北京市昌平区2015届高三下学期第三次模拟数学(理)试卷 Word版含解析

北京市昌平区2015届高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．已知=b+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b等于( )
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin2x的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
3．如图是两个全等的正三角形，给出下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中所有真命题的序号是( )
A．①②B．②③C．①③D．①②③
4．由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为( )
A．1 B．C．D．
5．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．阅读下面程序框图，为使输出的数据为11，则①处应填的数字可以为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A．m＜2 B．2＜m≤3 C．2≤m≤3 D．m＞3
8．如图，直线MN过△ABC的重心G（重心是三角形三条中线的交点），设=，=，且=m，=n（其中m＞0，n＞0），则mn的最小值是( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9．二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是__________．
10．（几何证明选做题）
如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=__________．
11．设x∈{﹣1，1}，y∈{﹣2，0，2}，则以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内的概率为__________．
12．已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m=__________，该双曲线的焦点到其渐近线的距离为__________．
13．已知函数f（x）=ex（sinx+a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
14．已知映射f：P（m，n）→P′（，）（m≥0，n≥0）．设点A（2，6），B（4，4），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M是线段AB的中点时，点M′的坐标是__________；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2．
（Ⅰ）求tan（C﹣）的值；
（Ⅱ）若c=，求S△ABC的最大值．
16．在一台车床上生产某种零件，此零件的月产量与零件的市场价格具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：
表1：零件某年的每月产量（个/月）
月份第一季度第二季度第三季度第四季度
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
产量500 400 625 625 500 500 500 500 500 400 400 625
表2：零件市场价格（元/个）
零件市场价格8 10
概率0.4 0.6
（Ⅰ）请你根据表1中所给的数据，判断该零件哪个季度的月产量方差最大；（结论不要求证明）
（Ⅱ）随机抽取该种零件的一个月的月产量记为X，求X的分布列；
（Ⅲ）随机抽取该种零件的一个月的月产量，设Y表示该种零件的月产值，求Y的分布列及期望．
17．如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，
∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形．
（Ⅰ）求证：CF∥平面AED；
（Ⅱ）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段EC上是否存在点P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为A，点M（1，0）为线段OA的中点，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线交椭圆C于不同的两点E，F，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠ENM=∠FNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
19．已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣2lnx（a≥0）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求实数a的最大值．
20．已知数列{an}满足a1=4，a2=2，an+2=an+2[1﹣（﹣1）n]，n∈N*，k∈N*．
（Ⅰ）求a3，a4，并直接写出an；
（Ⅱ）设Sk=a1+a3+…+a2k﹣1，Tk=a2+a4+…+a2k，分别求Sk，Tk关于k的表达式；
（Ⅲ）设Wk=，求使Wk＞2的所有k的值，并说明理由．
北京市昌平区2015届高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．已知=b+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b等于( )
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
考点：复数相等的充要条件．
专题：数系的扩充和复数．
分析：首先由已知利用复数相等得到a，b的值，然后计算所求．
解答：解：因为=b+i即a+3i=﹣1+bi，所以a=﹣1，b=3，所以a+b=2；
故选C．
点评：本题考查了复数的运算以及复数相等的性质；属于基础题目．
2．要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin2x的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据三角函数图象之间的关系进行求解即可．
解答：解：f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）﹣），
即由函数g（x）=sin2x的图象向左平移个单位即可得到f（x）=sin（2x+），
故选：A
点评：本题主要考查三角函数图象之间的关系，比较基础．
3．如图是两个全等的正三角形，给出下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中所有真命题的序号是( )
A．①②B．②③C．①③D．①②③
考点：简单空间图形的三视图．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据正四棱锥，三棱锥，圆锥的三视图形状，举出满足条件的实例，分析三个命题的真假，可得答案．
解答：解：正四棱锥的正视图、侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为棱锥的侧高，底为底面边长，故①正确；
将①中正四棱锥沿两条相对的侧棱分成两个三棱锥，则三棱锥的正视图、侧视图跟①完全一致，故②正确；
圆锥的正视图、侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为圆锥的母线，底为底面直径，故③正确；
故所有真命题的序号是①②③，
故选：D
点评：本题考查的知识点是简单几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图形状是解答的关键．
4．由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为( )
A．1 B．C．D．
考点：定积分在求面积中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可
解答：解：由题意封闭图形如图，
得到积分上限为1，积分下限为0
直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx
而∫01（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=；
∴曲边梯形的面积是；
故选：D．
点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数
5．设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：由向量共线可得x的值，再由集合的包含关系可得答案．
解答：解：当时，有2×4﹣（x﹣1）（x+1）=0，解得x=±3；
因为集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，
故“x=3”是“”的充分不必要条件．
故选A
点评：本题考查充要条件的判断，涉及平面向量共线的坐标表示，属基础题．
6．阅读下面程序框图，为使输出的数据为11，则①处应填的数字可以为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=11，n=5时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为11，则①处应填的数字可以为：5．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
S=1，n=1
满足条件，S=1﹣2=﹣1，n=2
满足条件，S=﹣1+4=3，n=3
满足条件，S=3﹣8=﹣5，n=4
满足条件，S=﹣5+16=11，n=5
由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为11．
则①处应填的数字可以为：5．
故选：B．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．
7．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A．m＜2 B．2＜m≤3 C．2≤m≤3 D．m＞3
考点：分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意知g（x）在[m，+∞）上有一个零点，在（﹣∞，m）上有两个零点；从而由一次函数与二次函数的性质判断即可．
解答：解：∵函数g（x）=f（x）﹣x恰有三个不同的零点，
∴g（x）在[m，+∞）上有一个零点，在（﹣∞，m）上有两个零点；
即有在[m，+∞）上有3≥m，在（﹣∞，m）上有x2+5x﹣12=x，解得x=﹣6或2，
即有m＞2．
则有2＜m≤3．
故选：B．
点评：本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，属于中档题．
8．如图，直线MN过△ABC的重心G（重心是三角形三条中线的交点），设=，=，且=m，=n（其中m＞0，n＞0），则mn的最小值是( )
A．B．C．D．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：由G为三角形的重心得到=（），再结合=m，=n（其中m＞0，n＞0），根据M，G，N 三点共线，易得到m，n的关系式，即可得到结论
解答：解：根据题意G为三角形的重心，
∴=（），
由于==（﹣m）+，=n=，
因为G，M，N三点共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得，
即，
消去λ得m+n﹣3mn=0，m，n＞0
∴m+n=3mn≥2，所以mn≥．所以mn的最小值为；
故选：C．
点评：本题主要考查了三角形重心的性质，以及向量的基本定理和向量在几何中的应用，属于中档题
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9．二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是15．
考点：二项式系数的性质．
专题：二项式定理．
分析：写出二项展开式的通项，取r=2即可求得含x4y2的项的系数．
解答：解：由，令r=2，
可得二项式（x+y）6的展开式中，含x4y2的项的系数是．
故答案为：15．
点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
10．（几何证明选做题）
如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=3．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：压轴题；直线与圆．
分析：连接OC，由PC是⊙O的切线，可得OC⊥PC，于是，即可解出．
解答：解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，
又∵∠CPA=30°，R=3，
∴，
∴．
故答案为．
点评：熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键．
11．设x∈{﹣1，1}，y∈{﹣2，0，2}，则以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内的概率为．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；二元一次不等式（组）与平面区域．
专题：概率与统计．
分析：根据古典概型的概率公式进行计算即可．
解答：解：∵x∈{﹣1，1}，y∈{﹣2，0，2}，
∴共有2×3=6个坐标，
不等式等价为x≥1﹣2y，
当y=﹣2时，x≥5，此时没有坐标，
当y=0时，x≥1，此时x=1，
当y=2时，x≥1﹣4=﹣3，此时x=1，﹣1，
故以（x，y）为坐标的点落在不等式x+2y≥1所表示的平面区域内坐标为（1，0），（1，2），（﹣1，2）共3个，
则对应的概率P==故答案为：
点评：本题主要考查古典概型的概率的计算，根据条件求出满足条件的坐标个数是解决本题的关键．
12．已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m=1，该双曲线的焦点到其渐近线的距离为1．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求得抛物线的焦点，可得双曲线的c=2，由双曲线的a，b，c的关系，可得m=1，由双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式计算即可得到．
解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），
由题意可得c=2，即3+m=4，
解得m=1，
则双曲线﹣y2=1的右焦点（2，0）到渐近线y=±x的距离为
d==1，
故答案为：1；1．
点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．
13．已知函数f（x）=ex（sinx+a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；导数的综合应用．
分析：求函数的导数，要使函数单调递增，则f′（x）≥0立，然后求出实数a的取值范围．
解答：解：因为f（x）=ex（sinx+a），所以f′（x）=ex（sinx+a+cosx）．
要使函数单调递增，则f′（x）≥0成立．
即sinx+a+cosx≥0恒成立．
所以a≥﹣sinx﹣cosx，
因为﹣sinx﹣cosx=﹣sin（x+）
所以﹣≤﹣sinx﹣cosx≤，
所以，
故答案为：．
点评：本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性，注意当函数单调递增时，f'（x）≥0恒成立．
14．已知映射f：P（m，n）→P′（，）（m≥0，n≥0）．设点A（2，6），B（4，4），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M是线段AB的中点时，点M′的坐标是（，）；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为．
考点：进行简单的合情推理．
专题：推理和证明．
分析：（1）由中点坐标公式得到M（3，5），由已知得到点M′的坐标是（，）．
（2）求点M′的轨迹方程，根据范围确定路径的长度．
解答：解：（1）∵点M是线段AB的中点，由中点坐标公式，
∴M（3，5），由已知映射f：P（m，n）→P′（，）（m≥0，n≥0），
∴点M′的坐标是（，）．
（2）设M′（x，y），则M（x2，y2），线段AB方程为：x+y=8（2≤x≤4）
∴对应点M′为x2+y2=8（≤x≤2，2≤y≤），
∴路径为一段圆弧，圆心角为15°，
∴点M的对应点M′所经过的路线长度为8π×=．
点评：主要考查轨迹问题，曲线与方程的运用，学生的灵活应用能力与计算能力．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2．
（Ⅰ）求tan（C﹣）的值；
（Ⅱ）若c=，求S△ABC的最大值．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，确定出C的度数，代入tan（C﹣）计算即可求出值；
（Ⅱ）把c的值代入已知等式变形，利用基本不等式求出ab的最大值，再由sinC的值，即可求出三角形ABC面积的最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵a2+b2=ab+c2，a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC==，
∵C为△ABC内角，
∴C=，
则tan（C﹣）=tan（﹣）==2﹣；
（Ⅱ）由ab+3=a2+b2≥2ab，得ab≤3，
∵S△ABC=absinC=ab，
∴S△ABC≤，
当且仅当a=b=时“=”成立，
则S△ABC的最大值是．
点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
16．在一台车床上生产某种零件，此零件的月产量与零件的市场价格具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：
表1：零件某年的每月产量（个/月）
月份第一季度第二季度第三季度第四季度
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
产量500 400 625 625 500 500 500 500 500 400 400 625
表2：零件市场价格（元/个）
零件市场价格8 10
概率0.4 0.6
（Ⅰ）请你根据表1中所给的数据，判断该零件哪个季度的月产量方差最大；（结论不要求证明）
（Ⅱ）随机抽取该种零件的一个月的月产量记为X，求X的分布列；
（Ⅲ）随机抽取该种零件的一个月的月产量，设Y表示该种零件的月产值，求Y的分布列及期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（I）运用给出的数据的差异可判断得出不稳定问题，可判断方差的大小问题．
（II） X取值为X=400，500，625．运用表格数据可得出P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25．
可列出分布列．
（III）确定随机变量Y的所有可能取值为Y=3200，4000，5000，6250．
运用表的概率知识和则P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25．
求解得出P（Y=3200）=0.1，（Y=4000）=0.35，P（Y=5000）=0.4，P（Y=6250）=0.15
列出分布列，求解数学期望．
解答：解：（I）第四季度的月产量方差最大．
（II） X取值为X=400，500，625．
则P（X=400）=0.25；P（X=500）=0.5；P（X=625）=0.25．
所以随机变量X的分布列为
X 400 500 625
P 0.25 0.5 0.25
（III）因为400×8=3200，400×10=4000，500×8=4000，500×10=5000，625×8=5000，625×10=6250，
所以随机变量Y的所有可能取值为Y=3200，4000，5000，6250．
所以P（Y=3200）=0.4×0.25=0.1，
P（Y=4000）=0.6×0.25+0.4×0.5=0.35，
P（Y=5000）=0.6×0.5+0.4×0.25=0.4，
P（Y=6250）=0.6×0.25=0.15
所以随机变量Y的分布列为
Y 3200 4000 5000 6250
P 0.1 0.35 0.4 0.15
其期望为EY=3200×0.1+4000×0.35+5000×0.4+6250×0.15=4657.5．
点评：题综合考查了概率在实际问题中的应用，关键是准确求解概率，判断概率的类型，准确求解即可，熟练运用公式计算求解，仔细阅读题意．
17．如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，
∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形．
（Ⅰ）求证：CF∥平面AED；
（Ⅱ）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段EC上是否存在点P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理，可得：BC∥平面ADE，BF∥平面ADE，进而由面面平等的判定定理，可得平面BCF∥平面AED，进而根据面面平行的性质得到：CF∥平面AED；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出直线AF的方向向量与平面ECF的法向量，代入向量夹角公式，可得直线AF与平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）设P（x，y，z），，根据AP⊥平面CEF，则平面CEF法向量为满足：，根据无满足条件的λ值，可得不存在这样的P点．
解答：证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，
所以BC∥AD．
又BC?平面ADE，AD?平面ADE，
所以BC∥平面ADE..…
又因为BDEF是正方形，
所以BF∥DE．
因为BF?平面ADE，DE?平面ADE，
所以BF∥平面ADE…
因为BC?平面BCF，BF?平面BCF，BC∩BF=B，
所以平面BCF∥平面AED…
因为CF?平面BCF，
所以CF∥平面AED．…．…..
解：（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，
所以△BCD为等边三角形…
取BD的中点O，
所以CO⊥BD，
取EF的中点G，连结OG，则OG∥DE
因为DE⊥平面ABCD，
所以OG⊥平面ABCD..…
如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．
因为AB=2．
所以…
所以，，．
设平面CEF法向量为=（x，y，z），
则有
得，
令y=1．则…
设AF与平面ECF所成的角为θ，则，
所以直线AF与平面ECF所成角的正弦值为．…．….. （Ⅲ）不存在…
，
设P（x，y，z），，
由，
得…
因为平面CEF的法向量为．
若AP⊥平面CEF，则，即，..…
得
方程组无解，不符合题意．
综上，不存在λ使得AP⊥平面CEF．…．…..
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量法求线面夹角，难度中档．
18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为A，点M（1，0）为线段OA的中点，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线交椭圆C于不同的两点E，F，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠ENM=∠FNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）通过点M（1，0）为线段OA的中点可知b=2，利用，a2﹣b2=c2，计算即得结论；
（Ⅱ）通过设存在点N（x0，0）满足题设条件，分EF与x轴不垂直与不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得b=2，
又因为，a2﹣b2=c2，
所以，
故所求椭圆C的方程为；
（Ⅱ）结论：在x轴上存在点N（4，0），使得∠ENM=∠FNM．
理由如下：
假设存在点N（x0，0）满足题设条件，
（1）当EF与x轴不垂直时，设EF的方程为y=k（x﹣1）．
则消去y，整理得：（2+k2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0．
可知△＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2），
则，，=，
（x1﹣1）（x2﹣x0）+（x2﹣1）（x1﹣x0）=2x1x2﹣（1+x0）（x1+x2）+2x0=﹣+2x0，
若∠ENM=∠FNM，则kEN+kFN=0，，
整理得：k（x0﹣4）=0，因为k∈R，所以x0=4；
（2）当EF⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠ENM=∠FNM，满足题意；
综上，在x轴上存在点N（4，0），使得∠ENM=∠FNM．
点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣2lnx（a≥0）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求实数a的最大值．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）当a=1时，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）分类讨论，确定函数的单调区间，根据函数f（x）在区间（0，1）上无零点，即可求实数a的最大值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=x﹣1﹣2lnx，定义域（0，+∞）…
，..…
令f'（x）＞0得x＞2，..…
令f'（x）＜0得0＜x＜2..…
因此，函数f （x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；…
（Ⅱ）①当a=0时，f（x）=﹣2lnx，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，且f（x）＞f（1）=0，
所以a=0时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；…
②当a＞0时，令f'（x）=0得，
令f'（x）＞0得，令f'（x）＜0得，
因此，函数f （x）的单调递增区间是，单调递减区间是…
（ⅰ）当即0＜a≤2时，
函数f （x）的单调递减区间是（0，1），所以f（x）＞f（1）=0，
所以0＜a≤2时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；…
（ii）当即a＞2时，
函数f （x）的单调递减区间是，单调递增区间是．
所以且，
所以a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上有零点，不成立，…
所以0≤a≤2，
综上实数a的最大值是2．…
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，正确求导是关键． 20．已知数列{an}满足a1=4，a2=2，an+2=an+2[1﹣（﹣1）n]，n∈N*，k∈N*．
（Ⅰ）求a3，a4，并直接写出an；
（Ⅱ）设Sk=a1+a3+…+a2k﹣1，Tk=a2+a4+…+a2k，分别求Sk，Tk关于k的表达式；
（Ⅲ）设Wk=，求使Wk＞2的所有k的值，并说明理由．
考点：数列递推式；数列的求和．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求a3，a4，并直接写出an；
（Ⅱ）根据数列求和的关系进行求解即可求Sk，Tk关于k的表达式；
（Ⅲ）求出Wk的表达式，解不等式即可．
解答：解：（I）因为a1=4，a2=2，所以a3=a1+4=8，..…a4=2a2=4，..…
…
（II）当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=a2k﹣1+4，
所以{a2k﹣1}是以4为首项，4为公差的等差数列，则a2k﹣1=4k，..…
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=2a2k，
故{a2k}是以2为首项，2为公比的等比数列，则，..…
Sk=a1+a3+…+a2k﹣1=4+8+…+4k=2k（k+1），
，..…
（III），
于是，…
下面证明：当k≥5时，Wk＜2．
事实上，当k≥5时，，
即Wk+1＜Wk，又W5＜2，
所以k≥5时，Wk＜2…
故满足Wk＞2的k的值为2，3
点评：本题主要考查数列递推公式的应用，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．。