青岛科技大学2006年研究生入学考试试卷A卷

.
. 青岛科技大学2006年研究生入学考试试卷（A 卷）
考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）
一．（30分）设向量组12:,,,r A ααα线性无关，且可由向量组12:,,,s B βββ线性表示，试证① r s ≤，② 适当地排列向量组B 中向量的次序，使得以向量组A 替换B 中前r 个向量后得到的向量组:C 12,,
,r ααα1,,,r s ββ+与向量组B 等价。

二．（30分）设秩为r 的矩阵r n A ⨯的各行向量是某一齐次线性方程组的一个基础解系，B 是r r ⨯非奇异矩阵，试证：BA 的各行向量也是该齐次线性方程组的基础解系。

三．（30分）设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一复矩阵，1A =且0a ≠，①试将矩阵A 表示成若干个初等矩阵的
乘积。

②将A 表示成形如101x ⎛⎫
⎪⎝⎭与101x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的初等矩阵的乘积。

四．（30分）设A 是n 阶复矩阵，若有正整数m ，使得m n A E =（n E 是单位阵）。

证明：①A 与对角阵相似。

②求A 的最小多项式与A 的全部特征值。

五．（15分）设()A λ是5阶
λ-矩阵，()4r a n k A =，()A λ的初等因子组为()322,,,1,1,1λλλλλλ-++，试求①()A λ的不变因子。

②写出()A λ的标准形。

六．（15分）设12,,,m e e e 是n 维欧氏空间n V 的标准正交向量组，证明对任意的向量u ∈n V 都有()2
21,m i
i u e u =≤∑。

（其中（,i u e ）表示u 和i e 的数积）。