2018年河北省邢台市菅等中学高三数学文期末试题含解析

2018年河北省邢台市菅等中学高三数学文期末试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．
【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的．
一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为，
所以八面体的体积为：．
故选C．
2. 已知是第一象限角，则“”是“”
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分与不必要条件
参考答案：
C
3. 某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）
A .
B .
C .
D .
参考答案：
A
4. 经过点且与直线平行的直线为
A．B．
C． D．
参考答案：
B
5. 已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若存在，满足，，则数列{a n}的公比为
A．2 B．3 C．D．
参考答案：
B
6. 某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，利用古典概型的概率的计算公式可求概率.
【详解】设为“恰好抽到2幅不同种类”
某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，
现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数，
恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数，
则恰好抽到2幅不同种类的概率为．
故选：B．
【点睛】计算出所有的基本事件的总数及随机事件中含有的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算即可.计数时应该利用排列组合的方法.
7. 如图，、是双曲线，的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
8. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ( ) A．9 B．12 C．11 D．
参考答案：
B
略
9. 在不等式组确定的平面区域中，若的最大值为，则的值为（）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
参考答案：
A
10. “a=1”是“复数a2﹣1+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于向量a，b，c，下列给出的条件中，能使成立的序号是。

（写出所有正确答案的序号）
①②a//b;③a//c;
④b//c;
参考答案：
①③
12. 若则．
参考答案：
﹣
【考点】定积分．
【专题】计算题；整体思想；定义法；导数的概念及应用．
【分析】两边取定积分，即可得到关于f（x）dx的方程解得即可．
【解答】解：
两边同时取积分，
∴f（x）dx=x2dx+ [2f（x）dx]dx，
∴f（x）dx=x3|x+[2f（x）dx]x|，
∴f（x）dx=+2f（x）dx，
∴f（x）dx=﹣
故答案为：．
【点评】本题考查了定积分的计算；解答本题的关键是两边取定积分，属于基础题．13. 上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 .
参考答案：
14. 已知：P是直线l：3x+4y+13=0的动点，PA是圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的一条切线，A是切点，那么△PAC的面积的最小值是．
参考答案：
2
【考点】圆的切线方程．
【专题】直线与圆．
【分析】求出圆的标准方程，以及三角形的面积，将面积的最值问题转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，
则圆心坐标为C（1，1），半径R=2，
则△PAC的面积S=，
∴要使△PAC的面积的最小，则PA最小，
即PC最小即可，此时最小值为圆心C到直线的距离d=，
即PC=d=4，
此时PA==2，
即△PAC的面积的最小值为S=2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，将三角形的面积进行转化，以及利用数形结合是解决本题的关键．
15. 对于三次函数（），给出定义：设是函数
的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点
为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心. 给定函数
，请你根据上面探究结果，计算
+…++= __________ .
参考答案：
2013
16. 已知命题p：点M（x，y）满足xcosθ+ysinθ=1，θ∈（0，2π]，命题q：点N（x，y）满足x2+y2=m2（m＞0），若p是q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围
是．
参考答案：
m≥1
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由p是q的必要不充分条件，可得≤1，解得m范围．
【解答】解：∵命题p：点M（x，y）满足xcosθ+ysinθ=1，θ∈（0，2π]，
命题q：点N（x，y）满足x2+y2=m2（m＞0），
∵p是q的必要不充分条件，∴≤1，解得m≥1．
那么实数m的取值范围是m≥1．
故答案为：m≥1．
17. 函数（）的反函数是 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知函数.
(Ⅰ) 讨论的单调性；
(Ⅱ)证明：…
参考答案：
（Ⅰ）令，
∵
①当时，对任意都有是上的增函数，
由于当时，是增函数，当时，是减函数，
由复合函数的单调性知，在单调递减，在单调递增；………２分
②当，对任意都有是上的减函数，
从而在单调递增，在单调递减；………………3分③当时，则，
则在递增，在递减
从而在区间和单调递增，
在区间和单调递减；………………5分
综上所述，①当时，在单调递增，在单调递减；
②当时，从而在区间和单调递增，
在区间和单调递减；
③当时，在单调递减，在单调递增；………………6分(Ⅱ) 证明：①当时，由(Ⅰ)知，在单调递减，
令，有，即
累加得………………9分ks5u
②当时，由(Ⅰ)知，在单调递增，
令，有，即
累加得………………11分
从而对任意都成立．………………12分19. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，.
（1）证明：；
（2）已知四边形ABCD是等腰梯形，且，，求五面体ABCDEF的体积.
参考答案：
（1）证明：由已知的,,、平面，且∩, 所以平面
.………………………………………………2分
又平面,所以
.………………………………………………4分
又因为//,所以
.………………………………………………5分
（2）解：连结、,则
.………………………………………………6分
过作交于，又因为平面，所以，且
∩，
所以平面，则是四棱锥的
高. …………………………………………8分
因为四边形是底角为的等腰梯形，,
所以，
,.……………………………………………9分
因为平面，//，所以平面,则是三棱锥的高. …………………………10分
所以………………………………………………11分
所以. ……………………………………12分
20. 已知函数是偶函数，a为实常数。

（1）求b的值；
（2）当a=1时，是否存在（）使得函数在区间上的函数值组成的集合也是，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由；
（3）若在函数定义域内总存在区间(m<n)，使得在区间上的函数值组成的集合也是，求实数a的取值范围．
参考答案：
解：(1)由已知可得，，且函数
的定义域为D=．
又是偶函数，故定义域D关于原点对称．于是，b=0
()．又对任意
因此所求实数b=0．
（2）由(1)可知，．由的图像，可知：
又，∴在区间上是增函数。

∴有即方程
，∵，∴不存在正实数m,n，满足题意。

(3) 由(1)可知，．的图像，知
因在区间上的函数值组成的集合也是，故必有．
①当时，有，即方程
，有两个不相等的正实数根，因此，解得．
②当时，有，化简得
，. 综上，
略
21. 某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；
（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．
（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，由此能估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数．
（2）由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，由此能求出所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，
∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：
0.06×50=3（人）．
（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，
∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为：
800×0.38=304（人）．
（2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，
∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，
∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，
∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，
现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，
基本事件总数n==12，
所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数
m==7，
∴所求概率为p=．
22. 已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足以AB为直径的圆过原点，求直线在y轴上截距的取值范围．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可知：设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c，由
题意可知：e==，即a=2c，a+c=3，b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由△＞0 求得3+4k2＞m2，由韦达定理求得x1+x2=﹣，x1?x2=，由以AB为直径的圆过原点， ?=0，由向量数
量积的坐标表示x1?x2+y1?y2=0，求得7m2=12+12k2，代入即可求得m2＞，
7m2=12+12k2≥12，即可求得截距y轴上截距的取值范围．
【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．
由椭圆的离心率e==，即a=2c，
由椭圆C上的点到右焦点的最大距离3，
∴a+c=3，解得：a=2，c=1，
由b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆C的标准方程：；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，
由，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，整理得：3+4k2＞m2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1?x2=，
y1?y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1?x2+km（x1+x2）+m2，
以AB为直径的圆过原点，
∴OA⊥OB，则?=0，
∴x1?x2+y1?y2=0，即x1?x2+k2x1?x2+km（x1+x2）+m2=0，
则（1+k2）x1?x2+km（x1+x2）+m2=0，
（1+k2）?﹣km?+m2=0，化简得：7m2=12+12k2，
将k2=m2﹣1，代入3+4k2＞m2，3+4（m2﹣1）＞m2，
解得：m2＞，
又由7m2=12+12k2≥12，
从而m2≥，m≥或m≤﹣．
∴实m的取值范围（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．。