【湖北省黄冈中学】2017届高三5月第二次模拟考试数学(理科)试卷

湖北省黄冈中学2017届高三5月第二次模拟考试数学（理科）试卷
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知i 为虚数单位，m ∈R ，复数22(310)(m 4)i z m m m =-+++-，若z 为正实数，则m 的取值集合为（ ） A ．{0}
B ．{0,4}
C ．(2,5)-
D ．(5,2)-
2．已知集合2{|43}A x y x x
==+-，2{|2}B y y ==-，则集合()A B =R I ð（ ） A ．(3,1)--
B ．(,3][1,0)-∞--U
C ．(3,1)[0,)--+∞U
D ．[0,)+∞
3．5()x x
-
的展开式中2x 的系数为（ ）
A ．40
B ．80
C ．32-
D ．80- 4．已知等比数列{}n a 中，1633a a +=，2532a a =，且公比1q ＞，则27a a +=（ ）
A ．129
B ．128
C ．66
D ．36
5．设函数21,3
()44,3
x
x x f x x ⎧+⎪=⎨-⎪⎩＞≤，若()(2)f a f =，且2a ≠，则(2)f a =（ ）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
6．某高三毕业班的六个科任老师站一排合影留念，其中仅有的两名女老师要求相邻站在一起，而男老师甲不能站在两端，则不同的安排方法的种数是（ ） A ．72
B ．144
C ．108
D ．192
7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则此几何体的表面积为（ ）
A ．42(23)++
B ．10
C ．62(
25)++
D ．12
8．已知抛物线2:2C x py =（0p ＞）的焦点为
F
，O 为坐标原点，若抛物线C 上存在点M ，使得
3OM MF ==，则p 的值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
9．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如下程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数），若输出的结果为527，则由此可估计π的近似值为（ ） A ．3.126
B ．3.132
C ．3.151
D ．3.162
10．已知函数4
()f x x
=，2()3g x ax ax =-（0a ＜），若()y f x =的图像与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y 、22(,)B x y =，则下列判断正确的是（ ）
A ．120x x +＞，120y y +＞
B ．120x x +＜，120y y +＜
C ．120x x +＞，120y y +＜
D ．120x x +＜，120y y +＞
11．已知函数()sin(π)4
f x x π
=+
和函数()cos(π)4f x x π=+在区间93
[,]44-上的图像交于A ，B ，C 三点，则
ABC △的面积是（ ）
A
B
C
D
12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且
12PF PF ＞，椭圆的离心率为
MPA θ∠=，双曲线的离心率为BMP ∆，若212PF F F =，则
21
e 3
3e +的最小值为（ ） A
．6+
B ．8
C
．6+
D ．6
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知向量a ，b 满足
1=a ，3=-a b （+），则b 在a 方向上的投影为_______．
14．成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用现代数学符号表示就是222a b c +=，可见当时就已经知道勾股定理．如果正整数a ，b ，c 满足222a b c +=，我们就把正整数a ，b ，c 叫做勾股数，下面依次给出前4组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9
，
40，41．则按照此规律，第6组勾股数为_______．
15．设a ∈R ，实数x ，y 满足32602360y a x y x y ⎧⎪
++⎨⎪+-⎩
≥≥≤，若218y x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是_______．
16．在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，且在边AB ，AC 上分别取M ，N 两点，点A 关于线段MN 的对
称点P 正好落在边BC 上，则线段AM 长度的最小值为_______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分12分）
在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令lg n n a T =，1n ≥．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1(2)2n n n b a -=-，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 18．（本题满分12分）
如图1，在平行四边形ABCD 中，2BC BD ==，2AB =，E 是DC 的中点，现将四边形ABCD 沿BE 折起，使AB ⊥平面BCE ，得到图2所示的几何体，F 是AC 的中点． （Ⅰ）证明DF ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求二面角A CD B --的余弦值的大小．
19．（本题满分12分）
某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取160名理科学生，想调查男生、女生对“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多25人，根据调研情况制成如下图所示的列联表：
选择坐标系与参数方程
选择不等式选讲
合计 男生 60 女生 合计
160
（Ⅰ）完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.025的前提下，能否认为选题与性别有关．
（Ⅱ）按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中共抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数的差为ξ，求
ξ的分布列及数学期望E ξ．
图1
图2
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20．（本题满分12分）
已知点1(1,0)F -，2(1,0)F 分别是椭圆22221x y a b +=（0a b ＞＞）的左右焦点，点2P 在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过右焦点2F 作两互相垂直的直线分别与椭圆C 相交于点A ，B 和M ，N ，求AM BN uuur uuu r
g 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
设函数()ln(1)f x a x =+，()e 1x g x =-，其中a ∈R ，e 2.718=…为自然对数的底数． （Ⅰ）当0x ≥时，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：
10952000
10001791
＜
(参考数据：ln1.10.095≈)． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x t
y t
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴正
半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6
π
θρ=＞． （Ⅰ）把曲线1C 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线3C 与曲线1C 交于O ，P 两点，与曲线2C 交于O ，Q 两点，若点
A 的直角坐标为(4,0)，求
APQ △的面积．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式13x x m -++≤的解集不是空集，记m 的最小值为t ．
（Ⅰ）求t 的值；
（Ⅱ）若正实数a ，b ，c 满足(22)a a c b t bc ++=-，求3a b c ++的最小值．。