数学：2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角》教案(新人教A必修4)

2.4.2 平面向量数目积的坐标表示、模、夹角
教课目标：1、掌握平面向量数目积的坐标表示，会进行平面向量数目只的运算；
2、能运用数目积表示两个向量的夹角，会用数目积判断两个向量的垂直关系。

教课重难点：应用平面向量数目积的坐标表示去解决两点间的距离、两向量的夹角等相关问题。

教课过程
一、复习发问
平面向量数目积（内积）：a b = |a||b|cos，
二、新课
设 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，如何用a与b的坐标表示a ?b？
∵ a = x1i + y1j, b = x2i + y2j
∴ a b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i 2 + x1y1i j + x2y1i j + y1y2j2
x 轴上单位向量 i ，y 轴上单位向量 j，则： i i = 1， j j = 1，i j = j i = 0
进而获取公式： a b = x1x2 + y1y2
两个向量的数目积等于他们对应坐标的乘积和。

长度、角度、垂直的坐标表示
1a = (x, y)|a|2 = x2 + y2|a| = x 2y 2
2 若 A = (x1, y1)， B = (x2, y2)，则 | AB |= ( x1x2 ) 2( y1 y2 )2
3a b x1 x 2y1 y2
cos =
2222
| a || b |
x1y1x 2y2
4 ∵a b a b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示不一样）。

例 5、已知 A(1, 2)， B(2, 3)， C( 2, 5)，求证：△ ABC 是直角三角形。

证：∵ AB =(2 1, 3 2) = (1, 1),
AC=( 2 1,5 2)=( 3,3)
∴AB AC=1×( 3)+1×3=0
∴AB AC
∴△ ABC 是直角三角形
例 6、设a＝（ 5，－ 7），b＝（－ 6，－ 4），求a ?b及a、b间的夹角θ（精准到1°）。

解： a ?b ＝5×（－6）＋（－7）×（－4）
＝－ 30＋28
＝－ 2
｜ a ｜＝527 274
｜ b ｜＝(6) 2(4)2＝52
cosθ＝
2
0.03 74 ?52
利用计算器中的cos－1键，可解得：θ1.6rad=92 °
练习： P119 1、2、3
证明P119 习题4。

( a) b = (a b) = a (b)
证法一：若> 0，( a) b =|a||b|cos
(a b) =|a||b|cos
a ( b) =|a||b|cos
若< 0，( a) b =|a||b|cos(
(a b) =|a||b|cos
a ( b) =|a||b|cos(
，
，
，
，
) =
) =
|a||b|(
|a||b|(
cos ) =
cos
|a||b|cos，
) =|a||b|cos。

证法二：设 a、b 的坐标，用数目积的坐标表示来证明。

作业： P119 5、7、8、9、10 (评讲第 11 题)。