专题训练11 代数计算及通过代数计算进行说理问题

专题训练十一代数计算及通过代数计算进行说理问题
例1 如图1，已知直线y＝kx＋2与x轴的正半轴交于点A(t, 0)，与y轴相交于点B，抛物
线y＝－x2＋bx＋c经过点A和点B，点C在第三象限内，且AC⊥AB，tan∠ACB＝1
2
．
（1）当t＝1时，求抛物线的表达式；
（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；
（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．
例2 如图1，在平面直角坐标系中，点A(－m, 0)，B(0, 2m)，点C在x轴上（不与点A重合）．
（1）当△BOC与△AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）；
（2）当△BOC与△AOB全等时，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过A、B、C三点，求m的值，并求点C的坐标；
（3）点P是（2）的二次函数图像上一点，∠APC＝90°，求点P的坐标及∠ACP的度数．
图1 备用图
例3 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx的图像经过点(1,－3)和(－1,5)．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图像向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图像顶点M的坐标；
（3）在（2）的前提下，如果点P的坐标为(2, 3)，CM平分∠PCO，求m的值．
例4 如图1，已知在直角坐标平面上的△ABC，AC＝CB，∠ACB＝90°，且A(－1,0)，B(m,n)，C(3, 0)．若抛物线y＝ax2＋bx－3经过A、C两点．
（1）求a、b的值；
（2）将抛物线向上平移若干单位得到新的抛物线恰好
经过点B，求新的抛物线的解析式；
（3）设（2）中的新抛物线的顶点为P，点Q为新抛
物线上点P和点B之间的一个点，以点P为圆心画圆，当
⊙Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边
形ABQP的面积．图1
例5 如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0,－4)、B(－2, 0)、C(4, 0)．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）已知点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．
图1 备用图
例6 如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛
物线21
()2
y x m n =
-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C ． （1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；
（2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值；
（3）在（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称轴于点P ，使得 ∠DCP ＝∠CAD ，求点P 的坐标．
例7 已知抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧），与y 轴交于
点C ，△ABC 的面积为12． （1）求抛物线的对称轴及表达式；
（2）若点P 在x 轴上方的抛物线上，且tan ∠PAB ＝2
1
，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，过C 作射线交线段AP 于点E ，使得tan ∠BCE ＝2
1
，联结BE ，
试问BE 与BC 是否垂直？请通过计算说明．
例8 如图1，反比例函数的图像经过点A(－2, 5)和点B(－5, p)，平行四边形ABCD的顶点C、D分别在y轴的负半轴、x轴的正半轴上，二次函数的图像经过点A、C、D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求点C、D的坐标；
（3）如果点E在第四象限内的二次函数的图像上，且∠DCE
＝∠BDO，求点E的坐标．
例9 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴正半轴上的两个点，且OA＝AB，过点A、B分别作x轴的垂线，分别交抛物线y＝x2于点C和点D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H．
（1）求△CMD与四边形ABMC的面积比；
（2）求证：x C·x D＝－y H．
例10 如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是_______三角形；
（2）若抛物线y＝－x2＋bx (b＞0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y＝－x2＋b′x (b′＞0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．
例11 如图，已知二次函数L
：y＝x2－4x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
1
边），与y轴交于点C．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)，顶点为P．
①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图像的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由；
③若直线y＝8k与抛物线交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
例12 如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D(m,m＋1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．
例13 已知抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．
（1）求抛物线的对称轴及表达式；
（2）若点P 在x 轴上方的抛物线上，且tan ∠PAB ＝
2
1，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，过C 作射线交线段AP 于点E ，使得tan ∠BCE ＝21，联结BE ，试问BE 与BC 是否垂直？请通过计算说明．
例14 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋4ax＋c经过A(0, 4)、B(－3, 1)两点，顶点为C．
（1）求该抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线沿y轴向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线与y 轴的交点记为点D．当△ACD是等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）若点P在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO，将线段PO绕点P逆时针旋转90°得到线段PO′，若点O′恰好在（1）中求得的抛物线上，求点P的坐标．
例15 如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线12
1+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式．
图1
例16如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、C(3, 0)两点，与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射线AP的垂线，垂足为点D，射线BD交x轴于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）联结BC，当点P的坐标为
2
(0,)
3
时，求△EBC的面积；
（3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．
图1 备用图
例17如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－1经过点A(2,－1)，它的对称轴与x轴相交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果直线y＝x＋1与此抛物线的对称轴交于点C，与此抛物线在对称轴右侧交于点D，且∠BDC＝∠ACB，求此抛物线的表达式．。