抽样调查5-复习
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第四章 整群抽样复习
4-1 在各群大小相等的整群抽样中,如果想估计具 有某种特征指标的次级单元在总体中所占比例p,
(1) 试给出p的估计量;
(2) 它是无偏估计吗? (3) 它的方差是多少? (4) 试给出它的方 P N
P ——总体百分数
i i 1
N
(3 2.9)2 (3 2.9)2 (4 2.9)2 ] 229900
(2) 经计算可知被抽的各箱废品率分别为
3 2 1 4 0 5 4 3 3 4 , , , , , , , , , 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
灯泡废品率的估计为
1 1 pc (3 2 1 4 0 5 4 3 3 4) 0.0967 10 30
1 f PQ M n
4-2 上级部门想了解某学院学分制情况,从该院500个 寝室(每室住6人)随机无放回地抽取10个寝室,询问 每个学生这学期副课的选修门数,具体数据如下:
编号i 1 2 3 2 2 4 每人选修副课门数 3 1 3 1 1 3 3 3 2 3 2 3 1 1 2
4 5 6 7 8 9 10
1 1 3 4 3 2 1
3 1 3 3 2 1 1
4 2 2 1 2 4 3
2 1 1 2 2 3 2
2 2 3 4 3 3 2
2 2 3 2 3 2 2
试问全院人均选修副课的门数,并求其方差,并求出其置信 水平为95%的置信区间. n 解: f 0.02 N=500，n=10，M=6 N
常采用的方差表示为：
N 2 S N 1 2 n S N n PQ Var ( p) (1 ) N n N 1 n 1 f PQ NM nM PQ n M NM 1 nM
2
Var ( pc ) Deff Var ( p)
N 2 ( Pi P ) 1 f i 1 n N 1 M N 2 ( P P ) i NPQ i 1
1 Y N
i 1
N
N1 Yi N
N 1 2 (Yi Y )2 N i 1 1 N N1 2 N1 2 { N1 ( ) ( N N 1 )( ) } N N N N1 N N1 PQ 其中 Q 1 P N N (总体中 1所占比例 ) (总体中 0所占比例 )
人均选修付课门数的估计为：
1 y nM
1 10 6 yij yij 2.25 10 6 i 1 j 1 i 1 j 1
n
M
由表经计算可知，每个宿舍人均选修副课门数为
11 13 16 14 9 15 16 15 15 11 , , , , , , , , , 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
标准差为
0.0159 0.126
人均选修副课的门数Y 的置信水平为95%的置信区间为
[2.25 1.96 0.126, 2.25 1.96 0.126] [2.0030, 2.4970].
4-3 有1000箱灯泡,每箱30只,因需要想估计坏灯泡的 总数,现随机抽取10箱,经检查,各箱的坏灯泡数分别 为: 3, 2, 1, 4, 0, 5, 4, 3, 3, 4. (1) 试估计坏灯泡的总数及其方差估计; (2) 试估计灯泡的废品率,并给出其方差估计. 解: (1) N=1000，n=10，M=30
(3) 根据简单随机抽样结论, pc 的方差 Var ( pc ) 为
其无偏估计为：
(4)
Var ( pc ) Deff Var ( p)
回忆
将盒子中的票子分为两类，我们感兴趣的一类全标 上1，其余的都标上0。于是盒子可用图2-4-2表示：
N 1个
1
图2-4-2
0
N N 1个
则盒子中票子指标的平均数为：
1 f 1 n 2 方差为 v ( y ) ( y y ) i n n 1 i 1
1 0.02 1 11 13 2 [( 2.25) ( 2.25)2 10 10 1 6 6 16 14 19 2 2 ( 2.25) ( 2.25) ( 2.25) 2 6 6 6 15 16 15 2 2 ( 2.25) ( 2.25) ( 2.25) 2 6 6 6 15 11 2 ( 2.25) ( 2.25)2 ] 0.0159 6 6
Pi ——第 i 群百分数
总体百分数的无偏估计为：
1 n pc pi ——样本百分数 n i 1
(2) 显然
E ( pc ) p
1 f 1 N 2 Var ( pc ) ( Pi P ) n N 1 i 1
1 f 1 n 2 v ( pc ) ( p p ) i c n n 1 i 1
方差为
1 f 1 n 2 v ( pc ) ( p p ) i c n n 1 i 1
1 0.01 1 3 2 2 [( 0.0967) ( 0.0967)2 10 10 1 30 30 1 4 0 2 2 ( 0.0967) ( 0.0967) ( 0.0967)2 30 30 30 5 4 3 2 2 2 ( 0.0967) ( 0.0967) ( 0.0967) 30 30 30 3 4 2 ( 0.0967) ( 0.0967)2 ] 0.0002554 30 30
箱均坏灯泡数的估计为：
n f 0.01 N
1 y (3 2 1 4 0 5 4 3 3 4) 2.9 10
坏灯泡总数的估计为：y N y 1000 2.9 2900
方差为
n 1 f 1 2 v ( y ) N 2v ( y ) N 2 ( y y ) i n n 1 i 1 1 0.01 1 2 1000 [(3 2.9)2 (2 2.9)2 (1 2.9)2 10 10 1 (4 2.9)2 (0 2.9)2 (5 2.9)2 (4 2.9) 2
4-1 在各群大小相等的整群抽样中,如果想估计具 有某种特征指标的次级单元在总体中所占比例p,
(1) 试给出p的估计量;
(2) 它是无偏估计吗? (3) 它的方差是多少? (4) 试给出它的方 P N
P ——总体百分数
i i 1
N
(3 2.9)2 (3 2.9)2 (4 2.9)2 ] 229900
(2) 经计算可知被抽的各箱废品率分别为
3 2 1 4 0 5 4 3 3 4 , , , , , , , , , 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
灯泡废品率的估计为
1 1 pc (3 2 1 4 0 5 4 3 3 4) 0.0967 10 30
1 f PQ M n
4-2 上级部门想了解某学院学分制情况,从该院500个 寝室(每室住6人)随机无放回地抽取10个寝室,询问 每个学生这学期副课的选修门数,具体数据如下:
编号i 1 2 3 2 2 4 每人选修副课门数 3 1 3 1 1 3 3 3 2 3 2 3 1 1 2
4 5 6 7 8 9 10
1 1 3 4 3 2 1
3 1 3 3 2 1 1
4 2 2 1 2 4 3
2 1 1 2 2 3 2
2 2 3 4 3 3 2
2 2 3 2 3 2 2
试问全院人均选修副课的门数,并求其方差,并求出其置信 水平为95%的置信区间. n 解: f 0.02 N=500，n=10，M=6 N
常采用的方差表示为：
N 2 S N 1 2 n S N n PQ Var ( p) (1 ) N n N 1 n 1 f PQ NM nM PQ n M NM 1 nM
2
Var ( pc ) Deff Var ( p)
N 2 ( Pi P ) 1 f i 1 n N 1 M N 2 ( P P ) i NPQ i 1
1 Y N
i 1
N
N1 Yi N
N 1 2 (Yi Y )2 N i 1 1 N N1 2 N1 2 { N1 ( ) ( N N 1 )( ) } N N N N1 N N1 PQ 其中 Q 1 P N N (总体中 1所占比例 ) (总体中 0所占比例 )
人均选修付课门数的估计为：
1 y nM
1 10 6 yij yij 2.25 10 6 i 1 j 1 i 1 j 1
n
M
由表经计算可知，每个宿舍人均选修副课门数为
11 13 16 14 9 15 16 15 15 11 , , , , , , , , , 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
标准差为
0.0159 0.126
人均选修副课的门数Y 的置信水平为95%的置信区间为
[2.25 1.96 0.126, 2.25 1.96 0.126] [2.0030, 2.4970].
4-3 有1000箱灯泡,每箱30只,因需要想估计坏灯泡的 总数,现随机抽取10箱,经检查,各箱的坏灯泡数分别 为: 3, 2, 1, 4, 0, 5, 4, 3, 3, 4. (1) 试估计坏灯泡的总数及其方差估计; (2) 试估计灯泡的废品率,并给出其方差估计. 解: (1) N=1000，n=10，M=30
(3) 根据简单随机抽样结论, pc 的方差 Var ( pc ) 为
其无偏估计为：
(4)
Var ( pc ) Deff Var ( p)
回忆
将盒子中的票子分为两类，我们感兴趣的一类全标 上1，其余的都标上0。于是盒子可用图2-4-2表示：
N 1个
1
图2-4-2
0
N N 1个
则盒子中票子指标的平均数为：
1 f 1 n 2 方差为 v ( y ) ( y y ) i n n 1 i 1
1 0.02 1 11 13 2 [( 2.25) ( 2.25)2 10 10 1 6 6 16 14 19 2 2 ( 2.25) ( 2.25) ( 2.25) 2 6 6 6 15 16 15 2 2 ( 2.25) ( 2.25) ( 2.25) 2 6 6 6 15 11 2 ( 2.25) ( 2.25)2 ] 0.0159 6 6
Pi ——第 i 群百分数
总体百分数的无偏估计为：
1 n pc pi ——样本百分数 n i 1
(2) 显然
E ( pc ) p
1 f 1 N 2 Var ( pc ) ( Pi P ) n N 1 i 1
1 f 1 n 2 v ( pc ) ( p p ) i c n n 1 i 1
方差为
1 f 1 n 2 v ( pc ) ( p p ) i c n n 1 i 1
1 0.01 1 3 2 2 [( 0.0967) ( 0.0967)2 10 10 1 30 30 1 4 0 2 2 ( 0.0967) ( 0.0967) ( 0.0967)2 30 30 30 5 4 3 2 2 2 ( 0.0967) ( 0.0967) ( 0.0967) 30 30 30 3 4 2 ( 0.0967) ( 0.0967)2 ] 0.0002554 30 30
箱均坏灯泡数的估计为：
n f 0.01 N
1 y (3 2 1 4 0 5 4 3 3 4) 2.9 10
坏灯泡总数的估计为：y N y 1000 2.9 2900
方差为
n 1 f 1 2 v ( y ) N 2v ( y ) N 2 ( y y ) i n n 1 i 1 1 0.01 1 2 1000 [(3 2.9)2 (2 2.9)2 (1 2.9)2 10 10 1 (4 2.9)2 (0 2.9)2 (5 2.9)2 (4 2.9) 2