高三数学一轮复习 45分钟滚动基础训练卷7江苏专 试题

45分钟滚动根底训练卷(七)
[考察范围：第22讲～第26讲，以第25、26讲内容为主 分值：100分]
一、填空题(本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分，把答案填在答题卡相应位置)
1．平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2
)，那么向量a ＋b 的说法正确的有________． ①平行于x 轴；②平行于第一、三象限的角平分线；③平行于y 轴；④平行于第二、四象限的角平分线．
2．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝45°，那么2a ＋c
2a －c
＝________.
3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，假设c cos B ＝b cos C ，且cos A ＝2
3，
那么sin B ＝________.
4．i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，那么实数λ的取值范围是________．
5．在△ABC 中，A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c 且sin B ＝12，sin C ＝3
2
，那么a ∶b ∶
c ＝________.
6．[2021·北师大附中月考] 在△ABC 中，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|⊥BC →，且2AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|，那么△ABC 的形状是________．
7．[2021·一模] 在△ABC 中，BC ＝2，AB →·AC →
＝1，那么△ABC 面积的最大值是________． 8．如图G7－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，一条直线l 与边BC 、BA 分别交于点E 、F ，且分△ABC 的面积为相等的两局部，那么线段EF 的最小值为________．
图G7－1
二、解答题(本大题一一共4小题，每一小题15分，一共60分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)
9．如图G7－2，对于平行四边形ABCD ，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝1
3BD .
求证：M 、N 、C 三点一共线．
图G7－2
10．a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3θ2，sin 3θ2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2，－sin θ2，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.
(1)求
a ·b
|a ＋b |
的最值； (2)是否存在实数k ，使|k a ＋b |＝3|a －k b |?
11．在斜三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2－a 2－c 2ac ＝cos A ＋C
sin A cos A
.
(1)求角A ；
(2)假设sin B
cos C
>2，求角C 的取值范围．
12．[2021·苏锡常镇一调] 如图G7－3，△ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3(百米)，底AB 的长为4(百米)．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF (宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为
S 1和S 2.
(1)假设小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度； (2)求S 1
S 2
的最小值．
45分钟滚动根底训练卷(七)
1．③ [解析] ∵a ＋b ＝(0，x 2
＋1)，
∴a ＋b 平行于y 轴．
2．3＋2 2 [解析] 由正弦定理得
2a ＋c 2a －c ＝2sin A ＋sin C
2sin A －sin C
＝1＋
22
2×12－22
＝
2＋22－2
＝3＋
2 2.
3.
306 [解析] 由c cos B ＝b cos C 可得b c ＝cos B cos C ，联络到正弦定理，即得sin B sin C ＝cos B cos C
，化简得sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，可得B ＝C ，所以sin B ＝sin π－A 2＝cos
A
2
＝
1＋cos A 2＝30
6
. 4．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 [解析] 以i 为x 轴正方向；j 为y 轴正方向，a ＝(1，－
2)，b ＝(1，λ)，cos 〈a ，b 〉＝
a ·
b |a ||b |＝1，－2·1，λ51＋λ2＝1－2λ
5·1＋λ2
. 由0<1－2λ
5·1＋λ2
<1⇒⎩⎨⎧
1－2λ>0，
1－2λ<5·1＋λ2
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
λ<12，
λ2＋4λ＋4>0
⇒λ<1
2
且λ≠－2.
5．2∶1∶3或者1∶1∶ 3 [解析] 假设B 、C 均为锐角，那么B ＝30°，C ＝60°，∴A ＝90°，
那么a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝sin90°∶sin30°∶sin60° ＝1∶12∶3
2
＝2∶1∶ 3.
假设B 为锐角，C 为钝角，那么B ＝30°，C ＝120°， ∴A ＝30°，那么a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝sin30°∶sin30°∶sin120°
＝12∶12∶3
2
＝1∶1∶ 3. C 为锐角，B 为钝角不合题意，故舍去．
6．正三角形 [解析] 由⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|⊥BC →，得∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .
由2AB →·AC →＝|AB →||AC →
|⇒cos A ＝12
⇒A ＝60°，故△ABC 为等边三角形．
7. 2 [解析] 以BC 中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立如下图的直角坐标系，那么B (－1,0)，C (1,0)．
设A (x ，y )，
所以AB →·AC →＝(x ＋1)(x －1)＋y 2＝x 2＋y 2－1＝1，即x 2＋y 2
＝2，又S △ABC ＝12·BC ·|y A |，
故△ABC 面积最大值为 2.
8．2 [解析] 设BE ＝x ，BF ＝y ，∵S △BEF ＝1
2S △ABC ，
∴12xy sin B ＝3
10
xy ＝3，∴xy ＝10， 又由余弦定理有：EF 2
＝x 2
＋y 2
－2xy cos B ＝x 2
＋y 2
－16≥2xy －16＝4， 当且仅当x ＝y ＝10时取等号，∴EF min ＝2. 9．[解答] 证明：设AB →＝e 1，AD →
＝e 2， 那么BD →＝BA →＋AD →
＝－e 1＋e 2， BN →
＝13BD →＝－13e 1＋13
e 2，
MB →
＝12
e 1，BC →
＝AD →
＝e 2，
∴MC →＝MB →＋BC →＝1
2e 1＋e 2，
MN →
＝MB →＋BN →＝12e 1－13e 1＋13e 2＝16e 1＋13e 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2e 1＋e 2.
∴MN →＝13MC →.又MN →与MC →
有一共同的起点M ，
∴M 、N 、C 三点一共线．
10．[解答] (1)∵a ·b ＝cos2θ，
|a ＋b |2
＝|a |2
＋|b |2
＋2a ·b ＝2＋2cos2θ＝4cos 2
θ. ∴
a ·
b |a ＋b |＝cos2θ2cos θ＝cos θ－1
2cos θ
. 令t ＝cos θ，那么12≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12t ′＝1＋12t 2>0.
∴t －12t 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为增函数．∴－12≤t －12t ≤12，
即所求式子的最大值为12，最小值为－12.
(2)由题设可得|k a ＋b |2
＝3|a －k b |2
， 又|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos2θ， ∴原式化简得cos2θ＝1＋k
2
4k
.
由0≤θ≤π3，得－12≤cos2θ≤1，∴－12≤1＋k
2
4k ≤1，
解得k ∈[2－3，2＋3]∪{－1}．
11．[解答] (1)∵b 2－a 2－c 2
ac
＝－2cos B ，
且cos A ＋C sin A cos A ＝2cos A ＋C sin2A ＝－2cos B sin2A ，
∴－2cos B ＝－2cos B sin2A ，
而△ABC 为斜三角形，
∴cos B ≠0，∴sin2A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＝π2，A ＝π
4
.
(2)∵B ＋C ＝3π4，∴sin B
cos C
＝
sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫
3π4－C cos C
＝sin 3π4cos C －cos 3π
4sin C
cos C ＝22＋22tan C >2，
即tan C >1.∵0<C <3π
4，
∴π4<C <π2
. 12．[解答] (1)∵E 为AC 中点，那么AE ＝CE ＝32，
∵32＋3<3
2
＋4，∴F 不在BC 上． 那么F 在AB 上，那么AE ＋AF ＝3－AE ＋4－AF ＋3， ∴AE ＋AF ＝5. ∴AF ＝72
<4.
在△ABC 中，cos A ＝2
3
.
在△AEF 中，EF 2＝AE 2＋AF 2
－2AE ·AF cos A ＝94＋494－2×32×72×23＝152，
∴EF ＝
30
2
. 即小路一端E 为AC 的中点时，小路的长度为
30
2
(百米)． (2)假设小道的端点E ，F 都在两腰上，如图，设CE ＝x ，CF ＝y . 那么x ＋y ＝5，
S1 S2＝
S△CAB－S△CEF
S△CEF
＝
S△CAB
S△CEF
－1
＝1
2
CA·CB sin C
1
2
CE·CF sin C
－1＝
9
xy
－1≥
9
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
x＋y
2
2
－1＝
11
25⎝
⎛⎭⎪⎫
当x＝y＝
5
2
时取等号.
假设小道端点E，F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，设AE＝x，AF＝y，那么x＋y＝5，
S1 S2＝
S△ABC－S△AEF
S△AEF
＝
S△ABC
S△AEF
－1
＝12
xy
－1≥
12
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
x＋y
2
2
－1＝
23
25⎝
⎛⎭⎪⎫
当x＝y＝
5
2
时取等号.
故S1
S2
的最小值是
11
25
.
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。