黑龙江省大庆实验中学高二数学下学期期中试题 理

黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题
理
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数Z 满足2i Z i ⋅=-，则在复平面内Z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象
限
2．用圆的下列性质，类比球的有关性质：
圆：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦； ②与圆心距离相等的两弦长相等； ③圆的周长为2C r π=； ④圆的面积为2S r π=．
球：①球心与截面圆（不过球心）的圆心的连线垂直于截面； ②与球心的距离相等的两
个截面的面积相等； ③球的表面积为24S r π=； ④球的体积为34
3V r π=．
其中，类比所得结论正确的有（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①②③④
D ．①③④ 3．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x 与相应的生产能耗
y 的几组对应数据：
根据上表可得回归方程9.49.1y x ∧
=+，那么表中m 的值为（ ）
A ．27.9
B ．25.5
C ．26.9
D ．26 4．在 6
2x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的二项展开式中，常数项等于（ ）
A ．﹣160
B ．160
C ．﹣150
D ．150
5．若32
8m m A C =，则m 等于（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
6．已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若()()260.15P P ξξ<=>=，则()24P ξ≤<等于（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7
7．某班有1
4
的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀
的学生数ξ服从二项分布
1
5,
4
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则()
Eξ-的值为（）
A．1
4
B．
1
4
- C．
5
4
D．
5
4
-
8．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为
2 3和
3
4
，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为
（）
A．3
4
B．
2
3
C．
5
7
D．
5
12
9．九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为
4
15
，刮风的概率为
2
15
，既刮风又下雨的
概率为
1
10
，设A为下雨，B为刮风，那么()
P A B=（）
A．1
2
B．
3
4
C．
2
5
D．
3
8
10．在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）
A．34种 B．48种 C．96种D．144种11．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种12．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中恰有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知复数()Z a i a R =+∈，若4Z Z +=，则Z 的共轭复数．．．．
是 14．从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有_______________个. 15
．已知
=，则推理得a b +=
16．记()()()7
2
7
017211x a a x a x -=+++++L ，则0126a a a a ++++L 的值__________.
三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知曲线1C 的普通方程为()()2
2
4525x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．
（Ⅰ）把2C 的方程化成普通方程；
（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ>≤<．
18．(本小题满分12分)在数列{}n a 中，已知*112,,31
n
n n a a a n N a +==
∈+ （Ⅰ）计算234,,a a a 的值，并猜想出{}n a 的通项公式； （Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．
19．(本小题满分12分)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． （Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期
望．
20．(本小题满分12分)
在n
的展开式中，前三项的系数成等差数列．
（Ⅰ）求n 的值；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数和（用数字作答）；
21．(本小题满分12分)近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令．某市为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了一小区住户进行调查，各户人均月收入（单位：千元）的频数分布及赞成楼市限购令的户数如表：
若将小区人均月收入不低于7.5千元的住户称为“高收入户”，人均月收入低于7.5千元的住户称为“非高收入户”
（Ⅰ）求“非高收入户”在本次抽样调查中的所占比例；
（Ⅱ）现从月收入在[1.5，3）的住户中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；
（Ⅲ）根据已知条件完成如图所给的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关． 附：临界值表
参考公式：2
2
(),()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++．
22．(本小题满分12分)设函数()ln 1
a
f x x x =+- ()0,ln 20.69a >≈ （Ⅰ）当1
30a =
时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当12a ≥，()1,x ∈+∞时，求证：ln 11
a
x x +>-．
参考答案
13、2i - 14、30 15、109 16、129 三、解答题
17、解：（Ⅰ）2C 的普通方程为2220x y y +-=；
（Ⅱ）联立()()22
224525
20
x y x y y ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得：0121x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或．∴C 1与C 2交点的坐标为（0，2），
（1，1），化极坐标为：224ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，，． 18、解：（Ⅰ）234222,,71319a a a ===，于是猜想出2
65
n a n =-，
（Ⅱ）①当1n =时，显然成立； ②假设当n k =时，猜想成立，即2
65
k a k =
-， 则当1n k =+时，()1
2
2265231616153165
k k k a k a a k k k +-====+++-⨯+-即当1n k =+时猜想也成
立．
综合①②可知对于一切*2
,65
n n N a n ∈=-．
19、解：（Ⅰ）由已知得：()112
244
2
10
1445C C C P A C +=
=
，所以，事件A 发生的概率为1445
；
（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2； ()222442
2
10
13045
C C C P X C ++==
=
， ()11114244
2
10
248
14515
C C C C P X C +==
=
=， ()1142210
8245
C C P X C ==
=
所以，随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望为
13888()0124515459
E X =⨯+⨯+⨯=．
20、解：（Ⅰ）n
的展开式中前三项的系数分别为012
11,,24n n n
C C C ， 由题意知10
22(1)1198081
48n n n n n C C C n n n n n -=+⇒=+⇒-+=⇒==或（舍去）． （Ⅱ）展开式中二项式系数和8=2=256．
21、解：（Ⅰ）根据题意知，6+10+13+114
=505
，所以“非高收入户”本次抽样调查中的所占比
例为
4
5
； （Ⅱ）人均月收入在[1.5，3）中，有5户赞成楼市限购令，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5； l 户不赞成楼市限购令，记为B ；现从中随机抽取两户，所有的基木事件有：
（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，A 5），（A 1，B ），（A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 2，A 5），（A 2，B ），（A 3，A 4），..，（A 3，B ），（A 4，A 5），（A 4，B ），（A 5，B ）共15个； 事件“所抽取的两户都赞成楼市限购令”包含的基本事件有：
（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，A 5），（A 2，A 3），（A 2，A 3），（A 2，A 4）， （A 3，A 4），（A 3，A 5），（A 4，A 5）共10个， ∴所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率为102
153
P =
=；
（Ⅲ）由题意，可得如下2×2列联表：
计算()2
2
2
5035555()7.0317.879()()()()40104010
n ad bc K a b c d a c b d ⨯-⨯-=
==<++++⨯⨯⨯， ∴不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关．
22、（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞，当130a =时，()
2
5665()1x x f x x x ⎛
⎫⎛⎫
--
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
'=-；
令65()056f x x x '>⇒><或，所以函数单调增区间为560,+65⎛⎫⎛⎫
∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，
令56()065f x x '<⇒
<<，所以函数单调增区间为56,11,65⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， （Ⅱ）若证1
ln 1(,1)12a x a x x +>≥>-成立，只需证：1ln ln 112(1)a x x x x +
≥+>--， 即：2(1)ln 12(1)x x x -+>-当1x >成立
设1()2(1)ln 12(1)(1)g ()2ln g x x x x x x x x ⎛
⎫'=-+-->∴=- ⎪⎝
⎭，显然()g x '在()1,+∞是增函数
且1
(1)20,g (2)2(ln 2)02
g ''=-<=->
()0g x '∴=在（1,2）内有唯一零点000
1
,ln 0x x x -=使得
且当00(1,),()0;(,),()0x x g x x x g x ''∈<∈+∞>()g x ∴在0(1,)x 递减，在0(,)x +∞递增 min 0000000
11()()2(1)(ln 1)12(1)(1)52()g x g x x x x x x x ==--+=--=-+ 00015(1,2),22
x x x ∈∴<+
<Q min ()0,ln 11
a
g x x x ∴>∴+>-成立。