(浙江版)2020年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.1 导数概念及其几何意义(讲)

专题3.1 导数概念及其几何意义
【考纲解读】
【知识清单】
1．导数的概念
1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数
定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率
0000()()lim
lim
x x f x x f x y
x
x ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x
0，即00000()()()lim lim
x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2．函数f (x )的导函数
称函数0
()()
()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-=∆为f (x )的导函数．
对点练习： 求函数y =
1x =处的导数. 【答案】12
-
2．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝
f ′(x 0)(x －x 0)．
对点练习：
【2016四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,
ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩
图象上点P 1，P 2处的切
线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )
（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A 【解析】
【考点深度剖析】
本节中导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为全国卷高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有： (1)求切线方程问题． (2)确定切点坐标问题． (3)已知切线问题求参数． (4)切线的综合应用．
【重点难点突破】
考点1 利用导数的定义求函数的导数 【1-1】一质点运动的方程为283s t =-.
（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【答案】（1）63x --∆；（2）6-. 【解析】（1）∵283s t =-
∴Δs=8-3(1+Δt)2
-(8-3×12
)=-6Δt -3(Δt)2
,
63s
v t t
-
∆=
=--∆∆. （2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度00
lim lim(63)6t t s
v t t ∆→∆→∆==--∆=-∆
求导法：质点在t 时刻的瞬时速度
2()(83)6v s t t t ''==-=，当t=1时，v=-6×1=-6.
【领悟技法】
1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法：
①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；
②求平均变化率
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆； ③得导数00()lim x y
f x x
∆→∆'=∆，简记作：一差、二比、三极限.
2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数, 【触类旁通】
【变式一】若0()3f x '=-，则000
()(3)
lim
h f x h f x h h
→+--=（ ）
A ．3-
B ．12-
C ．9-
D ．6- 【答案】B
法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为0000
()()
()lim
3h f x h f x f x h
→+-'==-，
所以
000000
0()(3)()(3)
lim
4lim 4'()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h
→→+--+--===-（其中：
00()(3)4x h x h h +--=），故选B.
考点2 导数的几何意义
【2-1】曲线3)(3
+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（ ） A ．)3,1( B ．)3,1(- C ．)3,1(和)3,1(- D ．)3,1(- 【答案】C.
【解析】因2
'()31f x x =-，令'()2f x =，故2
3121x x -=⇒=或1-，所以(1,3)P 或
(1,3)-，经检验，点(1,3)，(1,3)-均不在直线21y x =-上，故选C ．
【2-2】【山西孝义二模】曲线2
()f x x =过点(1,0)P -处的切线方程是_____________. 【答案】0440y x y =++=，
【2-3】已知曲线314
33
y x =
+， （1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程； （2）求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3）求斜率为4的曲线的切线方程.. 【
答
案
】（
1
）
440.x y --=(2) 44020
x y x y --=-+=或(3)
440123200x y x y --=-+=和.
【解析】（1）(2,4)P Q 在曲线314
33
y x =
+上，且2y x '= ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=2|x y ='=4;
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即440.x y --=
（2）设曲线31433y x =+与过点P(2, 4)的切线相切于点A （x 0，3014
33
x +）
，则切线的斜率020|x x k y x ='==，∴切线方程为y -（301433x +）=2
0x （x -0x ），即23002433y x x x =-+g
∵点P(2,4)在切线上，∴4=220x -302433
x +，即3200340x x -+=，∴322
000440x x x +-+=，
∴（x 0+1）(x 0-2)2
=0 解得x 0=-1或x 0=2
故所求的切线方程为44020x y x y --=-+=或. （3）设切点为（x 0,y 0）
则切线的斜率为k=x 02=4, x 0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3）
∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2) 即440123200x y x y --=-+=和. 【领悟技法】
1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为
000()'()()y f x f x x x -=-.
2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点
00(,())P x f x 处切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程，可按
如下方式求得：
第一，求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；
第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0x x =. 【触类旁通】
【变式一】已知函数()y f x =的图象在点()()
2,2M f 处的切线方程是4y x =+，则
()()22f f '+= ．
【答案】7 【解析】
【变式二】已知函数x x x f +=ln )(，则函数)(x f 点P （1，)1(f ）的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 【答案】
4
1
【解析】因为(1)1,f =切线斜率1
1
(1)12,x k
f x ='==
+=所以切线方程为12(1)y x -=-，与两坐标轴的交点为1(0,1),(0,),2A B -因此围成的三角形的面积为111
1.224
⨯⨯=
【易错试题常警惕】
易错典例1：已知曲线3
1y x =+． （1）求曲线在1x =-处的切线方程； （2）求曲线过点(1,0)-的切线方程．
易错分析：易于因为审题不严或理解有误，将两道小题混淆，特别是第（2）小题独立出现时．
正确解析：（1）∵ 23y x '=， ∴曲线在1x =-处的斜率21
3(1)3x k y =-'==⨯-=．
∵1x =-时，0y =，
∴曲线在1x =-处的切线方程为3(1)y x =+， 即330x y -+=．
温馨提醒：(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P 的切线方程”与“该曲线在点P 处的切线方程”的
两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P 处的切线方程”问题的考查较为普遍.
【学科素养提升之思想方法篇】
————近似与精确、有限与无限——无限逼近的极限思想
1.由0
()()
'()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬
时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.
2.曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”⇒“割线→切线”.
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点． 【典例】3
22()13
f x x x ax =
-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】7(3,)2
【解析】。