《菱形》精品课件
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有一组邻边
相等
矩形
菱形
《菱形》
新知探究 知识点：菱形的定义及性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
有一组邻边相等
平行四边形
菱形
注意：（1）一组邻边相等的四边形不一定是菱形.
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定.
因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具
有平行四边形的一般性质，即：
A
对边平行且相等
面积等于对角线长乘积的一半.
O
C
D
例2
如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m，∠ABC=
60〫，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求
两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面
A
积（结果保留小数点后一位）.
解：∵坛 ABCD 的形状是菱形,
B
∴
O
1
AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC=30〫.
A
∴ ∠DAO=30〫.
∵ 在Rt△AOD中， ∠DAO=30〫，AD=6,
∴ OD=3 ， BD=6.
D
O
B
C
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点
E为CD边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长
D
等于（ C ）
A．32
B．24
C．16
D．18
周长=4DC=16
A
O
B
DC=2OE=4
D
E
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ AB=2EF=4.
A
∵四边形ABCD是菱形,
∴ AB=BC=CD=AD=4, ∴菱形ABCD周长为16.
F
B
C
2.如图，已知菱形ABCD的周长为24，∠BAD=60〫，
求对角线BD的长度.
解：∵四边形ABCD是菱形，周长为24,
∴ AB=BC=CD=AD=6.
∵ AC⊥BD， ∠BAD=60〫,
性质
菱形的四条
边
边都相等
菱形的两条
对角线互相
对角
垂直，并且
线
每一条对角
线平分一组
对角.
对称
性
数学语言
图形
∵四边形ABCD是菱形,
∴ AB=BC=CD=AD.
A
O┐
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD，
∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，
∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA.
菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
2
1
在 Rt△OAB 中，AO= AB=10，BO=
2
D
C
2 − 2 = 10 3.
A
∴ 花坛的两条小路长
AC =2AO =20（m）,
B
BD=2BO=20 3 ≈ 34.64（m）.
O
D
C
花坛的面积
S菱形ABCD =4 S△OAB =
1
AC
2
∙ BD =200 3≈346.4 （m²）.
D
∵在△ABD 和△CBD 中，
A
AB=CB，BD=BD，AD=CD,
∴ △ABD≌△CBD（SSS），
B
∴∠ABD=∠CBD， ∠ADB=∠CDB.
∵AB=AD，BC=DC，AC=AC,
∴ △BAC≌△DAC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC， ∠BCA=∠DCA.
O
C
D
通过以上证明，我们得到菱形的性质：
菱形的四条边都相等.
A
数学语言：
∵四边形ABCD是菱形,
∴ AB=BC=CD=AD.
B
D
C
任意画一个菱形，依次沿对角线对折，最后能得到什
么样的图形？
通过上面的折纸，你能猜想菱形的对
角线有什么特殊的性质吗？
猜想：对角线互相垂直，并且每一
条对角线平分一组对角.
例1 如图，四边形ABCD是菱形，求证： AC⊥BD,AC平
A
B
O
C
M
F
G
D
N
E
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就
是它的对称轴.
由菱形两条对角线的长，你能求
出它的面积吗？
菱形的面积=△ABO的面积+△CBO的面积+△CDO的
面积+△DAO的面积
1
=
2
1
=
2
∙ +
∙ .
1
2
∙
1
+
2
∙
1
+
2
∙ A
B
拓展：对角线互相垂直的任意四边形的
B
D
C
新知探究 跟踪训练
1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ D ）.
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.邻边互相垂直
D.对角线互相垂直
注意熟记菱形和矩形性质的异同
2.菱形ABCD的两对角线AC，BD的长为8，6，
D
则其边长为多少?
解：∵四边形ABCD是菱形，
O
A
∴ AC，BD互相垂直平分.
B
对角相等
D
对角线互相平分
C
除此之外，菱形还有特殊的性质吗？
猜想：四条边相等，即AB=BC=CD=AD.
如图，菱形ABCD中， AB=BC ，
求证：AB=BC=CD=AD.
A
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD， AD=BC.
∵ AB=BC,
∴ AB=BC=CD=AD.
B
D
C
通过以上证明，我们得到菱形的性质：
更多同类练习详见《教材
帮》RJ九下18.1作业帮.
E
C
课堂小结
概念
菱
形
有一组邻边相等的平
行四边形是菱形.
①四条边都相等；
②对角线互相垂直，并且每
特殊性质
一条对角线平分一组对角；
③轴对称图形.
四边形、平行四边形、矩形（或菱形）之间可以
通过条件变化转换.
两组对边
有一个角
是直角
分别平行
四边形
平行四边形
分∠BAD,∠BCD,BD平分∠ABC,∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形 ,
B
∴ AB=BC=CD=AD，OA=OC，OB=OD.
∵AB=AD，OB=OD，OA=OA,
A
O
C
∴ △ABO≌△ADO（SSS）， ∴∠AOB=∠AOD.
∵ ∠AOB+∠AOD=180〫,
∴ ∠AOB=∠AOD=90〫，即AC⊥BD.
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角
线平分一组对角.
数学语言：
A
∵四边形ABCD是菱形,
∴ AC⊥BD，
B
∠BAC=∠DAC，∠ACD=∠ACB，
∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB.
O┐
C
D
如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我
们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三
角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
B
1
1
∵ AC⊥BD， = = 4， = = 3,
2
2
∴在Rt△AOB中， = 2 + 2 = 5,
∴菱形ABCD的边长为5.
C
随堂练习
1.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，
若EF=2，则菱形ABCD的周长为多少?
解： ∵ E，F分别是AD，BD的中点，
相等
矩形
菱形
《菱形》
新知探究 知识点：菱形的定义及性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
有一组邻边相等
平行四边形
菱形
注意：（1）一组邻边相等的四边形不一定是菱形.
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定.
因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具
有平行四边形的一般性质，即：
A
对边平行且相等
面积等于对角线长乘积的一半.
O
C
D
例2
如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m，∠ABC=
60〫，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求
两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面
A
积（结果保留小数点后一位）.
解：∵坛 ABCD 的形状是菱形,
B
∴
O
1
AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC=30〫.
A
∴ ∠DAO=30〫.
∵ 在Rt△AOD中， ∠DAO=30〫，AD=6,
∴ OD=3 ， BD=6.
D
O
B
C
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点
E为CD边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长
D
等于（ C ）
A．32
B．24
C．16
D．18
周长=4DC=16
A
O
B
DC=2OE=4
D
E
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ AB=2EF=4.
A
∵四边形ABCD是菱形,
∴ AB=BC=CD=AD=4, ∴菱形ABCD周长为16.
F
B
C
2.如图，已知菱形ABCD的周长为24，∠BAD=60〫，
求对角线BD的长度.
解：∵四边形ABCD是菱形，周长为24,
∴ AB=BC=CD=AD=6.
∵ AC⊥BD， ∠BAD=60〫,
性质
菱形的四条
边
边都相等
菱形的两条
对角线互相
对角
垂直，并且
线
每一条对角
线平分一组
对角.
对称
性
数学语言
图形
∵四边形ABCD是菱形,
∴ AB=BC=CD=AD.
A
O┐
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD，
∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，
∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA.
菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
2
1
在 Rt△OAB 中，AO= AB=10，BO=
2
D
C
2 − 2 = 10 3.
A
∴ 花坛的两条小路长
AC =2AO =20（m）,
B
BD=2BO=20 3 ≈ 34.64（m）.
O
D
C
花坛的面积
S菱形ABCD =4 S△OAB =
1
AC
2
∙ BD =200 3≈346.4 （m²）.
D
∵在△ABD 和△CBD 中，
A
AB=CB，BD=BD，AD=CD,
∴ △ABD≌△CBD（SSS），
B
∴∠ABD=∠CBD， ∠ADB=∠CDB.
∵AB=AD，BC=DC，AC=AC,
∴ △BAC≌△DAC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC， ∠BCA=∠DCA.
O
C
D
通过以上证明，我们得到菱形的性质：
菱形的四条边都相等.
A
数学语言：
∵四边形ABCD是菱形,
∴ AB=BC=CD=AD.
B
D
C
任意画一个菱形，依次沿对角线对折，最后能得到什
么样的图形？
通过上面的折纸，你能猜想菱形的对
角线有什么特殊的性质吗？
猜想：对角线互相垂直，并且每一
条对角线平分一组对角.
例1 如图，四边形ABCD是菱形，求证： AC⊥BD,AC平
A
B
O
C
M
F
G
D
N
E
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就
是它的对称轴.
由菱形两条对角线的长，你能求
出它的面积吗？
菱形的面积=△ABO的面积+△CBO的面积+△CDO的
面积+△DAO的面积
1
=
2
1
=
2
∙ +
∙ .
1
2
∙
1
+
2
∙
1
+
2
∙ A
B
拓展：对角线互相垂直的任意四边形的
B
D
C
新知探究 跟踪训练
1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ D ）.
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.邻边互相垂直
D.对角线互相垂直
注意熟记菱形和矩形性质的异同
2.菱形ABCD的两对角线AC，BD的长为8，6，
D
则其边长为多少?
解：∵四边形ABCD是菱形，
O
A
∴ AC，BD互相垂直平分.
B
对角相等
D
对角线互相平分
C
除此之外，菱形还有特殊的性质吗？
猜想：四条边相等，即AB=BC=CD=AD.
如图，菱形ABCD中， AB=BC ，
求证：AB=BC=CD=AD.
A
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD， AD=BC.
∵ AB=BC,
∴ AB=BC=CD=AD.
B
D
C
通过以上证明，我们得到菱形的性质：
更多同类练习详见《教材
帮》RJ九下18.1作业帮.
E
C
课堂小结
概念
菱
形
有一组邻边相等的平
行四边形是菱形.
①四条边都相等；
②对角线互相垂直，并且每
特殊性质
一条对角线平分一组对角；
③轴对称图形.
四边形、平行四边形、矩形（或菱形）之间可以
通过条件变化转换.
两组对边
有一个角
是直角
分别平行
四边形
平行四边形
分∠BAD,∠BCD,BD平分∠ABC,∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形 ,
B
∴ AB=BC=CD=AD，OA=OC，OB=OD.
∵AB=AD，OB=OD，OA=OA,
A
O
C
∴ △ABO≌△ADO（SSS）， ∴∠AOB=∠AOD.
∵ ∠AOB+∠AOD=180〫,
∴ ∠AOB=∠AOD=90〫，即AC⊥BD.
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角
线平分一组对角.
数学语言：
A
∵四边形ABCD是菱形,
∴ AC⊥BD，
B
∠BAC=∠DAC，∠ACD=∠ACB，
∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB.
O┐
C
D
如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我
们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三
角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
B
1
1
∵ AC⊥BD， = = 4， = = 3,
2
2
∴在Rt△AOB中， = 2 + 2 = 5,
∴菱形ABCD的边长为5.
C
随堂练习
1.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，
若EF=2，则菱形ABCD的周长为多少?
解： ∵ E，F分别是AD，BD的中点，