建立空间直角坐标系的几种方法

建立空间直角坐标系的几种方法
坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略．
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．
解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０），
∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，
，． 设1BC 与CD 所成的角为θ，
则11317cos 17
BC CD
BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC
1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知AB =BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3
π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．
解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．
由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ，∠BCC 1＝3
π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1
C 1中，有B （０，０，０）、A （０，
）、B 1
（０，2，０）、1022c
⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，、13022C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，，． 设02E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，且1322a -<<，
由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，
即32022a a ⎛⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，，
233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即12a =或32a =（舍去）．故102E ⎫⎪⎪⎝⎭
，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥
，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与
EA 的夹角．
因11(00B A BA ==，122EA ⎛=-- ⎝ 故
11
112cos 3
EA B A EA B A θ==，即tan 2θ=
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．
（1）证明AB ⊥平面VAD ；
（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．
解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．
设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1
，2，０）、
V ，∴AB ＝（０，2，０），VA ＝（1．
由(020)(103)0AB VA =-=，
，，，，得 AB ⊥VA ．
又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直，∴ AB ⊥平面VAD ；
（2）设E 为DV
的中点，则1022E ⎛- ⎝⎭，，
∴3
022EA ⎛=- ⎝⎭，，
，322
2EB ⎛=- ⎝⎭，，，(10DV =．
∴332(103)022EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，，，，， ∴EB ⊥DV ．
又EA ⊥DV ，因此∠AEB 是所求二面角的平面角．
∴21cos 7
EA EB EA EB EA EB ==，．
故所求二面角的余弦值为7
． 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．
（1）求∠DEB 的余弦值；
（2）若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．
解析：（1）如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，则由AB ＝2a ，OV ＝h ，有B （a ，a ，０）、C （-a ，a ，０）、D （-a ，-a ，０）、V （0，0，
h ）、222a a h E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，，． ∴22226cos 10BE DE
a h BE DE a h BE DE -+==+，， 即22
226cos 10a h DEB a h -+=+∠； （2）因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ，
所以0BE VC =，即3()0222a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭
，，，，，
∴22
230222a h a --=，∴h =． 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+，，即1cos 3
DEB =-∠．
引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．
例5已知两个正四棱锥P －ABCD 与
Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4．
（1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；
（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角；
（3）求点P 到平面QAD 的距离．
简解：（1）略；
（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(022)AQ PB =--=-，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB <>=
=，．
所求异面直线所成的角是1arccos 3． （3）由（2）知，点(0(22220)(004)D AD PQ -=--=-，
，，，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=
⎪⎨=⎪⎩，，n n 得00z x y
+=+=⎪
⎩，，取x ＝1，得
(11--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n
n ．
点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第
（3）问也可用“等体积法”求距离．。