江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试试题

2
江苏省泰州市 2020 届高三下学期调研测试试题
第 I 卷（必做题，共 160 分）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位
置上．）
1．已知集合 A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则 A U B ＝
．
2．若实数 x ，y 满足 x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则 xy ＝
．
3．如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为
．
4．根据如图所示的伪代码，可得输出的 S 的值为
．
5．若双曲线 x 2 y 2 - a b 2
= 1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为 y = 2x ，则该双曲线的离心率
为
．
6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）
先后抛掷 2 次，这两次出现向上的点数分别记为 x ，y ，则 x - y = 1 的概率是
．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2＝4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的 3
倍，则点 P 的横坐标为
．
8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健
步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程
为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，
一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是
里．
1
x 2 - 1，x < a
9．若定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x + 4) = f ( x ) ， f (1) = 1 ，则 f (6) ＋ f (7) ＋ f (8)
的值为
．
10．将半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为 9 3π ，则 R ＝
．
⎧ x + a ，x ≥ a
11．若函数 f ( x ) = ⎨
⎩
只有一个零点，则实数 a 的取值范围为 ．
12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( x ， y )，B( x ， y )在圆 O ： x 2 + y 2 = 4 上，
1 1
2
2
且满足 x x + y y = -2 ，则 x + x + y + y 的最小值是
．
1 2
1 2
1
2
1
2
uuur uuur uuur uuur
13．在锐角△ABC 中，点 D ，E ，F 分别在边 AB ，BC ，CA 上，若 AB = 3AD ， AC = λ AF ，
uuur uuur uur uuur uuur
且 BC ⋅ ED = 2EF ⋅ ED = 6 ， ED = 1，则实数 λ 的值为 ．
14．在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则 BD CD
的取值
范围为
．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 P — ABC 中，PA⊥平面 ABC ，AB ＝AC ，点 D ，E ，F 分別是 AB ，AC ，BC
的中点．
（1）求证：BC∥平面 PDE ；
（2）求证：平面 PAF ⊥平面 PDE ．
2
（2）若f(α)=2
16．（本小题满分14分）
已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x-1
2，x∈R．
（1）求函数f(x)的最大值，并写出相应的x的取值集合；
π3π
，α∈(-，)，求sin2α的值．
688
17．（本小题满分14分）
某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M，N 是圆C上关于直径AB对称的两点，以A为四心，AC为半径的圆与圆C的弦AM，AN分别交于点D，E，其中四边形AEBD为温泉区，I、II区域为池外休息区，III、IV区域为池内休息区，设∠MAB＝θ．
（1）当θ=π
4时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；
（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM的长．
3
（3）已知h(x)=1
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：x2y2
+
a2b2
=1(a＞b＞0)的左顶点为A，过点
A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O．当点B为椭圆M的上顶点时，△AOB的面积为b，且AB＝3b．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）求矩形ABCD面积S的最大值；
（3）矩形ABCD能否为正方形？请说明理由．
19．（本小题满分16分）
定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ函数”．
（1）判断函数f(x)=x
-1是否为“YZ函数”，并说明理由；
e x
（2）若函数g(x)=ln x-mx(m∈R)是“YZ函数”，求实数m的取值范围；
11
x3+ax2+bx-b，x∈(0，+∞)，a，b∈R，求证：当a≤﹣2，
323
且0＜b＜1时，函数h(x)是“YZ函数”．
4
已知列向量 ⎢ ⎥ 在矩阵 M ＝ ⎢
对应的变换下得到列向量 ⎢ M -1 ⎢ ⎥ ． 1 2 ⎥⎦ b ⎥⎦
⎣a ⎦ 20．（本小题满分 16 分）
已知数列 {a n
}， {b }， {c }满足 b n n n
= a
n +2
- a ， c = 2a
n n
n +1
+ a ．
n
（1）若数列 {a n
}是等比数列，试判断数列{c }是否为等比数列，并说明理由；
n
（2）若 a 恰好是一个等差数列的前 n 项和，求证：数列 {b }是等差数列； n n
（3）若数列 {b }是各项均为正数的等比数列，数列 {c
n
n
是等差数列．
}是等差数列，求证：数列 {a }
n
第 II 卷（附加题，共 40 分）
21．【选做题】本题包括 A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A ．选修 4—2：矩阵与变换
⎡a ⎤
⎡3 4 ⎤ ⎡b - 2⎤ ⎡b ⎤ ，求 ⎣5 ⎦
⎣ ⎣
B ．选修 4—4：坐标系与参数方程
5
⎧⎪ x
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨ x = cos α ⎪⎩ y = 3 sin α
( α 为参数)．以坐标原
π
点 O 为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρ sin(θ + ) = 4 2 ，
4
点 P 为曲线 C 上任一点，求点 P 到直线 l 距离的最大值．
C ．选修 4—5：不等式选讲
已知实数 a ，b ，c 满足 a ＞0，b ＞0，c ＞0，
a 2
b 2
c 2
+ + = 3 ，求证： a + b + c ≤ 3 ．
b c a
6
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE＝
π
2
，EF⊥平面ADE，EF＝1．
（1）求异面直线AE和DF所成角的余弦值；
（2）求二面角B—DF—C的余弦值．
23．（本小题满分10分）
给定n(n≥3，n∈N*)个不同的数1，2，3，…，n，它的某一个排列P的前k(k∈N*，
1≤k≤n)项和为S，该排列P中满足2S≤S的k的最大值为k．记这n个不同数的所有k k n P
排列对应的k之和为T．
P n
（1）若n＝3，求T；
3
（2）若n＝4l＋1，l∈N*，①证明：对任意的排列P，都不存在k(k∈N*，1≤k≤n)
使得2S=S；②求T(用n表示)．
k n n
7
6.
5
解：（1）因为f(x)sin2x sinxcosx
1
2sin2x
一、填空题
1.1,2,4,8
2.1
2
参考答案
3.80
4.8
5.5 1
7.8.1929.110.6
182
11.(1]U(0,1]12.2213.314.(1,2]
二、解答题
15.（本题满分14分）
证明：（1）在ABC中，因为D,E分别是AB,AC的中点，
所以DE//BC，
因为BC平面PDE，DE平面PDE，
所以BC//平面PDE．
（2）因为PA平面ABC，DE平面PDE，
所以PA DE，
在ABC中，因为AB AC，F分别是BC的中点，
所以AF BC，
因为DE//BC，所以DE AF，
又因为AF I PA A，AF平面PAF,PA平面PAF，所以DE平面PAF，
因为DE平面PDE，所以平面PAF平面PDE．16.（本题满分14分）
2，
……………2分……………6分……………8分
……………12分……………14分
所以f(x)1cos2x1
2
1
2
1
2
(sin2x cos2x)……………2分
8
4 = 2k π + 所以 f ( x ) 的最大值为 2
，此时 x 的取值集合为 ⎨ x x = k π +
, k ∈ Z ⎬ ．………7 分
2
8 sin(2α - ) = 则 cos(2α - π 4 4 3 3
……………10 分
4 -12 = 12 2 -12 ，
由
MB = 24sin θ > 0, MD = 24cos θ -12 > 0 得 θ ∈ 0, π ⎫ ，
……………6 分
则池内休息区总面积 S = 2 ⋅ MB ⋅ DM = 24sin θ (24cos θ -12) ，θ ∈ 0, ⎪ ；
= 2 π π 2 π (sin 2 x cos - cos 2 x sin ) = sin(2 x - ) ……………4 分
2 4 4 2 4
当 2 x -
π
π 2 (k ∈ Z) ，即 x = k π + 3π
8 2 (k ∈ Z) 时， f ( x ) 取最大值 ， 2
⎧
3π ⎫ ⎩
⎭
（2）因为 f (α ) =
2 2 π 2 π 1
，则 ，即 sin(2α - ) = ，
6 2 4 6 4 3
因为 α ∈ (- π 3π π π π
, ) ，所以 2α - ∈ (- , ) ，
8 8 4 2 2
π 1 2 2
) = 1 - sin 2 (2α - ) = 1 - ( )2 = ，
π
π π π
π π
所以 sin 2α = sin[(2α - ) + ] = sin(2α - )cos
+ cos(2α - )sin 4 4 4
4 4 4
1 2 2 2 2 4 + 2
= ⋅ + ⋅ = . 3 2 3 2 6
17.（本题满分 14 分）
……………14 分
解：（1）在 Rt ∆ABM 中，因为 AB = 24 ， θ =
π
4
，
所以 MB = A M = 12 2 ， MD = 24cos
π
1
所以池内休息区总面积 S = 2 ⋅ MB ⋅ DM = 12 2(12 2 -12) = 144(2 - 2) ．
2
……………4 分
（2）在 Rt ∆ABM 中，因为 AB = 24 ， ∠MAB = θ ，
所以 MB = 24sin θ , AM = 24cos θ ， MD = 24cos θ - 12 ，
⎝ 3 ⎭
1 ⎛ π ⎫
2
⎝
3 ⎭
9
f(θ)=sinθ(2cosθ-1)，θ∈ 0,⎪，因为
>，所以∃θ∈ 0,⎪，使得cosθ=，
3⎭
⎝
当x∈ θ,
⎝
⎪时，f'(θ)<0⇒f(θ)在(0,θ0)上单调减，θ
解：（1）由题意：⎨ab=b，解得a=2,b=c=2，
联立⎨x2y2得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0，
⎪+……………9分
⎛π⎫设
⎝3⎭
f'(θ)=cosθ(2cosθ-1)-2sin2θ=4cos2θ-cosθ-2=0⇒cosθ= 1+331⎛π⎫1+33
又cosθ=820
081±33
8，
则当x∈(0,θ
0)时，f'(θ)>0⇒f(θ)在(0,θ)上单调增，
⎛
0π⎫3⎭
即f (
)是极大值，也是最大值，所以f(θ)=f(θ)，
max0
此时AM=24cosθ=3+333．……………13分0
答：（1）池内休息区总面积为144(2-2)m2；
（2）池内休息区总面积最大时AM的长为AM=(3+333)m．………14分
18.（本题满分16分）
⎧a2+b2=3b
⎪
⎪1
⎪2
⎪a2=b2+c2
⎩
所以椭圆M的标准方程为x2y2
+=1．……………4分42
（2）显然直线AB的斜率存在，设为k且k>0，
则直线AB的方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0，⎧y=k(x+2)
⎪
=1
⎩42
10
1 + 2k
2 1 + 2k 2 1 + 2k 2
4k 所以矩形 ABCD 面积 S = ⋅ = = ≤ = 2 2 ，
+ 2k 2 2
1 + k
2 当 m ≤ 0 时， g '( x ) = - m > 0 ，函数单调递增，无极大值，不满足题意；
当 m > 0 时，当 0 < x < 时， g '( x ) = - m > 0 ，函数单调递增，
2 - 4k 2 4 1 + k 2
解得 x = ， y = ，所以 AB = ( x + 2)2 + y 2 = ，
B B B B
直线 CD 的方程为 y = kx ，即 kx - y = 0 ，所以 BC =
2k
1 + k
2 = 2k
1 + k
2
，
4 1 + k 2 2k 8k 8 8
1 + 2k
2 1 + 2k 2 1 k
所以当且仅当 k =
2
2
时，矩形 ABCD 面积 S 的最大值为 2 2 ．……………11 分
（3）若矩形 ABCD 为正方形，则 AB = BC ，
即 4 1 + k 2 2k =
1 + 2k
2 1 + k 2
，则 2k 3 - 2k 2 + k - 2 = 0 (k > 0) ，
令 f (k ) = 2k 3 - 2k 2 + k - 2(k > 0) ，
因为 f (1)= -1 < 0, f (2) = 8 > 0 ，又 f (k ) = 2k 3 - 2k 2 + k - 2(k > 0) 的图象不间断，
所以 f (k ) = 2k 3 - 2k 2 + k - 2(k > 0) 有零点，所以存在矩形 ABCD 为正方形．
……………16 分
19.（本题满分 16 分）
解：（1）函数 f ( x ) = x e x
- 1 是“YZ 函数”，理由如下：
因为 f ( x ) = x 1 - x - 1 ，则 f '( x ) =
e x e x
，
当 x < 1时， f '( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) < 0 ，
所以 f ( x ) = x 1
- 1 的极大值 f (1) = - 1 < 0 ，
e x e
故函数 f ( x ) = x e x
- 1 是“YZ 函数”． ……………4 分
1
（2）定义域为 (0, +∞) ， g '( x ) = - m ，
x
1
x 1 1
m x
11
因为 ⎨ 1 ⎩ 1 2
所以 h ( x ) 的极大值为 h( x ) = 1
3 1 2 3 所以 h( x ) = 1
3 1 2 3 3 2 3
6 3 3 3 1 3 3 2
2 c (2q + 1)a
当 x > 1 1
时， g '( x ) = - m < 0 ，函数单调递减，
m x
1 1 1
所以 g ( x ) 的极大值为 g ( ) = ln - m ⋅ = - ln m - 1 ，
m m m
1 1
由题意知 g ( ) = - ln m - 1 < 0 ，解得 m > ．
……………10 分
m
e
（3）证明： h '( x ) = x 2 + ax + b ，
因为 a ≤ -2 ， 0 < b < 1，则 ∆ = a 2 - 4b > 0 ，
所以 h '( x ) = x 2 + ax + b = 0 有两个不等实根，设为 x , x ，
1
2
⎧ x + x = -a > 0
2 x x = b > 0
，所以 x > 0, x > 0 ，不妨设 0 < x < x ，
1 2 1 2
当 0 < x < x 时， h '( x ) > 0 ，则 h ( x ) 单调递增；
1
当 x < x < x 时， h '( x ) < 0 ，则 h ( x ) 单调递减，
1 2
1 1
x 3 + ax 2 + bx - b ，
……………13 分
1 1 1
由 h '( x ) = x 2 + ax + b = 0 得 x 3 = x (- a x - b ) = - a x 2 - bx ，
1
1
1
1
1
1
1
1
因为 a ≤ -2 ， 0 < b < 1，
1 1 1 1 1
x 3 + ax 2 + bx - b = (-ax 2 - bx ) + ax 2 + bx - b
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 2 1 = ax 2 + bx - b ≤ - x 2 + bx - b 1 1 1 1 1
= - ( x - b )2 + b (b - 1) < 0 ．
3 1 3
所以函数 h ( x ) 是“YZ 函数”． ……………16 分
（其他证法相应给分）
20.（本题满分 16 分）
解：（1）设等比数列{a } 的公比为 q ，则 c = 2a
n
n
n +1
+ a = 2a q + a = (2q + 1)a ， n n n n
1
当 q = - 时， c = 0 ，数列{c } 不是等比数列，
……………2 分
n n
1 c (2q + 1)a
当 q ≠ - 时，因为 c ≠ 0 ，所以 n +1 =
n +1 = q ，所以数列{c } 是等比数 n n n
n
列．
……………5 分
12
（2）因为a恰好是一个等差数列的前n项和，设这个等差数列为{d}，公差为d，n n
因为a=d+d+L+d，所以a n12n n+1=d+d+L+d+d
12n n+1
，
两式相减得a
n+1-a=d
n n+1
，
因为a
n+2=a+b，
n n
所以b
n+1-b=(a
n n+3
-a
n+1
)-(a
n+2
-a)=(a
n n+3
-a
n+2
)-(a
n+1
-a)=d
n n+3
-d
n+1
=2d，
所以数列{b}是等差数列．……………10分n
（3）因为数列{c}是等差数列，所以c
n n+3-c
n+2
=c
n+1
-c，
n
又因为c=2a
n n+1+a，所以2a
n n+4
+a
n+3
-(2a
n+3
+a
n+2
)=2a
n+2
+a
n+1
-(2a
n+1
+a)，
n
即2(a
n+4-a
n+2
)=(a
n+3
-a
n+1
)+(a
n+2
-a)，则2b
n n+2
=b
n+1
+b，
n
又因为数列{b}是等比数列，所以b2=b b
n n+1n n+2，则b2=b⋅
n+1n
b
+b
即(b
n+1-b)(2b
n n+1
+b)=0，
n
因为数列{b}各项均为正数，所以b
n n+1=b，……………13分n
则a
n+3-a
n+1
=a
n+2
-a，
n
即a
n+3=a
n+2
+a
n+1
-a，
n
又因为数列{c}是等差数列，所以c
n n+2+c=2c
n n+1
，
即(2a
n+3+a
n+2
)+(2a
n+1
+a)=2(2a
n n+2
+a
n+1
)，
化简得2a
n+3+a=3a
n n+2
，将a
n+3
=a
n+2
+a
n+1
-a代入得
n
2(a
n+2+a
n+1
-a)+a=3a
n n n+2
，
化简得a
n+2+a=2a
n n+1
，所以数列{a}是等差数列．……………16分
n
（其他证法相应给分）
数学Ⅱ（附加题）
13
解：因为 ⎢⎡3 4⎤ ⎡a ⎤ b ⎥⎦ ⎩ a + 10 = b ⎩ b = 4
⎦ ⎣ ⎦ q ⎥⎦ 1 2⎥⎦ ⎢⎣ n q ⎥⎦ 0 1⎥⎦ ⎣ n ⎧3m + 4n = 1 ⎪n = - 1 ⎢⎣- 2 2 ⎥⎦
⎪ p + 2q = 1 ⎪ 3
⎡b ⎤ ⎢ 所以 M -1 ⎢ ⎥ = 1 ⎣ a ⎦ ⎢- ⎥ ⎡ 4 ⎤ = ⎡ 16 ⎤ . 3 ⎥⎢ ⎥ ⎢-11⎥
⎣-6⎦ ⎣ ⎦
( )
2sin α + ⎪ - 8 6 ⎭ cos α + 3 sin α - 8 ∴ 点 P 到直线的距离 d = = ，……………8 分
6 = 2k π - P
的坐标为 - , - ⎪ .
21. A ． [选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
⎣1 2⎥ ⎢5⎥ ⎡b - 2⎤ ⎧3a + 20 = b - 2 ⎧a = -6
= ⎢ ，所以 ⎨ ，解得 ⎨ ⎣ ，……………4 分
设 M -1 ⎡m p ⎤ ⎡3 4⎤ ⎡m p ⎤ ⎡1 0⎤
=⎢ ，则 ⎢ =⎢ ⎣ ⎣
，
⎧m = 1
⎪ ⎪3 p + 4q = 0 ⎪ 2 ⎡ 1 - 2⎤ 即 ⎨ ，解得 ⎨ ， 所以 M -1 = ⎢ 1 3 ⎥ ， ……………8 分
⎪m + 2n = 0 ⎪ p = -2
⎪q = ⎩ 2
⎡ 1 ⎣ 2 -2⎤ 2 ⎦
……………10 分
B.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
解：由题：直线方程即为 ρ (sin θ cos π π
+ cos θ sin ) = 4 2 ，
4 4
由 ρ cos θ = x ， ρ sin θ = y 得直线的直角坐标方程为 x + y - 8 = 0 ，……………4 分
设 P 点的坐标为 cos α , 3 sin α ，
⎛ π ⎫
⎝
12 + 12
2
当 α +
π
π 2
(k ∈ Z) ，即 α = 2k π - π (k ∈ Z) 时， d 取得最大值 5 2 ， 2 3
此时点 ⎛ 1 3 ⎫ ⎝ 2 2 ⎭
……………10 分
C.[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
证明：由柯西不等式，得
a 2
b 2
c 2
3(a + b + c) = (b + c + a)( + + )
b c a
14
= [( b )2
+ ( c )2
+ ( a )2
][(
a
≥ ( b ⋅ a （1） AE = (-2,0,2 ), DF = (0,1,2)，
AE ⋅ DF 4 10
5 ,
（2） DB = (2,2,0 ), DF = (0,1,2),设平面 BDF 的一个法向量为 n = (x, y , z )，
⎧n v ⋅ DB = 2x +2 y = 0 由 ⎨ v
,取 z = 1 ,得 n = (2,-2,1) , Q 平面 DFC 的一个法向量为 m =
(1,0,0 ) , m ⋅ n 2 2 ∴cos < m , n >= v v = = ,
b c )2
+ (
)2
+ (
)2 ]
………………5 分
b c
a
b
c
+ c ⋅
+ a ⋅ )2 = (a + b + c)2 b c a
所以 a + b + c ≤ 3 ．
………………10 分
22.（本小题满分 10 分）
π
解：因为平面 ADE ⊥ 平面 ABCD ,又 ∠ADE = 2
，
即 DE ⊥ AD ，因为 DE ⊂ 平面 A DE ，
平面 A DE I 平面ABCD = AD ， ∴ DE ⊥ 平面 ABCD ,
由四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形,
x A
z E F D C y
B
所以 DA, DC, DE 两两互相垂直．
uuur uuur uuur
以 D 为坐标原点，{DA, DC, DE } 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2 分
由 EF ⊥ 平面 ADE 且 EF = 1 ,
∴ D (0,0,0 ), A (2,0,0 ), E (0,0,2 ), C (0,2,0 ), B (2,2,0 ), F (0,1,2 ),
uuur uuur
则 uuuv uuuv
uuuv uuuv cos < AE, DF >= uuuv uuuv = = AE ⋅ DF 2 2 ⨯ 5
所以 AE 和 DF 所成角的余弦值为
10 5
. ……………5 分
uuur uuur r
uuuv uuuv ⎩n ⋅ DF = y + 2z = 0
ρ
ur
v v
vv m ⋅ n 3⨯1 3
15
2
由二面角 B - DF - C 的平面角为锐角,所以二面角 B - DF - C 的余弦值为 2 3
.……10 分
23.（本小题满分 10 分）
解：（1）1,2,3 的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1 ，
因为 S = 6 ，所以对应的 k 分别为 2,1,2,1,1,1 ，所以 T = 8 ；
……………3 分
3 P
3
（2）（i ）设 n 个不同数的某一个排列 P 为 a , a , ⋅⋅⋅ , a ，
1 2 n
因为 n = 4l + 1,l ∈ N * ，所以 S = n n (n + 1) 2
= (4l + 1)(2l + 1)为奇数，
而 2S 为偶数，所以不存在 k (k ∈ N * ,1 ≤ k ≤ n) 使得 2S = S ；
……………5 分
k k
n
(ii) 因为 2S ≤ S ，即 a + a + ⋅⋅⋅ + a ≤ a
k
n
1
2
k
k +1
+ a
k +2
+ ⋅⋅⋅ + a ，
n
又由（i ）知不存在 k (k ∈ N * ,1 ≤ k ≤ n) 使得 2S = S ，
k n
所以 a + a + ⋅⋅⋅ + a < a
1
2
k
k +1
+ a
k +2
+ ⋅⋅⋅ + a ；
n
所以满足 2S ≤ S 的最大下标 k 即满足 a + a + ⋅⋅⋅ + a < a
k
n
1
2
k
k +1
+ a
k +2
+ ⋅⋅⋅ + a ①
n
且 a + a + ⋅⋅⋅ + a + a
1
2
k
k +1
> a
k +2
+
⋅⋅⋅ + a ②， n
考虑排列 P 的对应倒序排列 P ' : a , a
n
n -1
, ⋅⋅⋅ , a ，
1
①②即 a + ⋅⋅⋅ + a
n
k +2
< a
k +1
+ a + ⋅⋅⋅ + a + a ， a + ⋅⋅⋅ + a k 2 1 n
k +2
+ a
k +1
> a + ⋅⋅⋅ + a + a ,
k 2 1
由题意知 k P '
= n -
k - 1，
则 k + k = n - 1 ；
……………8 分
P P '
又1,2,3, ⋅⋅⋅ , n ，这 n 个不同数共有 n !个不同的排列，可以构成 n!
2
个对应组合 (P , P ')，
且每组 (P , P ')中 k
P
+ k = n - 1 ，所以 T =
n!
(n -1)．
P ' n
……………10 分
16。