-，即()()
1212
12
f x f x x x x x -
>-，
则有()()1212()()0x x g x g x -->， 故函数()g x 在()0,∞+上为增函数； 又由()()()
()f x f x g x g x x x
--=
==-， 则函数()g x 为偶函数； ()
()()()0.20.2554.1
0.2
log 4.1log 4.1log 4.1log 4.1log f c g g g =
==-=， 又由 2.1
20.251
00.40.4log 4.11 4.12
<<<
<<<， 则有(
)()()21
0.20.2
0.4log
4.1 4.1g g g <<；即b c a <<，
故选: D .
15．设函数()2
f x ax bx c =++(,,a b c ∈R ，且0a >)，则（ ）
A ．若02b f a ⎛⎫
-
< ⎪⎝⎭
，则()()f f x 一定有零点 B ．若02b f f
a ⎛
⎫
⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则()()f f x 无零点 C ．若02b f f a ⎛⎫
⎛⎫-
> ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，且02b f a ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，则()()f f x 一定有零点 D ．若02b f f a ⎛⎫
⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则()()f f x 有两个零点
【答案】D 【解析】
对于A ，如图02b f a ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，此时()min 2b f x f f a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，当min
2b f a ≥-，()()()min 0f f x f f ≥>，此时()()f
f x 无零点；
对于B ，()min 2b f x f f a ⎛⎫>-
= ⎪⎝⎭，如图时，()min 0f f >，如图()()
f f x 在()min ,2b f x f a ⎡
⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，02b f a ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，此时()()f f x 有零点；
对于C ，反例图如选项A ，此时()()f
f x 无零点；
对于D ，设()()()10f
f x f x x =⇒=，()2f x x =，又因为1min 22b x f f x a ⎛
⎫
<-=<
⎪⎝⎭
，所以()1f x x =无解，()2f x x =有两解， 故选：D.
16．对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f x α∈=，(){|0}x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-，
则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数()1
2x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相
邻函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4 B ．72,3
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
C ．7,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]2,3
【答案】D 【解析】
函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1． 设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点为β，
若函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”， 根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1， ∴0≤β≤2，如图
由于g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3必过点A （﹣1，4），
故要使其零点在区间[0，2]上，则()()00200022g g a ⎧>⎪
>⎪⎪
⎨∆≥⎪
⎪≤≤⎪⎩
或()()020g g ⋅≤，
解得2≤a ≤3，故选D
17．设函数()()()1122()sin sin sin n n f x a x a a x a a x a =++++⋅⋅⋅++，其中,i a j a （1,2,,i n =⋅⋅⋅，*n N ∈，
2n ≥）为已知实常数，x ∈R ，下列关于函数()f x 的性质判断正确的个数是（ ）
①若(0)02f f π⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，则()0f x =对任意实数x 恒成立；②若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；③若02f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则函数()f x 为偶函数；④当22(0)02f f π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭
时，若()()120f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈；
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A 【解析】 函数
()()()1122()sin sin sin n n f x a x a a x a a x a =++++⋅⋅⋅++，
其中,i a j a （1,2,,i n =⋅⋅⋅，*n N ∈，2n ≥）为已知实常数，x ∈R
若()00f =，则()11220sin sin sin 0n n f a a a a a a =++⋅⋅⋅+=
()()()()()1122sin sin sin n n a x a a x a x a f x f a x ++++⋅⋅⋅+-++= ()()()1122sin sin sin n n a x a a x a a x a +-++-++⋅⋅⋅+-+ ()11222cos sin sin sin n n x a a a a a a =++⋅⋅⋅+0=，
所以函数()f x 为奇函数，故②正确； 若02f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭π，则1122sin sin sin 2222n n f a a a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1122cos cos cos 0n n a a a a a a =---⋅⋅⋅-=，
所以()()()()()1122sin sin sin n n a x a a x a x a x f x f a =++++⋅⋅⋅++--
()()()1122sin sin sin n n a x a a x a a x a -++-++⋅⋅⋅++--⎡⎤⎣⎦
()11222sin cos cos cos 0n n x a a a a a a =----⋅⋅⋅-=0=，
所以函数()f x 为偶函数，故③正确；
若()002f f π⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，则函数()f x 为奇函数，也为偶函数，
所以()0f x =对任意实数x 恒成立， 故①正确； 当2
2
(0)02f f π⎛⎫
+≠
⎪⎝⎭
时，若()()120f x f x ==， 则()()()()11121211sin sin sin 0n n a x a a x a f x a x a =++++⋅⋅⋅++=，
()()()()22222112sin sin sin 0n n a a a a f x x x x a a =++++⋅⋅⋅++=，
所以()()121122sin sin cos cos cos n n x x a a a a a a -++⋅⋅⋅+
()()121122cos cos sin sin sin 0n n x x a a a a a a +-++⋅⋅⋅+=，
所以12sin sin 0x x -=，
可得12x x k π-=，k ∈Z ，故④正确.故选：A.
18．函数()f x 的定义域为D ，若满足如下两个条件：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在,22m n D ⎡⎤
⊆⎢
⎥⎣⎦
，使得()f x 在,22m n ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1x a f x a t a a =+>≠是“希望函数”，则t 的取值范围是（）
A ．1,04⎛⎫-
⎪⎝⎭
B ．1,04⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．1,02
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】
因为函数()()()log 0,1x
a f x a t
a a =+>≠是“希望函数”,
所以()f x 在,22m n ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的. 所以22
log log m a n
a
a t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩
即22m m n n a t a
a t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 2
0x x
a a t ∴--=有2个不等的正实数根，
140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->
解得1
04
t -
<<，故选A. 19．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有
()()2121
0f x f x x x -<-，且
()20f =，则不等式
()()
205f x f x x
+-<解集是（ ）
A ．()(),22-∞-+∞
B ．()(),20,2-∞-
C ．()()2,02-+∞
D ．()
()2,00,2-
【答案】B
因为对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有
()()2121
0f x f x x x -<-，
所以偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数，因为()f x 图象关于y 轴对称， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)(2)0f f =-=，因为()f x 是偶函数，
所以原不等式可化为
()
305f x x
<，即()f x 与x 异号， 所以不等式的解为{|2x x <-或02}x <<，故选B.
20．已知,0,22m R ππ
αβπ-≤≤≤≤∈,如果有3
3
sin 0,cos 02m m πααββ⎛⎫++=-++= ⎪⎝⎭
,则
cos()αβ+的值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．0.5
D ．1
【答案】B 【解析】
构造函数()3
sin f x x x =+，在2
2
x π
π
-
≤≤
上为奇函数且单调递增
0,2
2
2
π
π
π
βπβ≤≤∴-
≤
-≤
变换3
3sin ,sin 22m m ππααββ⎛⎫⎛⎫+=--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即(),22f f ππαβαβ⎛⎫=-∴=- ⎪⎝⎭
，即2π
αβ+=，cos()0αβ+=
故选：B
21．设函数()y f x =，()y g x =的定义域、值域均为R ，以下四个命题：①若()y f x =，()y g x =都是奇函数，则(())y f g x =是偶函数；②若()y f x =，()y g x =都是R 上递减函数，则(())y f g x =是R 上递减函数；③若(())y f g x =是周期函数，则()y f x =，()y g x =都是周期函数；④若(())y f g x =存在反函数，则()y f x =，()y g x =都存在反函数其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【解析】 对于①，()y f x =
，y g x 都是奇函数，则()(),()()f x f x g x g x -=--=-，
(())(())(())f g x f g x f g x -=-=-，(())y f g x ∴=是奇函数，①错
对于②，()y f x =
，y g x 都是R 上递减函数，若12x x <，则12()()f x f x >和12()()g x g x >，
12(())(())f g x f g x ∴<，故判断(())y f g x =单调递增，②错
对于③，若(())y f g x =是周期函数，则只需y g x 是周期函数即可，③错
对于④，若(())y f g x =存在反函数，则()y f x =是一一对应，且y g x 也是一一对应，即()
y f x =和y
g x 都存在反函数，④正确.
故选：B.
22．狄利克雷函数为F (x )()10x x R x ⎧=∈⎨⎩
，为有理数时，
，为无理数时，.有下列四个命题：①此函数为偶函数，且有无数条
对称轴；②此函数的值域是[]0,1；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点
()()()()()(),,,,,A a F a B b F b C c F c ，使得△ABC 是等腰直角三角形，以上命题正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．③④
D ．②④
【答案】B 【解析】
①()F x 的定义域为R 关于原点对称，当x 为有理数时，()()1F x F x =-=，当x 为无理数时，
()()0F x F x =-=，
所以()()F x F x =-恒成立，所以()F x 是偶函数，
取非零有理数a ，当x 为有理数时，()()F a x F a x +=-，当x 为无理数时，()()F a x F a x +=-， 所以()()F a x F a x +=-恒成立，a 有无数种可能，所以()F x 有无数条对称轴； ②因为()F x 的取值只有0,1，所以()F x 的值域为{}0,1；
③取有理数()0a a >，当x 为有理数时，()()1F x F x a =+=，当x 为无理数时，()()0F x F x a =+=，
所以()()F x F x a =+恒成立，a 有无数种可能，所以()F x 是周期函数且无最小正周期； ④设存在()()()()()()
,,,,,A a F a B b F b C c F c 满足条件，
根据函数值域可知，,,a b c 的可能组合为：两个有理数一个无理数、两个无理数一个有理数，
(1)不妨设,a b 为有理数，c 为无理数，因为ABC 为等腰直角三角形，所以AB 只能为ABC 的斜边，
所以2
a b
c +=，所以c 为有理数，与假设矛盾，故不成立； (2)不妨设,a b 为无理数，c 为有理数，因为ABC 为等腰直角三角形，所以AB 只能为ABC 的斜边，
所以2
a b
c +=
，所以c 为无理数，与假设矛盾，故不成立， 综上可知：不存在三点使得ABC 为等腰直角三角形. 故选：B.
23．符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②()f x 是奇函数，③()f x a <（常数0a >），④()f x 在0,
上单调递增，⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量0x ，使()0f x d >.
下列四个函数中()12arctan a
f x x π=，()221ax x f x x =+，()3100
01
a x x f x x a x x ⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪--<⎩
，()42121x x f x a ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭中“S 函数”的个数为（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】
（1）
()12arctan a f x x π=
的定义域为R ， arctan 22
x ππ
-<<，()1f x ∴的值域为(),a a -，()1f x 是
奇函数，在(0,)+∞上是增函数，由于2lim ()2
x a f x a π
π→+∞=
⨯=，根据极限的定义，条件⑤满足，()1f x ∴是S 函数，
（2）()221ax x f x x =
+的定义域为R ，2
111
x x
x -<<+，()2f x ∴的值域是(),a a -，()()222
1
ax x
f x f x x --=
=-+，()2f x ∴是奇函数，
当0x >时，()2222
11
ax a
f x a x x ==-++，0a >，()2f x ∴在(0,)+∞上是增函数. 由于222
lim ()lim lim 1
11x x x ax a
f x a x x
→+∞→+∞→+∞===++，根据极限的定义，条件⑤满足，()2f x ∴是S 函数. （3）由解析式可知()3f x 的定义域为R ，当0x >时，1a a x -<，当0x <时，1
a a x
-->-，()3f x ∴的值域是R ，不符合条件③，()3f x ∴不是S 函数. （4）()4f x 的定义域为R ，
21212121x x
x -=-++，20x
>，211121
x x -∴-<<+，()4f x ∴的值域是(),a a -.()()4421122112x x
x x f x a a f x -----=⋅=⋅=-++.()4f x ∴是奇函数.
()42121x f x a ⎛
⎫=- ⎪+⎝⎭
，()4f x ∴在(0,)+∞上是增函数.
1(1)(21)2lim ()lim lim 12112
x x x x x x x
a a f x a →+∞→+∞→+∞-
-===++，根据极限的定义，条件⑤满足， ()4f x ∴是S 函数.故选：C .
24．如果一个函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，关于点()P m n ,对称，那么将()y f x =的图像向左平移m 个单位再向下平移n 的单位后得到一个关于原点对称的函数图像.即函数()y f x m n =+-为奇函数.那么下列命题中真命题的个数是（ ）
①二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图像肯定不是一个中心对称图形；
②三次函数32y ax bx cx d =+++（0a ≠）的图像肯定是一个中心对称图形； ③函数1x
b
y c a =++（0a >且1a ≠）的图像肯定是一个中心对称图形. A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】D
【解析】①二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）一定是轴对称图形，不可能是中心对称图形,故正确；
②三次函数32y ax bx cx d =+++（0a ≠）向左平移m 个单位，再向下平移n 个单位后得到
()()()32
y a x m b x m c x m d n =++++++-
()()32232332ax am b x am mb c x am bm cm d n =+++++++++-
当32
30
am b am bm cm d n +=⎧⎨
+++-=⎩ 时， 3b
m a
=-
，32n am bm cm d =+++ 此时函数23
3b y ax c x a ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，平移后的函数是奇函数，关于原点对称，
则函数32y ax bx cx d =+++（0a ≠）也一定是中心对称图形，故正确； ③()1x
b
f x c a =
++ （0a >且1a ≠）， ()11
x
x x b b a f x c c a a -⋅-=+=+++ ，()()2f x f x b c -+=+ ，
()f x ∴关于点0,2b c ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
对称，故正确.故选：D
25．定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对()12,0,x x ∈+∞恒有
1212
()()
0f x f x x x ->-，且
305f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则不等式()0f x x
<的解集是（ ） A ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．33,0,55⎛⎫⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．33,0,55⎛
⎫⎛⎫
-∞- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D 【解析】
对()12,0,x x ∈+∞恒有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则()f x 在()0,∞+上单调递增.
()()f x f x -=，函数为偶函数，故()f x 在(),0-∞上单调递减，305f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
当0x >时，
()0
f x x
<，即()0f x <故3
05x << 当0x <时，
()0f x x <，即()0f x >.故3
5x <-
综上所述：33,0,55x ⎛
⎫⎛⎫
∈-∞- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
故选：D
26．对于函数()f x ,若存在区间[,]A m n =,使得{|(),}y y f x x A A =∈=,则称函数()f x 为“可等域函数”,区间A 为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:①()||f x x =;②2()21f x x =-;③()|12|x f x =-;④2()log (22)f x x =-.其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】在①中,如在区间(0,)+∞、(1,2)都是()||f x x =的可等域区间,故①不合题意;
在②中,2
()211f x x =-≥-,且()f x 在0x ≤时递减,在0x ≥时递增,
若0[,]m n ∈,则1[,]m n -∈,于是1m =-,又()11f -=,(0)1f =-,而(1)1f =,故1n =,
[1,1]-是一个可等域区间;
若0n ≤,则222121n m m n
⎧-=⎨-=⎩,解得m =,0n =>,不合题意,
若0m ≥,则221x x -=有两个非负解,但此方程的两解为1和1
2
-,也不合题意, 故函数2()21f x x =-只有一个等可域区间[1,1]-,故②成立;
在③中,函数()|12|x
f x =-的值域是[0,)+∞,所以0m ≥,
函数()|12|x
f x =-在[0,)+∞上是增函数,考察方程21x x -=,
由于函数2x
y =与1y x =+只有两个交点(0,1),(1,2), 即方程21x x -=只有两个解0和1,
因此此函数只有一个等可域区间[0,1],故③成立;
在④中,函数2()log (22)f x x =-在定义域(1,)+∞上是增函数, 若函数有2()log (22)f x x =-等可域区间[,]m n ,则()f m m =,()f n n =,
但方程2log (22)x x -=无解(方程2log x x =无解),故此函数无可等域区间,故④不成立. 综上只有②③正确. 故选:B.
27．已知偶函数()2
f x π
+，当(,)22
x ππ
∈-
时，1
3()sin f x x x =+． 设(1)a f =，(2)b f =，(3)c f =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
【答案】D 【解析】 因为函数2f x π⎛⎫+
⎪
⎝
⎭为偶函数，所以ππ
()()22
f x f x -+=+， 即函数()f x 的图象关于直线2
x π
=对称，即()(2π)f x f x =-，
又因为当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，()13sin f x x x =+，所以函数()f x
在(,)22ππ
-
上单调递增，在π3π
(,)22
上单调递减， 因为213π<-<，所以(2)(π1)(1)(3)f f f f >-=>， 即b a c >>；故选D.
28．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，
224,23,()2
,34,x x x f x x x x
⎧-+≤≤⎪
=⎨+<≤⎪
⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11
(,)[,)88
-∞-+∞ B ．11[,0)(0,]48
-
C ．(0,8]
D ．11
(,][,)48
-∞-+∞
【答案】D 【解析】
由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当
[]2,4x ∈时，()()2
24,232
,34{
x x x x x
f x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时()93,2f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，由()()22f x f x +=，可得()()()11
2424
f x f x f x =
+=+，当[]2,0x ∈-时，[]42,4x +∈．则()
f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[]21,1g x a a ∈-++，则有3
214918
{a a -+≤+≥，解得18a ≥，当0
a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[]1,21g x a a ∈+-+，则有3
14
9218
{
a a +≤
-+≥
，解得1
4
a -≤．综上所述，可得a 的取值范围为 ][11,,48⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
．故本题答案选D ．
29．已知函数()()1
13
32cos 1x x x f x --+=+--，则（ ）
A ．()()0.5
23
1log 9log 0.52f f f -⎛
⎫>> ⎪⎝⎭
B ．(
)()0.5
2310.5
log 9log
2f f f -⎛⎫>> ⎪⎝
⎭
C ．()()0.5
3210.5log log 92f f f -⎛⎫>> ⎪⎝
⎭
D ．()()0.5
231log 90.5log 2f f f -⎛⎫>> ⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】
令()(1)332cos x x
g x f x x -=+=+-，
()()g x g x -=， 所以()g x 是偶函数；
()ln 3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，
()g x 在(0,)π上是增函数，
将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增.
∵23log 94<<，0.50.5-=()3
31
2log 2log 22,32
-=+∈， ∴0.523
1
4log 92log 0.512
->>->>，
∴()()0.5
23
1log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭
， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3
311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， ∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛
⎫>> ⎪⎝⎭
. 故选:A.
30．若在直角坐标平面内,A B 两点满足条件：①点,A B 分别在函数()y f x =，()y g x =的图象上；②点
,A B 关于原点对称，则称,A B 为函数()y f x =和()y g x =的一个“黄金点对”．那么函数
2()22(0)f x x x x =+-<和1
()(0)g x x x
=
>的“黄金点对”的个数是（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C 【解析】
设(),A a b ，则(),B a b --，0a <
则2
()22f a a a b =+-=；1()g a b a -=-
=-故2321
222210a a a a a a
+-=∴+--=
即()()
2
1310a a a -++=解得32
a -=
1a =（舍去） 故选：C
31．对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2x
f x e x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．()1,e ++∞
B ．()2,e ++∞
C ．1,e e ⎛⎫+
+∞ ⎪⎝⎭
D ．,e e 2⎛
⎫+
+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】
()y f x =在定义域R 内单调递增，
(),()f a ka f b kb ∴==，
即2,2a b
e a ka e b kb +=+=，
即,a b 是方程2x e x kx +=的两个不同根，
∴2x e k x =+，设2
(1)()2,()x x e e x g x g x x x
'
-=+=， ∴01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>， ∴1x =是()g x 的极小值点，
()g x ∴的极小值为：(1)2g e =+，
又x 趋向0时，()g x 趋向+∞；x 趋向+∞时，()g x 趋向+∞，
2k e ∴>+时，y k =和()y g x =的图象有两个交点，方程2x
e k x
=+有两个解，
∴实数k 的取值范围是()2,e ++∞． 故选：B ．
32．定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2
f x x =，
则方程()1
2
f x x =-在[]8,10-上所有根的和为（ ） A ．0 B ．8
C ．16
D ．32
【答案】C 【解析】
()()2=-+f x f x ，即()()2f x f x +=-，
()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数.
又()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.
()()()22∴+=-=--f x f x f x ，()()220∴++-=f x f x ，则函数()y f x =的图象关于点()2,0对
称，易知函数1
2
y x =
-的图象也关于点()2,0对称，如下图所示：
函数12y x =
-的图象与函数()y f x =在[)8,6--上没有交点，并且函数12
y x =-在[)(]6,22,10-上的
图象关于点()2,0对称，且函数()y f x =在区间[]6,10-上的图象也关于点()2,0对称，两个函数在区间
[]6,10-上共有8个公共点，且这些公共点呈现4对关于点()2,0对称，因此，方程()1
2f x x =-在[]
8,10-上所有根的和为4416⨯=. 故选：C.
33．定义：若整数m 满足：11
22
m x m -
<≤+，称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =．给出函数(){}f x x x =-的四个命题：
①函数()f x 的定义域为R ，值域为11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；
②函数()f x 是周期函数，最小正周期为1； ③函数()f x 在11,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上是增函数； ④函数()f x 的图象关于直线()2
k
x k Z =
∈对称. 其中所有的正确命题的序号为（） A ．①③ B ．②③
C ．①②④
D ．①②③
【答案】B 【解析】
∵①中，显然(){}f x x x =- 的定义域为R,由题意知，11
{}{}22
x x x -
<≤+，则得到(){}f x x x =-11
(,]22
∈-，故①错误；
②中，由题意知:(1)(1){1}1{}1f x x x x x +=+-+=+--={}()x x f x -=,所以(){}f x x x =-的最小正周期为1，，故②正确； ③中，由于11{}{}22x x x -<≤+,则得(){}f x x x =-为分段函数，且在1113,,,2222⎛⎤⎛⎫
- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭
上是增函数，，故命题③正确；
④中，由题意得，()(){}(){}()f k x k x k x x x f x -=---=---=-()f x ≠ 所以函数y =f （x ）的图象关于直线x =2
k
（k ∈Z ）不对称，故命题④错误； 由此可选择②③， 故选B .
34．设函数11,(,2)
(){1(2),[2,)2
x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】
，转化为
如图，画出函数
和
的图像，
当时，有一个交点， 当
时，
，
，此时，是函数的一个零点， ，
，满足，所以在
有两个交点，
同理
，所以在有两个交点， ，所以在
内没有交点，
当
时，恒有
，所以两个函数没有交点
所以，共有6个．
35．设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[]3,4上的值域为[]2,5-，则()f x 在区间[]10,10-上的值域为（ ） A ．[]16,12- B ．[]12,10-
C ．[]15,11-
D ．[]18,14-
【答案】C 【解析】
函数()()f x x g x =+，()()g x f x x =-∴。

()g x 为R 上周期为1的函数，则()(1)g x g x =+， ∴(1)(1)()f x x f x x +-+=-，
∴()(1)11f x f x =+-（）或()(1)12f x f x =-+（），
当[3,4]x ∈时，[]()2,5f x ∈-， 利用（2）式()(1)1f x f x =-+可得：
当[4,5]x ∈时，则[](1)[3,4](1)2,5x f x -∈⇒-∈-，∴[]()1,6f x ∈-， 当[5,6]x ∈时，则[](1)[4,5](1)1,6x f x -∈⇒-∈-，∴[]()0,7f x ∈， 当[6,7]x ∈时，则[](1)[5,6](1)0,7x f x -∈⇒-∈，∴[]()1,8f x ∈，
当[9,10]x ∈时，则[](1)[8,9](1)3,10x f x -∈⇒-∈，∴[]()4,11f x ∈， 利用（1）式()(1)1f x f x =+-可得：
当[2,3]x ∈时，则[](1)[3,4](1)2,5x f x +∈⇒+∈-，∴[]()3,4f x ∈-， 当[1,2]x ∈时，则[](1)[2,3](1)3,4x f x +∈⇒+∈-，∴[]()4,3f x ∈-， 当[0,1]x ∈时，则[](1)[1,2](1)4,3x f x +∈⇒+∈-，∴[]()5,2f x ∈-，
当[10,9]x ∈--时，则[](1)[9,8](1)14,7x f x +∈--⇒+∈--，∴[]()15,8f x ∈--， 由分段函数的值域是由每一段并起来，
∴()f x 在区间[10,10]-上的值域为[]15,11-故答案为：[]15,11-。

36．已知函数4
()()f x x a a R x
=+
-∈，2()43g x x x =-++，在同一平面直角坐标系里，函数()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧有两个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}
3a a <- B ．{}
3a a >-
C ．{}
3a a =-
D ．{}
34a a -<<
【答案】B 【解析】
令()()()()2
4
53,0F x f x g x x x a x x
=-=--++
>. 设1202x x <<≤，则()()()
12121212
4
x x f x f x x x x x --=-， 因为1202x x <<≤，故120,x x -<1240x x -<，120x x >， 故()()120f x f x ->即()()12f x f x >，
所以当()0,2x ∈时，()f x 为减函数，同理可证：当()2,x ∈+∞时，()f x 为增函数. 由2()43g x x x =-++，()0,x ∈+∞可得：
当()0,2x ∈时，()g x 为增函数；当()2,x ∈+∞时，()g x 为增函数. 故()F x 在()0,2上为减函数，在()2,+∞上为增函数. 因为函数()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧有两个交点，
所以()F x 在()0,∞+上有两个不同的实数解，所以()20F <即470a --<，故3a >-. 又当3a >-时，30a +>，
设()2
530x x a --+=
较大的解为502
M +=
>，
当x M >时，()2
4
530,
0x x a x
--+>>，故()0F x >， 又当4
010
x a <<
+时，
()()()2
2253453571010024x x a x x a x a x ⎛
⎫--+=-+-+=-+-++> ⎪⎝
⎭，
故()0F x >，
由零点存在定理可知，()F x 在()0,2，()2,+∞上各有一个零点. 综上，实数a 的取值范围是3a >-. 故选：B.
37．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()+2f x f x =对x R ∈恒成立，当[]0,1x ∈时，()2x
f x =，
则92f ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
A ．
12
B ．2
C ．
22
D ．1
【答案】B 【解析】
因为()()+2f x f x =对x ∈R 恒成立，所以函数()f x 是周期为2的周期函数．因为
是定义在
R 上的偶函数，所以1
299122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选B ．
38．对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){}
|,y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①()sin 2
f x x π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
；②()221f x x =-； ③()12x f x =-； ④()()2log 22f x x =-． 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ） A ．①②③ B ．②③
C ．①③
D ．②③④
【答案】B 【解析】 ①函数的周期是4,正弦函数的性质我们易得,
为函数的一个“可等域区间”,同
时当
时也是函数的一个“可等域区间”,
不满足唯一性.
②当
时,,满足条件,且由二次函数的性质可知,满足条件的集合只有
一个.
③为函数的“可等域区间”,
当
时,
,函数单调递增,
,
满足条件,
,n 取值唯一.故满足条件. ④
单调递增,且函数的定义域为
,
若存在“可等域区间”,则满足,即,
,n 是方程的两个根,设,,
当
时,
,此时函数
单调递增, 不可能存在两个解,
故
不存在“可等域区间”.
所以B 选项是正确的.
39．若函数()y f x =在区间I 上是增函数，且函数()f x y x
=
在区间I 上是减函数，则称函数()f x 是区间
I 上的“H 函数”．对于命题：①函数()2f x x x =-+()0,1上的“H 函数”； ②函数()2
21x
g x x
=-是()0,1上的“H 函数”．下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为假命题, ②为真命题 D ．①为真命题, ②为假命题
【答案】D 【解析】
对于命题①：令t x =,函数()2f x x x =-+可换元为2
2y t t =-+
∵t x =
(0,1)上是增函数，函数y=-t 2+2t 在(0,1)上是增函数，∴在(0,1)上()f x 是增函数；
()1G x x
=
-在(0,1)上是减函数，∴函数()2f x x x =-+
是(0,1)上的“H 函数“，故命题①是真命题．对于命题②，函数
222
()11x g x x x x
=
=
--是（0，1）上的增函
数，2
()1
()1g x H x x x
=
=- 是(0,1)上的增函数，故命题②是假命题；故选D ．
40．已知函数()1421
6
x x f x +-+=，()()20g x ax a =->.若[]120,log 3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，
()()12f x g x =，则a 的取值范围是（ ）
A ．21,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．2,23
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】C 【解析】
()()
2
216
x f x -=
，0212x ≤-≤，所以()f x 的值域为20,3
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
.
因为0a >，所以()g x 在[]1,2上的值域为[]2,22a a --
依题意得[]20,2,223a a ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，则20
2223a a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩
解得4
23a ≤≤.
故选：C
41
．已知函数()|
f x =，给出下列四个判断：①函数()f x 的值域是[0,2]；
②函数()f x 的图像时轴对称图形；③函数()f x 的图像时中心对称图形；④方程3
[()]2
f f x =有实数解.其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B 【解析】
由题
()f x ==的几何意义为(,0)P x 到
(3,2),(5,2)A B 的距离差的绝对值.其中(,0)P x 在x 轴上运动.
对①,由图像可知,当(,0)P x 在1(4,0)P 处()0f x =取得最小值,当(,0)P x 往1(4,0)P 两边运动时, ()f x 无限
接近2,但
11
2PA PB AB -<=.故①错误. 对②,易得当(,0)P x 往1(4,0)P 两边运动时, ()f x 关于4x =对称.故②正确. 对③,由②有③错误.
对④,由①可知,[)()0,2f x ∈.由图易得()f x 在[)0,2内单调递减, 故[](
()135,2913f f x ⎤∈
--⎦,故3
[()]1352
f f x =>-有解.故④正确.
故选：B
42．定义在R 上的函数()f x ，满足()()cos22f x f x x +-=+，2()()sin g x f x x =+，若g()x 在R 上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +值为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】
2222()()()sin ()sin ()2cos 12sin 3g x g x f x x f x x x x +-=++-+-=++=，
故()y g x =的图象关于点30,
2⎛
⎫
⎪⎝⎭
对称， 若最大值(),M g a =最小值()m g b =， 则点(,)a M 与点(,)b m 关于点30,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
对称故3M m +=.故选：D 43．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，当2x ≤时，()x
f x xe =．若关于x 的方程
()()22f x k x =-+有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．()
()1,00,1- B ．()()1,01,-⋃+∞。