河北省保定市2014届高三数学上学期期末调研考试试题 文

保定市2013-2014学年度第一学期高三期末调研考试
数学试题（文科）
注意事项： 1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第I 卷时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效
.
3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4. 考试结束后，将答题卡交回.
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知21i
z i
=+，i 是虚数单位，则||z = A.
1
2
D.3 2.在△ABC 中，“A=B ”是“tanA=tanB ”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 3． 已知向量(3,5),(1,21)a b x x ==-+，当//a b 时A ．8 B ．-8 C ． 87-
D ． 87
4．在数列{}n a 中，已知111,21n n a a a +==+， 则其通项公式为n a =
A ．21n
- B ．1
2
1n -+ C ．21n - D ．2(1)n -
5．某程序框图如右图所示，若该程序运行后输出的值是
9
5
，则 A ．a= 4 B ．a= 5 C ．a= 6 D
．a= 7 6．已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为
A ．e
B ．-e
C ．
1e D ． 1e
- 7．以正三角形ABC 的顶点A 、B 为焦点的双曲线恰好平分边AC 、BC ，则双曲线的离心率为 A 1 B ．2 C 1 D ．8．已知A 、B 、C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式2
x OA xOB BC ++=
成立的实数x 的取值集合为
A ．{1}-
B ．φ
C ．{0}
D ．{0,1}-
9．已知x,y 满足约束条件1,,260,y y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≥⎩
，那么23z x y =+的最小值为
A ．
112 B ．8 C ．3
4
D ．10 10．函数()sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的最小正周期是π，若其图象向右平移
3
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象 A ．关于点(
,0)12π
对称 B ．关于直线12x π
=
对称
C ．关于点5(,0)12π对称
D ．关于直线512
x π
=
对称 11．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且,3
C a b π
λ=+=，若△ABC 面
积的最大值为3λ的值为
A ．8
B ．12
C ．16
D ．21
12．球O 的表面上有3个点A 、B 、C ，且3
AOB BOC π
∠=∠=，若的外接圆半径为2，则
这个球的表面积为
A ．12π
B ．36π
C ．24π
D ．48π
第II 卷
二、填空題:本大题共4小题,每小题5分.
13．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且3813a a +=，
735S =,则7a =_________.
14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为 .
15．若函数3
()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极上值，则实数b 的取值范围是__________.
16．已知集合M={1,2,3,4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若,,x A y B x y ∀∈∈<,恒成立，则称(A ，B)为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有_______ 个. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
已知函数2
()3cos cos f x x x x =-
A P D
M C
B （1）求f(x)的最小正周期和单调递增区间； （2）当[0,
]2
x π
∈时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x 的值.
18．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(*)n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
19．（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥A –BPC 中，AC ⊥BC ，AP ⊥PC ，M 为AB 的中
点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形
（1）求证：BC ⊥平面APC ；
（2）若BC=3，B=10，点B 到平面DCM 的距离.
20．（本小题满分12分）
某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的 55名学生，得到数据如下表:
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关?
(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一上调查，将这 6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率 下面的临界值表供参考:
(参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)
21本小题满分12分）
已知函数2
2
()ln (0)f x x ax a x a =+-≥
(1)若x=1是函数()y f x =的极值点，求a 的值； (2)若()0f x <在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围。

22（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>中，:2a b =，以原点为圆心，椭圆的长半轴
为半径的圆与直线20x y +-=相切.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若过点M(2，0)的直线与椭圆C 相交于A ，B ，5
||3
AB =
，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 的值.
高三调研考试文科数学参考答案
一选择题：CCBAA CCABD BD
二.填空题：13、8; 14、
; 15、1
02
b <<； 16、17 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、解：（1）因为11()2cos 2222
f x x x =
-- 1
sin(2)62x π=-- ....................................................... 2分
所以2T w
π
π==，故()f x 的最小正周期为π.............3分
222,2
6
2
6
3
k x k k x k π
π
π
π
π
ππππ-
<-
<+
∴-
<<+
函数的单调增区间为[,],63
k k k z ππ
ππ-
+∈ ................5分 （2）因为50,22666x x ππππ
≤≤∴-≤-≤ .......................... 6 分
所以当262x ππ-=，即3x π=时()f x 有最大值1
2
.............8分
当26
6
x π
π
-
=-
，即0x =时，()f x 有最小值-1 .............10分
18．解：（1）22n n S a =-，1122(2)n n S a n --∴=-≥ ，两式相减、整理得
12(2)n n a a n -∴=≥． .......................................................
.........................3分
又12a =，{}22n a ∴是以为首项,为公比的等比数列，
1222n n n a -∴=⋅=． (*n N ∈ ) ………………………………………………5分
（2）2n n b n =⋅， 1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，
23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+
+-⋅+⋅．....................................
.....................8分
两式相减得：1212222n n n
T n +-=+++-⋅，
12(12)212
n n n T n +-∴-=-⋅-1
(1)22n n +=-⋅-，
1(1)22n n T n +∴=-⋅+． ………………………………………………………12分
19（1）证明：∵△PMB 为正三角形，
且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB ．
又∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴MD //AP ，∴AP ⊥PB ．………………3分 又已知AP ⊥PC ，∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ，AC
AP A =，
∴BC ⊥平面APC ……………………………………6分
（2）法一：作BQ ⊥CD ，垂直为Q
因为MD//AP ，AP⊥平面PBC
所以MD⊥平面PBC ，所以平面C MD⊥平面PBC
所以BQ ⊥平面MCD ………………………………………………….9分
在Rt △PBC 中，BC=3，
=4，D 为PB 的中点，所以S △BCD =1
34=34
⨯⨯ 又DC=
1522PB =,∴15322
BQ ⨯⨯=,即BQ=125
故点B 到平面MDC 的距离为
12
5
…………………………………………12分 法二：（等体积法）在Rt △PBC 中，BC=3，
=4，D 为PB 的中点，所以S △BCD =
1
34=34
⨯⨯………………………..9分 因为MD//AP ，AP⊥平面PBC 所以MD⊥平面PBC
又因为DC=
15
22
PB =,设所求的距离为h 则由等体积法的3MD=12MD 5
2
h ⋅
125
h ∴=
即点B 到平面MDC 的距离为
12
5
…………………………………………12分 20. 解：（1）由公式2
2
55(2020105)11.9787.87930252530
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． ………………………5分 （2）设所抽样本中有m 个男生，则
643020
m
m ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作123412,,,,,.B B B B G G 从中任选2人的基本事件有1213(,)(,)B B B B 、、
A
B
M
C
D
P
1411122324212234(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)B B B G B G B B B B B G B G B B 、、、、、、、、 3132414212(,)(,)(,)(,)(,)B G B G B G B G G G 、、、、，共15
个，........................................8分 其中恰有1名男生和1名女生的事件有
111221(,)(,)(,)B G B G B G 、、、223132(,)(,)(,)B G B G B G 、、、41(,)B G 、 42(,)B G ，共8个（.直接从上面15个事件中做记号注明也
可）...............................10分
所
以
恰
有
1
名
男
生
和
1
名
女
生
的
概
率
为
8
15
P =
． ..................................................12分 21. 解：（1）函数定义域为()+∞,0，()x
ax x a x f 1
222'
++-=………………2分
因为1=x 是函数()x f y =的极值点，所以()02112'=-+=a a f 解得2
1
-
=a 或1=a …………………4分 经检验，2
1
-=a 或1=a 时，1=x 是函数()x f y =的极值点，
又因为a>0所以1=a .................................... 6分
（2）当0a =时，()ln f x x =，显然在定义域内不满足()0f x <………………8分 当0a >时，(21)(1)'()0ax ax f x x +-+=
=得1211
,2x x a a
=-=…………………9分
所以'(),()f x f x 的变化情况如下表：
max ()()ln 0f x f a a
∴==<1a ∴>...................................11分
综上可得1a >…………………………………………………………………12分
22. 解：（1
）易得a =
=
:a b = 所以2
2a =，2
1b =.故方程为2
212
x y +=..................................... 4分
（2）由题意知，直线
AB 的斜率存在，设直线AB 方程：
(2)y k x =-.....................5分
显
然
，
当
k=0
时
，
|AB|=2
与已知不符，所以
k 0≠..................................... 6分 设1122(),(,),(,)A x y B x y P x y ，
由22
(2)12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=
422644(12)(82)0k k k ∆=-+->，21
2
k <
.....................................8分
22121222
882
,1212k k x x x x k k -+=⋅=++
∵||AB =
12|3x x -=，∴221212201[()4]9k x x x x ++-=
（） ∴
224-114+13=0
k k （）(），即
21
=4
k ....................................................10分
又因为1212(,)(,)x x y y t x y ++=，且k 0≠，即t 0≠
所以2121212
22814,[()4](12)(12)
x x y y k k
x y k x x k t t k t t t k ++-====+-=++ ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)
k k t k t k -+=++，又2
1=4k . 所以
t =
±………………….........................................................
...............……12分。