湖南省岳阳市一中高三上学期第一次月考数学理试题

2018届高三年级第一次质量检测
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数z 满足()()225z i i --=，则z =（ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
2.已知{}{}
222|,,|1,,M y y x x R N y x y x R y R ==∈=+=∈∈，则M N ⋂=（ ） A ．[]2,2- B ．[]0,2 C ．[]0,1 D ．[]1,1- 3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若362,18S S ==，则10
5
S S 等于（ ） A ．-3 B ．5 C ．-31 D ． 33 4.已知()()tan 2
0,ααπ=∈，则5cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
35 B ．45 C. 35- D ．45
- 5.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x 的取值范围是（ ）
A ．(]4,10
B ．()2,+∞ C. (]2,4 D ．()4,+∞
6.若n
的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（ ）
A ．-270
B ．270 C. -90 D ．90
7.一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．3
2π B ．1π+ C. 1
6
π+
D ．π 8.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）
A ． 34种
B ． 48种 C. 96种 D ．144种
9.定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]3,5x ∈时，()24f x x =--，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．cos
sin 66f f ππ⎛
⎫
⎛⎫> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ B ．()()sin1cos1f f < C. 22cos
sin 3
3f f ππ⎛⎫⎛
⎫
> ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
D ．()()sin 2cos2f f < 10.已知,a b 为平面向量，若a b +与a 的夹角为3π，若a b +与b 的夹角为4π
，则a b
=
（ ）
A ．
3 B ．33
D ．2 11.已知两定点()1,0A -和()1,0B ，动点(),P x y 在直线3y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）
A D 12.只能被1和它本身整除的自然数（不包括1）叫做质数，41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王同学正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数，试写出一个数P 满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则P =（ ）
A ．1677
B ． 1681 C. 1685 D ．1687
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上
13.已知幂函数()y f x =的图象过点12⎛ ⎝⎭
，则()2log 2f 的值为 ．
14.若()sin
3
n f n π
=，则()()()()1232017f f f f ++++= ．
15.已知三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥
S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 ．
16.已知实数,a b 满足()ln 130b a b ++-=，实数,c d 满足20d c -+=，则
()()
22
a c
b d -+-的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量
()2cos ,cos 1,,22C m B n c b a ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，且0m n =.
（1）求角C 的大小；
（2）若点D 为AB 上一点，且满足,7,AD DB CD c ===，求ABC ∆的面积. 18.如图1，在ABC ∆中，0
2,90,30AC ACB ABC =∠=∠=，P 是AB 边的中点，现把
ACP ∆沿CP 折成如图2所示的三棱锥A BCP -，使得AB =
（1）求证：平面ACP ⊥平面BCP ； （2）求二面角B AC P --的余弦值.
19.习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.岳阳市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：
（1）若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，求,x y 的值； （2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤；
（3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望.
20.已知点P 是直线:2l y x =+与椭圆()22
211x y a a
+=>的一个公共点，12,F F 分别为该
椭圆的左右焦点，设12PF PF +取得最小值时椭圆为C . （1）求椭圆C 的标准方程及离心率；
（2）已知,A B 为椭圆C 上关于y 轴对称的两点，Q 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线,QA QB 分别与y 轴交于点()()0,,0,M m N n ，试判断mn 是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由. 21. 已知函数()()()2
1ln 102
f x a x a x x a =-++-
>.
（1）讨论()f x 的单调性； （2）若()2
12
f x x ax b ≥-
++恒成立，求实数ab 的最大值. 22.请考生在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题10分）.
1.选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系xOy
中，直线:x t
l y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），
以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C
的方程为
2cos ρθθ=-+.
（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 交曲线1C 于,O A 两点，直线l 交曲线2C 于,O B 两点，求AB 的长. 2．选修4-5：不等式选讲 已知函数()313f x x ax =-++. （1）若1a =，解不等式()4f x ≤；
（2）若函数()f x 有最小值，求a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:ACDDA 6-10: CBCCB 11、12：AB
二、填空题
13.
1
2
14. 2
15. 3 16. 1
三、解答题
17.解：（1）由0m n =，得()cos 2cos 0c B b a C +-=， 由正弦定理可得()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +-=， ∴sin 2sin cos 0A A C -=，∵sin 0A ≠，
∴1cos 2C =
，∵()0,C π∈，∴3
C π=. （2）∵A
D DB =，∴,2CD CA CB CD CD CA CB -=-=+，
又7,CD c =
=
两边平方：2
2
2
2
2
42cos 28CD b a ab C b a ab =++=++= ① ∵2
2
2
2
2
2cos 12c a b ab C
a b ab =+-=+-= ② 由①②可得8ab =， ∴1
sin 2
ABC S ab C ∆=
=18.【解析】在图1中，取CP 的中点O ，连接AO 交CB 于E ，则AE CP ⊥， 在图2 中，取CP
的中点O ，连接,AO OB ，
因为2AC AP CP ==
=，所以AO CP ⊥
，且AO = 在OCB ∆中，由余弦定理有(2
2
2
01217OB =+-⨯⨯=，
所以2
2
2
10AO OB AB +==，所以AO OB ⊥. 又,AO CP
CP
OB O ⊥=，所以AO ⊥平面PCB ，
又AO ⊂平面ACP ，所以平面ACP ⊥平面
CPB ；
（2）因为AO
⊥平面CPB ，且OC OE ⊥，故可如图建立空间直角坐标系，则
()()(()()
0,0,0,1,0,0,,1,0,0,
O C A P B --，()(2,3,3,1,0,AB AC =--=.
显然平面ACP 的法向量为()0,1,0n =.
设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =，则由0
m AB m AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(
)
3,3,1m =
；
因为二面角B AC P
--为锐二面角，
故所求角的余弦值cos cos,
13
m n
θ===.
19.解：（1）由题意知3,4
X y
==；
（2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为
63
105
=，
任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生，
故随机变量ξ服从二项分布，则
()04322
012
444
333232328
21
555555625
P C C C
ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≤=-++=
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
（3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为
1
10
，在景点乙中被选出的概率为
4
10
.
由题意知：η的所有可能的取值为0，1，2.
则()
9627
101050
Pη==⨯=()169421
1
1010101050
Pη==⨯+⨯=
()142
2
101050
Pη==⨯=
所得分布列为：
()11
012
5050252
Eη=⨯+⨯+⨯=.
20.解：（1）联立2
2
2
2
1
y x
x
y
a
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，得()
2222
1430
a x a x a
+++=，
∵直线2
y x
=+与椭圆有公共点，
∴()
422
164130
a a a
∆=-+⨯≥，解得23
a≥，∴a≥
又由椭圆定义知
12
2
PF PF a
+=，
故当a =
12PF PF +取得最小值，
此时椭圆C 的方程为2
213
x y +=； （2）设()()()112100,,,,,A x y B x y Q x y ，且()()0,,0,M m N n ， ∵QA QM k k =，∴
010010
y y y m
x x x --=-，
即()
001001
x y y y m x x --=
-，
∴()0010110
00101
x y y x y x y m y x x x x --=-
=
--， 同理，得0110
01
x y x y n x x +=
+，
∴2222
010********
2
2010101x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x -+-===-+-， 又2
22
201011,133x x y y +=+=， ∴2
22
2
010
11,133
x x y y =-=-， ∴222
20
10
12
2012222
010111331x x x x x x mn x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--， ∴mn 为定值1.
21.解：（1）()()()()2111x a x a x a x a
f x a x x x x
-++---+'=-++-==，
()()()()11x a x a
f x a x x x
---'=
++-=-， ①当1a =时，()()()10
x a x f x x
--'=-
≤，∴()f x 在()0,+∞上单调递减；
②当01a <<，由()0f x '>解得1a x <<，∴()f x 的单调递增区间为(),1a ，
单调递减区间是()0a ，和()1,+∞；
③当1a >，同理可得()f x 的单调递增区间为()1,a ，单调递减区间是()01，和(),a +∞. （2）∵()212f x x ax b ≥-++恒成立，∴()2211
ln 122
a x a x x x ax
b -++-≥-++恒成立，
即ln 0a x x b -+≤恒成立，
()()()ln 0,1a a x
g x a x x b x g x x x
-'=-+>=
-=
， ∴()g x 在()0,a 上递增，(),a +∞上递减，∴()()max ln 0g x g a a a a b ==-+≤， ∴ln b a a a ≤-，∴2
2
ln ab a a a ≤-，
令()()()()2
2
ln 0,2ln 12ln h x x x x x h x x x x x x '=->=-=-，
∴()h x 在12
0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，12,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递减，
∴()12max
2
e h x h e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2e ab ≤，∴实数ab 的最大值为2e .
22. 1.解：（1）圆1C 的标准方程为：()2
2
11x y +-=，即：2
2
20x y y +-=，
圆1C 的极坐标方程为：2
2sin 0ρρθ-=，即：2sin ρθ=， （1）曲线1C ：cos 1sin x y θθ
=⎧⎨
=+⎩（θ为参数），化为普通方程：()22
11x y +-=，展开可得：
2220x y y +-=，可得极坐标方程：22sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=.
曲线2C
的方程为2cos ρθθ=-+，
即()
2
2cos ρρθθ=-+
化为直角坐标方程：222x y x +=-+.
（2
）直线:x t
l y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）
，可得普通方程：y =，可得极坐标方程：
()23
R π
θρ=
∈.
∴222sin 2cos 33
OA OB ππ===-，
21
24
32
π⎛⎫
+=-⨯-+=
⎪
⎝⎭
，
∴4
AB OB OA
=-=
23.解答：（1）当1
a=时，()313
f x x x
=-++，
当
1
3
x≥时，()4
f x≤可化为
3134
x x
-++≤，解得
11
32
x
≤≤；
当
1
3
x<时，()4
f x≤可化为
3134
x x
-+++≤，解得
1
3
x
≤<，
综上可得，原不等式的解集为
1
|0
2
x x
⎧⎫
≤≤
⎨⎬
⎩⎭
；
（2）()
()
()
1
32,
3
313
1
34,
3
a x x
f x x ax
a x x
⎧
++≥
⎪⎪
=-++=⎨
⎪-+<
⎪⎩
，
函数()
f x有最小值的充要条件为
30
30
a
a
+≥
⎧
⎨
-≤
⎩
，即33
a
-≤≤.。