【高中数学】2019-2020学年新教材人教A版必修测试4

(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′－BC′D的体积．
解析：(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，
∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝ a，
∴三棱锥A′－BC′D的表面积为4× × a× × a＝2 a2.
而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为 ＝ .
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值．
解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.
同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，
(2)三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．
故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD
＝a3－4× × a2×a＝ .
19．(12分)如图，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
A．16和12 B．15和13
C．17和11 D．18和10
解析：如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，
∴x2－81＝(28－x)2－25，
∴x＝15,28－x＝13.
答案：B
8.
如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝ A1B1，则多面体P－BCC1B1的体积为()
答案：D
2．关于直观图画法的说法中，不正确的是()
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变
C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°
D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同
(2)以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB，
分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝ AE，B′C′＝ BC.
在y′轴上截取O′D′＝ OD.
(3)连接E′D′，E′C′，C′D′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．
18．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．
答案：B
3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是()
A．4SB．4πS
C．πSD．2πS
解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，
则2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.
答案：C
4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3，则其表面积为()
解析：∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点．故EF＝ AC＝ .
答案：
16．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．
解析：tan∠PCA＝ ＝ ＝ ，∴∠PCA＝30°.
答案：两个同底的圆锥组合体
14．若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________．
解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以
S侧＝(1＋ ＋ )× ＝2＋ ＋ ，
S底＝ ×1× ＝ ，
故S表＝2＋ ＋ ＋2× ＝2＋2 ＋ .
答案：2＋2 ＋
15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
A．18 cm2B．18 cm2
C．12 cm2D．12 cm2
解析：设正四面体的棱长为acm，则底面积为 a2cm2，易求得高为 acm，则体积为 × a2× a＝ a3＝9，解得a＝3 ，所以其表面积为4× a2＝18 (cm2)．
答案：A
5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1， ，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为()
第
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列结论正确的是()
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，N为AD的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.
因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，
所以平面BDE∥平面MNG.
20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥PE.
∵AE＝ ＝ ，PA＝1，
∴PE＝ ＝ .
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．
解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．
A. B.
C．4 D．5
解析：V多面体P－BCC1B1＝ S正方形BCC1B1·PB1＝ ×42×1＝ .
答案：B
9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2 ，则异面直线BD与AC所成的角为()
A．30° BΒιβλιοθήκη 45°C．60° D．90°
解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝ ，所以∠BDE＝60°，故选C.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，
在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，
∴DE∥BC，∴DE⊥AB，
∵SA＝SB，
∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.
又SE∩DE＝E，
∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．
C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．
答案：30°
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图是由正方形ABCE和正三角形CDE所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．
解析：(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x′O′y′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．
∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．
∵AC＝1，MC＝AM＝ ，∴∠CMA＝90°.
答案：C
12．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为()
A. B.
C. D.
解析：
如图，过点A作AE⊥BD于E，连接PE.
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
(1)求证：OE∥平面BCC1B1；
(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.
在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.
(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，
由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，
又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.
21．(12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．
答案：C
10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.
A．16π B．32π
C．36π D．64π
解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为 ＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.
答案：A
6．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中()
A．不一定存在与a平行的直线
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，且O为AE的中点，连接MO，
则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，
所以DE∥GN.
答案：B
11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为()
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ .
∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝ ，且CM⊥BM，AM⊥BM，
(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.
22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.
又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，
所以DE⊥平面EBC.
因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.
(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝ ，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ .
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
解析：当直线a⊂平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.
答案：A
7．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为()