用于结构可靠度分析的多响应面法

文章编号:100021506(2001)0120001204
用于结构可靠度分析的多响应面法
杨成永,张　弥,白小亮
(北方交通大学土木建筑工程学院,北京100044)
摘　要:在分析单响应面法精度的影响因素基础上,提出了改进的多响应面法.然后以两个因
子功能函数为例,推导了多响应面的设计与估计公式,并通过算例比较了多响应面法与J C 法、Monte 2Carlo 法及单响应面法的计算精度.结果表明多响应面法的精度好于单响应面法.
关键词:结构可靠性;单响应面法;多响应面法中图分类号:TB114.3 文献标识码:A
Multiple R esponse Surface Method in Analysis
of Structural R eliability
YA N G Cheng 2yong ,ZHA N G M i ,B A I Xiao 2liang
(College of Civil Engineering and Architecture ,Northern Jiaotong University ,Beijing 100044,China )
Abstract :Based on accuracy analysis of single response surface method ,an update method ,multi 2ple response surface method ,is proposed.Taking a limited state function with two variables as an example ,the design and estimation formulas for multiple response surface are worked out ,then the accuracy of the new method is compared with J C method ,Monte 2Carlo method and single re 2sponse surface method through some typical instances.
K ey w ords :structural reliability ;single response surface method ;multiple response surface method 1981年,E.Rosenblueth [1]提出了用随机变量的前几阶矩估计随机变量函数的前几阶矩的近似方法.1985年,F.S.Wong [2]在此基础上构造出了原函数的近似函数(称为响应面),用于进行边坡的可靠度计算.
此后,响应面法的应用日趋广泛[3～6].在我国,张弥教授[3]采用有限元与响应面法结合进行隧道结构作用效应概率特征的计算,张文广等人[4]用响应面法直接拟合功能函数计算结构的可靠指标.
有限元—响应面法通过有限次计算求出一个近似曲面(称为响应面)以代替原曲面,即在响应(y )与不确定因素(随机变量x 1,x 2,…,x n )间建立起一个近似的显式表达y =f (x 1,x 2,…,x n ).然后,即可用该近似函数代替有限元程序进行重复计算,以便获得作用响应统计分析之样本.在响应面法中,近似函数(也叫修匀函数,其中包含若干个待定系数)的选取称作“设计”,确定修匀函数中的待定系数叫“估计”.
与Monte 2Carlo 有限元及随机有限元相比,响应面法在求作用效应的统计特征时计算量小,并能进行线性或非线性有限元分析.在变量与函数间缺乏代数表达式而依赖数值方法时,响应面法显得尤其重要.但是,响应面法的精度受随机变量的变异性、随机变量分布的偏斜程度及原函数的光滑程度影响较大.如何进一步提高响应面法的计算精度是人们关心的问题.
1　单响应面法的改进
文献[4]曾用响应面法计算结构可靠指标,讨论了响应面法的求解精度和计算效率.结果表明,对线性
收稿日期:2000204212
作者简介:杨成永(1966—
),男,贵州遵义人,副教授,博士.em ail :mf001157@ 第25卷第1期2001年2月 北　方　交　通　大　学　学　报JOURNAL OF NORTHERN J IAO TON G UN IV ERSIT Y
Vol.25No.1
Feb.2001
功能函数,响应面法的计算结果是精确的;当功能函数非线性时,随机变量分布不对称且变异性大时,响应面法的精度就较差.在计算效率上,响应面法一般为J C法(一次二阶矩法)的5～10倍、Monte2Carlo法的300～500倍.
在保持响应面法计算效率高的前提下,提高计算精度可采用多种方法,如增加插值点数目、提高近似函数阶数、引入三阶或更高阶矩等.但这些方法无疑会增加数学上的困难,并且精度越高难度越大.
一种做法是选择合适的插值点.响应面法中插值点一般选为
x i=μi±k・σi i=1,2,…,n(1)式中,μi为随机变量x i的期望;σi为x i的标准差;k为整数,一般取1,2,3.
从函数拟合及概率意义出发,更好的作法是选择下面的插值点
x i=μi±h i・σi(2)式中,h i是根据随机变量x i的离散程度和偏斜程度适当选取的一个因子.因子h i直观上可理解为“移动响应面使之覆盖在随机变量x i最有可能取值的区域上”.
文献[5]为利用响应面法计算非线性功能函数的可靠度,提出了另一种选择插值点的方法,称为“迭代响应面法”.该法采用线性响应面并把插值点进行“梯度投影”,逐次迭代使响应面在验算点附近尽量靠近原失效面.插值点按下式选取
x ij=μi±h j・e j・σj・δij j=1,2,…,m(3)式中,δij为线性响应面上的标准化投影矢量,e i为修正因子,m为插值点数.
文献[6]提出了一种与结构可靠度几何法相结合的迭代格式的响应面法来进行结构可靠度分析.
上述响应面法及其各种改进,由于只使用一个响应面,总起来可称为“单响应面法”.大量计算结果证明,单响应面法的精度仍受随机变量的变异性及偏斜程度限制,对大变异大偏斜的随机变量,其精度就会下降.
2　多响应面法的设计与估计
本文提出另一种办法来提高响应面法的求解精度,即采用多个响应面来逼近原函数.与单响应面法相应,称之为“多响应面法”.该法的具体做法是,取定因子x i的一定区域(如±3σ域内),分出若干个子域,计算各个子域上的近似函数(称子响应面),在各个子域上进行函数拟合;在后来的Monte2Carlo抽样中,在不同子域选用不同的近似函数计算响应y的值.下面以两个因子为例说明多响应面法的计算过程.
图1　子响应面划分
设有随机变量x1、x2,其函数y为
y=y(x1,x2)(4)将因子x i(i=1,2)标准化
ξ
i
=
x i-μx
i
σ
x
i
(5)
ξ
i
的均值与标准差为
μξ
i
=0
σξ
i
=1
(6)则函数y可用ξi表示为
y=f(ξ1,ξ2)(7)
在{[-2,-2],[2,2]}范围内用4个子响应面拟合原函数(见图1),
y≈a10+a11ξ1+a12ξ2+a13ξ1ξ2 {[-2,-2],[0,0]}
a20+a21ξ1+a22ξ2+a23ξ1ξ2 {[-2,2],[0,0]}
a30+a31ξ1+a32ξ2+a33ξ1ξ2 {[0,0],[2,2]}
a40+a41ξ1+a42ξ2+a43ξ1ξ2 {[0,0],[2,-2]}
(8)
式中有16个待定系数.考虑到子响应面在点(0,-2)、(-2,0)、(0,0)、(2,0)、(0,2)处的连接条件有a10-2a12=a40-2a42,a10-2a11=a20-2a21,a30+2a31=a40+2a41,a20+2a22=a30+2a32, 2　北　方　交　通　大　学　学　报 第25卷
a 10=a 20, a 30=a 40, a 10=a 40,
则有a 10=a 20=a 30=a 40,a 12=a 42,a 11=a 21,a 31=a 41,a 22=a 32.因此,式(8)变成
y ≈
a 10+a 11ξ1+a 12ξ2+a 13ξ1ξ2
{[-2,-2],[0,0]}a 10+a 11ξ1+a 22ξ2+a 23ξ1ξ2
{[-2,2],[0,0]}a 10
+a 31ξ1+a 22ξ2+a 33ξ1ξ2
{[0,0],[2,2]}a 10+a 31ξ1+a 12ξ2+a 43ξ1ξ2
{[0,0],[2,-2]}(9)
式中的待定系数变成9个.
为了确定式(9)中的待定系数,在ξ1=-2,0,2及ξ2=-2,0,2处计算真实响应.由此有计算式(9)中待定系数的方程组为
y 1=a 10-2a 11-2a 12+4a 13y 2=a 10-2a 12
y 3=a 10+2a 31-2a 12-4a 43y 4=10-2a 11y 5=a 10
y 6=a 10+2a 31
y 7=a 10-2a 11+2a 22-4a 23y 8=a 10+2a 22
y 9=a 10+2a 31+2a 22+4a 33
(10)
因此得待定系数为
a 10=y 5, a 11=(y 5-y 4)/2, a 12=(y 5-y 2)/2,a 13=(y 1+y 5-y 2-y 4)/4,a 22=(y 8-y 5)/2,
a 23=(y 4+y 8-y 5-y 7)/4,a 31=(y 6-y 5)/2,
a 33=(y 5+y 9-y 6-y 8)/4,
a 43=(y 2+y 6-y 3-y 5)/4.
把这些系数代入式(8)即得所求响应面.
3　多响应面法的精度
由于多响应面法的近似函数在广阔区域内拟合原函数,使得随机变量的变异性、随机变量分布的偏斜程度及原函数的非线形程度对多响应面法的精度的影响大为减轻.因此,多响应面法的精度就主要决定于子响应面与原函数在子域里的拟合程度.
在多响应面法中,视精度要求不同,可采用线性或非线性的响应面;插值点可按式(1)或式(2)选取;甚至在子域的划分上也可以依全部或部分随机变量进行,特别是对响应面影响较大的或变异性较大的那些随机变量.因此,多响应面法具有较大的灵活性.
用多响应面法进行算例计算,原函数及响应面见表1,可靠指标β的计算精度对比情况见表2.可看出:
(1)对比算例1、2及3,随因子变异性增大,单响应面法的精度急剧下降,多响应面法的精度显著好于单
响应面法.
(2)对比算例1、7及9,随功能函数非线性程度增加,单响应面法的精度下降,多响应面法的精度明显好
于单响应面法.
(3)对比算例3与4、5与6、7与8、9与10,当因子为非正态分布而其他条件相同时,多响应面法的求解
精度好于单响应面法,但差别不大.
(4)对比算例5与6,由于所设响应面函数形式包含了原函数形式,单响应面法与多响应面法是一致等
同的.
总的说来,多响应面法的精度好于单响应面法,特别在因子大变异性、功能函数非线性情况下效果显著,说明在处理大变异性随机变量及非线性功能函数上,多响应面法具有很强的适应性.
3
第1期 杨成永等:用于结构可靠度分析的多响应面法
表1　原函数及响应面
算例原功能函数
随机
变量
均值与
变异系数
分布
类型
单响应面多响应面
1
2 3 4y=0.6x31-1.5x32
x1
x2
(10,0.2)
(5,0.2)
正态
正态
(10,0.2)
(5,0.3)
正态
正态
(10,0.5)
(5,0.5)
正态
正态
(10,0.5)
(5,0.5)
对正
极Ⅰ
y=610.5+
　379.2ξ1-118.5ξ2y
≈
412.5+235.2ξ1-73.5ξ2
412.5+235.2ξ1-163.5ξ2
412.5+523.2ξ1-163.5ξ2
412.5+523.5ξ1-73.5ξ2
{[-2,-2],[0,0]}
{[-2,2],[0,0]}
{[0,0],[2,2]}
{[0,0],[2,-2]}
y=498+
　379.2ξ1-189ξ2y
≈
412.5+235.2ξ1-87.75ξ2　{[-2,-2],[0,0]}
412.5+235.2ξ1-29.25ξ2　{[-2,2],[0,0]}
412.5+523.2ξ1-29.25ξ2　{[0,0],[2,2]}
412.5+523.5ξ1-87.75ξ2　{[0,0],[2,-2]}
y=1650+
　1200ξ1-375ξ2y
≈
412.5+300ξ1-93.75ξ2
412.5+300ξ1-656.25ξ2
412.5+2100ξ1-656.25ξ2
412.5+2100ξ1-93.75ξ2
{[-2,-2],[0,0]}
{[-2,2],[0,0]}
{[0,0],[2,2]}
{[0,0],[2,-2]}
5
6y=x1x2-50
x1
x2
(30,0.12)
(3,0.2)
正态
正态
(30,0.12)
(3,0.2)
极Ⅰ
对正
y=40+10.8ξ1+
18ξ2+2.16ξ1ξ2
y=40+10.8ξ1+18ξ2+2.16ξ1ξ2
7
8y=1.2x21-5.9x22
x1
x2
(50,0.2)
(12,0.1)
正态
正态
(50,0.2)
(12,0.1)
正态
对正
y=2596.416+
1200ξ1-169.92ξ2
y≈
2150.5+960ξ1-153.128ξ2
2150.4+960ξ1-186.912ξ2
2150.4+1400ξ1-186.912ξ2
2150.4+1400ξ1-153.128ξ2
{[-2,-2],[0,0]}
{[-2,2],[0,0]}
{[0,0],[2,2]}
{[0,0],[2,-2]}
9
10y=0.6x21x22-160
x1
x2
(10,0.2)
(5,0.3)
正态
正态
(10,0.2)
(5,0.3)
对正
极Ⅰ
y=2206.4+816ξ1+
1044ξ2+360ξ1ξ2
y≈
1340+480ξ1+630ξ2+201.6ξ1ξ2
1340+480ξ1+1170ξ2+374.4ξ1ξ2
1340+720ξ1+1170ξ2+561.6ξ1ξ2
1340+720ξ1+630ξ2+302.4ξ1ξ2
{[-2,-2],[0,0]}
{[-2,2],[0,0]}
{[0,0],[2,2]}
{[0,0],[2,-2]}
表2　可靠指标β求解精度对比
算　法
算 例
12345678910 J C法 1.330 1.1260.5320.539 2.087 2.484 2.261 2.270 2.180 3.137
M2C法 1.373 1.1570.5570.569 2.048 2.532 2.304 2.293 2.091 3.163单响应面法 1.581 1.203 1.344 1.771 2.042 2.522 2.197 2.183 1.992 3.259多响应面法 1.453 1.1380.7360.833 2.042 2.522 2.251 2.228 2.014 3.226
4　结语
对大变异性随机变量及非线性功能函数,多响应面法在不增加数学难度情况下,求解精度明显好于单响应面法.该法已用于铁路明洞荷载效应统计特征计算中,有效地减少了计算量,并得到满足要求的结果.多响应面法概念明确、适应性广,经进一步完善可成为结构可靠性分析中的有用方法.
参考文献:
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4　北　方　交　通　大　学　学　报 第25卷。