【优质文档】高考数学抽象函数的周期与对称轴

欢迎下载
0 f ( x2 ) 1 f ( x1 )
∴ f (x2 ) f ( x1 )
∴ f (x) R 上递减
【模拟试题】
一 . 选择
1. 已知 f (x) 满足 f ( x 3)
解：（ 1）（ 2）（ 3）
[例 5] 已知 f ( x) 满足 f ( x 2) f (x 2) ， f (4 x) f (4 x) ，当 6 x 2 时，
2
f ( x) x bx c 且 f ( 4)
大小关系？
b
c
13 ，若 m
f( ) n 3，
f
() 2
，
p
f (11) 求 m 、 n 、 p 的
有 f (0) f ( x) f ( x) 而 f (0) 1
1
f (x)
1
∴
f ( x)
（ 2）设 x1 x2 则 x2 x1 0
∴ 0 f (x2 x1 ) 1
令 m x1 ， m n x2 则 n x2 x1 代入条件式得 f ( x2 ) f ( x1) f ( x2 x1 ) 即
学习必备
∴ f [ x (a b)] f [ x (b a)] ∴ T 2 b a
4. 若 f (a x)
f (b x) 则 f (x) 图象的对称轴为 x
ab 2
证：要证原结论成立，只需证
ab
ab
f(
x) f (
x)
2
2
ba
x
令
2
x
代入
f (a
x)
f (b x)
ab
ab
f(
x) f (
x)
则
2
2
学习必备
欢迎下载
5. 若 f (a x)
证：
ab
f (b
x) 则 f ( x) 的图象，以 (
2
, 0)
为对称中心。
方法一：要证原结论成立只需证
ab
f(
x)
2
ab
f(
x)
2
x
令
x
ba 2 代入 f (a
x)
f (b x)
ab
f(
x)
则
2
ab
f(
x)
2
方法二：设 y f ( x) 它的图象为 C
ab
P (x0 , y0 )
学习必备
欢迎下载
解： 由已知得 T 4 ，对称轴 x 4 ∴ x 4 也为一条对称轴
b
4c 64
∴2
4
∴ b 8 由 f ( 4) 13 ∴
4
13 ∴c 3
8
3
m
∴
f( ) n 3，
f
() 2
，
p
f (11)
f (3)
∴n m p
[例 6] 定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数，若 f (x) 的最小正周期是 ，且当
（ 4）若 f ( x) 为单调增函数，则 y
的为？ 解：（ 2）（ 3）
f (a x ) （ a 0 且 a 1 ）也为单调增函数，其中正确
[例 2] 若函数 f ( x) ( x a)3 x R 有 f (1 x)
解：
f (1 x) 求 f (2) f ( 2) 。
学习必备
欢迎下载
x R ， f (1 x) f (1 x) 知 f (x) 的图象关于 (1 , 0) 对称 而 f (x) ( x a)3 的对称中心 P( a , 0) ∴ a 1 ∴ f ( x) ( x 1)3 则 f ( 2) f ( 2) 1 ( 3) 3 26
（ 1）在同一坐标系下，函数 y f (1 x) 与 y f (1 x) 的图象关于直线 x 1对称。
（ 2）若 f (1 x) f (1 x) 且 f (2 x) f (2 x) 均成立，则 f ( x) 为偶函数。
（ 3）若 f ( x 1) f (x 1) 恒成立，则 y f ( x) 为周期函数。
（ 1）求证： f (0) 1 且当 x 0 时， f (x) 1
（ 2）求证： f (x) 在 R 上递减。
解：
（ 1）在 f (m n) f (m) f ( n) 中，令 m 1， n 0 得 f (1) f (1) f (0)
∵ 0 f (1) 1 ∴ f ( 0) 1
设 x 0 ，则 x 0 令 m x ， n x 代入条件式
学习必备
欢迎下载
抽象函数的周期与对称轴
一 . 教学内容 抽象函数的周期与对称轴
二 . 教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
三 . 具体内容
1. 若 f (x) f ( x T ) 则 f (x) 的周期为 T。
2. 若 f (x a) f (b x) 则 f ( x) 的周期为 T b a
5
x
[0 ,
] 2 时，
f
( x)
sin
x求
f
( 3
)
的值。
f (5 ) f (2
解： 3
3
) f ( 2 ) f ( ) f ( ) sin
3
3
3
3
32
[例 7] 设 y f ( x) 定义在 R 上， m，n R 有 f (m n) f (m) f (n) 且当 x 0时， 0 f ( x) 1
C 则 P 关于点 ( 2
, 0)
的对称点
P (a
b
x0 ,
y0 )
f (a b x0 ) f [ a (b x0 )] f [b (b x0 )] f ( x0 )
∵ f ( x0 ) y0
∴ f (a b x0 ) y0
∴P C
【典型例题】 [例 1] 对于 y f (x) ， x R 有下列命题。
证：令 x x a
∴ f ( x) f ( x b a)
3. f (x a) f ( x b) 则 f ( x) 的周期 T 2 b a 证：令 x x a ∴ f ( x) f (x b a) ①
令 x x b ∴ f ( x a b) f (x) ②
由①②得： f [ x (a b)] f [ x (b a)]
[例 4] 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数且满足 f (x) f ( x 1) 1 ，当 x [0 , 1] 时有 f ( x) x 2
则
（ 1） f ( x) 是周期函数且周期为 2
（ 2）当 x [1 , 2] 时， f ( x) 2x x2
3
f ( 2004 , 5)
（ 3）
4 其中正确的是？
[例 3] 设 f (x) 是定义在 R 上的函数， x R 均有 f ( x) f ( x 2) 0 当 1 x 1 时 f ( x) 2x 1，求当 1 x 3 时， f ( x) 的解析式。
解： 由 x R 有 f ( x) f (x 2) 得 T 4 设 x (1 , 3] 则 ( x 2) ( 1 , 1] f (x 2) f ( x 2 4) f ( x 2) f ( x) ∴ f ( x) f ( x 2) [ 2(x 2) 1] 2x 5 ∴ 1 x 3时 f ( x) 2x 5