2023-2024学年八年级数学期末模拟考试+解析(湖北武汉专用：人教八下全册)

2023-2024学年八年级数学下学期期末模拟卷
（湖北武汉专用）
全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A ．2，3，4
B ．5，12，13
C ．4，6，9 D
【答案】B
【分析】根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解．
【详解】解：222234+≠，22251213+=，222469+≠，222+≠，
∴选项B 中数据能作为直角三角形的三边长， 故选：B ．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A 2
B 2=−
C 2±
D 2=± 【答案】A 【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
2==，故A 正确，C 错误；
2，故B 、D 错误；
故选：A ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．
3．正比例函数=y kx 的图像经过二、四象限，则一次函数y kx k =−+的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】先根据正比例函数得出0k <，再确定一次函数图象即可．
【详解】解：∵正比例函数=y kx 的图象经过二、四象限，
∴0k <，则0k −>，
∴y kx k =−+的图象经过第一、三、四象限，
故选：D ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，根据k 的符号确定一次函数图象经过的象限是解决本题的关键． 4．若一次函数(2)(2)y a x a =−++不经过第三象限，则a 的取值范围为
A ．22a −≤<
B ．22a −<<
C ．2a <−
D ．2a >
【答案】A
【详解】解：∵一次函数()()22y a x a =−++不经过第三象限， 2020
a a +≥⎧∴⎨−<⎩ ,解之得,22a −≤< . 故选A.
5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点()3,2A −，点()1,2B −−，点()3,2C −，则点D 的坐标为（ ）
A ．()1,2
B ．()2,1
C ．()1,3
D ．()2,3
【答案】A 【分析】根据平行四边形ABCD 的顶点A （-3，2），点B （-1，-2），点C （3，-2），可得AD ∥BC ，AD =BC =4，进而可以解决问题．
【详解】解：∵平行四边形ABCD的顶点A（-3，2），点B（-1，-2），点C（3，-2），
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∵A点的横坐标为-3，
∴D点的横坐标为4-3=1，
∵AD∥BC，
∴D点和A点的纵坐标相等为2，
∴D点的坐标为（1，2）．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．6．如图，ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，并且DE∥AB，则CDE的周长为（）
A．20cm B．12cm C．13cm D．14cm
【答案】D
＝BD＝4cm，AD⊥BC，再由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵AB＝AC＝10cm，AD平分∠BAC，
∴CD＝BD＝4（cm），AD⊥BC，
∵点E为AC的中点，
AC＝5（cm），
∴CE＝DE＝1
2
∴△CDE的周长＝CE+CD+DE＝14（cm），
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题关键．
7．抢微信红包已成为中国传统节日人们最喜爱的祝福方式，今年端午节期间，某人在自己的微信群中发出红包，一共有10名好友抢到红包，抢到红包的金额情况如下表：
则10名好友抢到金额的众数、中位数分别是（ ）
A ．4.5，5
B ．4.5，6
C ．8，4.5
D ．5，4.5
【答案】A
【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．
【详解】解：由表可知4.5元出现的次数最多，
∴众数为4.5元，
∵第5、6个数据为5，5，
∴中位数为5元，
故选：A ．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
8．如图，在ABC 中CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且EF BC ∥交AC 于M ，若3CM =，則22CE CF +=（ ）
A ．36
B ．24
C ．9
D ．6
【答案】A 【分析】根据角平分线得出EFC 为直角三角形，再由等角对等边得到3CM EM MF ===，则
6EF EM MF =+=，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，
∴12ACE BCE ACB ∠=∠=∠，12
ACF DCF ACD ∠=∠=∠，
∴()111809022
ECF ACB ACD ∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴EFC 为直角三角形，
∵EF BC ∥，
∴BCE CEM ∠=∠，DCF CFM ∠=∠，
∴ACE CEM ∠=∠，DCF ACF ∠=∠，
∴3CM EM MF ===，
∴6EF EM MF =+=，
由勾股定理可知22236CE CF EF +==，
故选：A ．
【点睛】本题考查了勾股定理，平行线的性质以及角平分线的定义，证出EFC 为直角三角形是解决本题的关键．
9．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 在直线AB 和CD 之间，设APB △，CPD △，ABCD Y 的面积依次为1S ，2S ，3S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．12322S S S +=
B ．12332S S S +=
C ．12323S S S +=
D ．12312
S S S == 【答案】A 【分析】如图：过P 作,PE PF 分别垂直于,BA CD 的延长线于E 、F ，由平行四边形的性质可得
AB CD =,ABCD Y 的CD 边上的高为EF ,且EF PE PF =+；再由三角形和平行四边形的面积公式可得21311,,22
AB PE CD PF CD EF S S S =⋅=⋅=⋅，即12,22F S S AB PE CD P =⋅=⋅，然后代入()3F S CD EF CD PE P =⋅=+即可解答．
【详解】解：如图：过P 作,PE PF 分别垂直于,BA CD 的延长线于E 、F ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB CD =,ABCD Y 的CD 边上的高为EF ,且EF PE PF =+， ∵21311,,22
AB PE CD PF CD EF S S S =⋅=⋅=⋅ ∴12,22F S S AB PE CD P =⋅=⋅，
∴()31222CD EF CD PE PF CD PE CD PF AB PE CD PF S S S =⋅=+=⋅+⋅=⋅+⋅=+．
故选A ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积、平行四边形的面积等知识点，正确作出高是解答本题的关键．
10．如图，在ABC 和AED △中，AC 交DE 于点F ，BAC EAD ∠=∠，AB AC =，AE AD =，连接BE 、CD 、CE ，延长DE 交BC 于点G ，下列四个命题或结论：①BE CD =；②若BEG CDF ∠=∠，则90AEB ∠=︒；
③在②的条件下，则BG CG =；④在②的条件下，当AE CD =时，BG =DEC 的面积是1．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【分析】根据SAS 证明BAE CAD △
≌△可判断①；根据全等三角形的性质和互余可判断②；以点C 为圆心，以CD 为半径画弧，交DG 的延长线于点H ，连接CE ，BH ，证明四边形BHCE 是平行四边形可判断③；
④作BM DG ⊥交DG 的延长线于点M ，
作AN DG ⊥于点N ，作CK DG ⊥于点K ，连接AG ，则AG BC ⊥．先证明45ABE BAE ∠=∠=︒，再结合三线合一证明BAG EAN ∠=∠，然后证明
45ABE CGE BGM GBM ∠=∠=∠=∠=︒，利用勾股定理求出,BM CK 的值，证明()AAS EBM AEN ≌求出
EN 的值，进而求出DEC 的面积可判断④．
【详解】解：①∵BAC EAD ∠=∠，
∴BAC EAC EAD EAC ∠−∠=∠−∠，
∴BAE CAD ∠=∠，
在BAE 与CAD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()SAS BAE CAD ≌△△，
∴BE CD =，故①正确；
②∵AE AD =，
∴AED ADE ∠=∠，
∵BAE CAD △
≌△， ∴AEB ADC ADE CDF ∠=∠=∠+∠，
∵BEF CDF ∠=∠，
∴AEB AED BEF ∠=∠+∠，
∵180AEB AED BEF ∠+∠+∠=︒，
∴90AEB ∠=︒，故②正确；
③如图，以点C 为圆心，以CD DG 的延长线于点H ，连接CE ，BH ，
则CH CD =，
∴CDH CHD ∠=∠，
∵BEG CDF ∠=∠，
∴BEG CHD ∠=∠，
∴BE CH ∥，
∵BAE CAD △
≌△， ∴BE CD =，
∴BE CH =，
∴四边形BHCE 是平行四边形，
∴BG CG =，故③正确；
④作BM DG ⊥交DG 的延长线于点M ，作AN DG ⊥于点N ，作CK DG ⊥于点K ，连接AG ，则AG BC ⊥．
∵BAE CAD △
≌△， ∴BE CD =，AK AD =，
∵AE CD =，
∴BE CD AK AD ===，
∵90AEB ∠=︒，
∴45ABE BAE ∠=∠=︒． 由等腰三角形三线合一知，11,22
BAG BAC EAN EAD ∠=
∠∠=∠， ∵BAC EAD ∠=∠，
∴BAG EAN ∠=∠．
∵90,90BEG AED EAN AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∴BEG EAN BAG ∠=∠=∠，
∵APB EPG ∠=∠，
∴45PGE ABE ∠=∠=︒，
∴45ABE CGE BGM GBM ∠=∠=∠=∠=︒，
∵BG CG ==
∴12BN GM BG ===，12
CK GK ===， ∵BEG EAN ∠=∠，90M ANE ∠=∠=︒，BE AE =，
∴()AAS EBM AEN ≌，
∴1EN BM ==，
∴22DE EN ==， ∴112
DEC S DE CK =⋅=，故④正确． 故选D ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11．函数2y x
=中，自变量x 的取值范围是 ． 【答案】x 1≥−且x 0≠．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件进行求解即可．
【详解】由题意得：10x 0x +≥⎧⎨≠⎩
， 解得：x ≥-1且0x ≠，
故答案为：x ≥-1且0x ≠．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围；涉及了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．学校对各班级的卫生进行了检查，其中九（1）班的教室卫生是90分、卫生区卫生是85分、学生个人
卫生是90分．若这三项成绩分别按35%、30%和35%计入总成绩，则该班这次卫生检查的总成绩是 分． 【答案】88.5
【分析】利用总成绩=教室卫生得分35%⨯+卫生区卫生得分30%⨯+学生个人卫生得分35%⨯，即可求出结论．
【详解】解：根据题意得：9035%8530%9035%⨯+⨯+⨯31.525.531.5=++88.5=（分），
∴该班这次卫生检查的总成绩是88.5分．
故答案为：88.5．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是直接求这三个数的平均数，对加权平均数的理解不正确．
13．如图，▱ABCD 中，∠ABC=60°，E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE ∥BD ，EF ⊥BC ，EF=3，则AB 的长是 ．
【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD ，AB ∥CD ，得出平行四边形ABDE ，推出DE=DC=AB ，根据直角三角形性质求出CE 长，即可求出AB 的长．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=CD ，
∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB=DE=CD ，
即D 为CE 中点，
∵EF ⊥BC ，∴∠EFC=90°，
∵AB ∥CD ，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，
∵EF=3，∴∴
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
14．如图：G 、H 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG CH =，GH AB =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，若正方形ABCD 的面积为16，则四边形EHFG 的面积为 ．
【答案】【分析】连接EF ，交AC 于点O ，先证明四边形EHFG 是矩形，再根据同高三角形面积的关系可得EOG △的面积，从而可得结论．
【详解】解：如图，连接EF ，交AC 于点O ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB AD CD AB CD ==，∥，
∵E F 、分别是AB 和CD 的中点， ∴12AE BE AB ==，12
CF DF CD ==， ∴AE CF DF ==，
∵AE DF AE DF =∥，，
∴四边形AEFD 是平行四边形，
∴AD EF AB ==，
∵90EAD ∠=︒，
∴AEFD 是矩形，
∴90AEF ∠=︒，
∵AB CD ，
∴EAO FCO ∠=∠，
在AEO △和CFO △中，AOE COF EAO FCO AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()AAS AEO CFO ≌△△，
∴OE OF AO OC ==，，
∵AG CH =，
∴AO AG OC CH −=−，
即OG OH =，
∴四边形EHFG 是平行四边形；
又∵GH AB EF AB ==，，
∴GH EF =，
∴四边形EHFG 是矩形，
∵正方形ABCD 的面积为16，
∴4AB GH EF ===，
∴2AE EO OG ===，
由勾股定理得：AO
==，
∴2AG =， ∵EOG AEO S
OG S OA =，
∴1222
EOG S =⨯
⨯
∴EOG S =V
∴四边形
EHFG 的面积=4EOG ⨯
的面积=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，及正方形的性质等，运用等高三角形面积之比等于底边长之比求△EOG 的面积是解题的关键．
15．如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为AC 边上一动点，且不与点A 、点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE AB AC ==，连接CE ．过点A 作AF BE ⊥于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，已知6AB =，3CH =，则
EH = ．
【答案】【分析】如图，过点C 作CG AH ⊥于G ，由等腰直角三角形的性质可得
EH =，CH =，由“AAS ”可证AFB CGA ≌，可得AF CG =，由勾股定理可得结论．
【详解】解：如图，过点C 作CG AH ⊥于G ，
∵AB AE =，
AED ABE ∴∠=∠，
1802BAE AED ∴∠=︒−∠，
902CAE BAE BAC AED ∴∠=∠−∠=︒−∠，
AE AC =，
ACE AEC ∴∠=∠，
180CAE ACE AEC ∠+∠+∠=︒，
45AEC AED ∴∠=︒+∠，
45BEC AEC AED ∴∠=∠−∠=︒，
45FEH ∠=︒∴，
AH BE ⊥，
45FHE FEH ∴∠=∠=︒，
EF FH ∴=，
又90EFH ∠=︒，
EH ∴==，
45FHE ∠=︒，CG FH
⊥，
45GCH FHE ∴∠=∠=︒， GC GH ∴=，
CH ∴=，
90BAC CGA ∠=∠=︒，
90BAF CAG ∴∠+∠=︒，90CAG ACG ∠+∠=︒，
BAF ACG ∴∠=∠，
又AB AC =，AFB AGC ∠=∠，
(AAS)AFB CGA ∴≌
AF CG ∴=，
CH ∴=，
在Rt AEF 中，222AE AF EF =+，
22
2AB ⎫⎫∴+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
2222EH CH AB ∴+=， ∵6AB =，3CH =，
∴EH =
故答案为：
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，
16．菱形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，按照如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C
2，C 3，…分别在直线y ＝kx+b 和x 轴上．已知∠A 1OC 1＝60°，点B 1(3，B 2(8，，则A n 的坐标是 (用含n 的式子表示)
【答案】(3•2n ﹣1﹣2，2n ﹣1
【分析】分别过A1、A2、A3作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，根据菱形的性质得四边形A1B1C1O 和四边形A2B2C2C1都为菱形，则A1B1∥x轴，A2B2∥x轴，∠A2C1E＝∠A3C2F＝60°，在Rt△A1OD中利用含30
度的直角三角形三边的关系可计算出OD＝1，OA1＝2，则A1(1
，且OC1＝OA1＝2，接着在Rt△A2C1E
中可计算出C1E＝2，A2C1＝4，则A2(4，
，C1C2＝4，同理可得A3(10，
，然后利用待定系数法求
出直线解析式为y
A1、A2、A3的纵坐标的规律可得An的纵坐标2n-1
函数图象上点的坐标特征可求出An的横坐标，从而得到An的坐标．
【详解】解：分别过A1、A2、A3作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，
∵∠A1OC1＝60°，而四边形A1B1C1O和四边形A2B2C2C1都为菱形，
∴∠A2C1E＝∠A3C2F＝60°，
在Rt△A1OD中，∵A1D
∠OA1D＝30°，
∴OD＝1，OA1＝2，
∴A1(1
，OC1＝OA1＝2，
在Rt△A2C1E中，∵A2E＝
∠C1A2E＝30°，
∴C1E＝2，A2C1＝4，
∴A2(4，
，C1C2＝4，
同理可得A3(10，
，
把A1(1
，A2(4，
分别代入y＝kx+b
得
4
k b
k b
⎧+=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，解得
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∴直线解析式为y
由A1、A2、A3的纵坐标的规律可得An的纵坐标2n-1
当y ＝2n -1
2n ﹣1 解得x ＝3•2n -1﹣2．
∴An 的坐标是(3•2n -1﹣2，2n -1．
故答案为(3•2n -1﹣2，2n -1．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
三、解答题：本题共8小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．计算：
))2
11+；
(2)()10144π−⎛⎫−− ⎪⎝⎭
．
【答案】(1)3(2)3．
【分析】（1）利用二次根式的乘法运算法则计算即可求解；
（2）利用零次幂、负整数指数幂、二次根式的除法运算法则化简，得出答案．
【详解】（1))2
11+
()
321=−
21−=
3=
（2）解：()1
0144π−⎛⎫− ⎪⎝⎭14=3=． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．已知：如图，ABCD Y 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，分别交边DC 、AB 于点E 、F ，求证：AE ＝CF ．
【答案】证明见解析
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明△ADE ≌△CBF 即可判断AE ＝CF ．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠DAB ＝∠DCB ，∠D ＝∠B ，AD ＝BC ，
∵AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，
∴∠DAE ＝∠BCF ，
∴△ADE ≌△CBF （ASA ）
， ∴AE ＝CF ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．证明线段相等的技巧一般是找到两个线段的相关三角形，通过全等求解．
19．某校组织七、八年级学生参加厂“科教兴国、强国在我”科普知识竞赛．现该校从七、八年级学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x 表示，共分为五组：()070A x ≤<，()7080B x ≤<，()8090C x ≤<，()90100D x ≤≤），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的成绩是：69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100．
八年级20名学生的成绩在C 组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89．
根据以上信息，解答下列问题：
七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表
a______，b=______，m=______．
(1)直接写出图表中a、b、m的值：=
(2)根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？
【答案】(1)86，88，30
(2)八年级的学生掌握科普知识较好．理由见解析
(3)两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有290人
【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键．
（1
（2）根据平均数、中位数的意义可得结论．
（3）根据用样本估计总体，用400乘以七年级成绩达到90分及以上的百分比加上500乘以八年级成绩达到90分及以上的百分比即可得出答案．
【详解】（1）由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为86，
86
∴=．
a
⨯=（人），
八年级20名学生的成绩在A组中的人数为205%1
⨯=（人），
在B组中的人数为2020%4
将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为87，89，
∴=+÷=，
b
(8789)288
八年级20名学生的成绩在D组中的人数为201496
−−−=（人），
∴6100%30
m=⨯=，
20
故答案为：86，88，30；
（2）八年级的学生掌握科普知识较好．理由如下：
七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大，
所以八年级的学生掌握科普知识较好．
（3）764005001401502902020
⨯+⨯=+=（人）． ∴两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有290人．
20．如图，四边形ABCD 是正方形，点P 为平面内一点，
(1)若点P 在正方形内，如图1，1,2PA PB PD ===，求APB ∠的度数；
(2)若点P 在正方形外，如果,PA a PB b ==，如图2，且45APB ∠=︒，求PD 的长．（用,a b 表示）
【答案】(1)135︒
(2)PD =
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
(1) 把APD △绕点A 顺时针旋转 90︒得到AFB △， 连接,PF AD 与AB 重合，PA 旋转到AF 的位置，证APF 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理逆定理求出证出90BPF ∠=︒，即可得出结果．
(2) 把APD △绕点A 顺时针旋转90︒得到AFB ，连接PF ，AD 与AB 重合，PA 旋转到AF 的位置，证APF 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理求出FB ，即可得出结果．
【详解】（1）解：把APD △绕点A 顺时针旋转 90︒得到AFB △， 连接,PF AD 与AB 重合，PA 旋转到AF 的位置，如图1，
∴1,90,2AP AF PAF PD FB ==∠=︒==， ∴APF 为等腰直角三角形，
∴45APF ∠=︒，PF ==
∵222224PF PB BF +=+==，
∴90BPF ∠=︒，
∴4590135APB ∠=︒+︒=︒；
（2）解：把APD △绕点A 顺时针旋转 90°得到AFB ，连接PF ，AD 与AB 重合，PA 旋转到AF 的位置，如图2，
∴,90,AP AF a PAF PD FB ==∠=︒=， ∴APF 为等腰直角三角形，
∴45,APF PF ∠=︒==，
∴454590BPF APB APF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
在Rt FBP △中，,PB b PF ==，
∴FB =
∴PD FB =
21．如图，直线113
y x b =−+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线22y x =−交于点C ，点C 的横坐标为3−．
(1)观察图象，直接写出当12y y ≤时，x 的取值范围．
(2)求b 的值．
(3)若点()0,7D x 在直线1y 上，求COD △的面积．
【答案】(1)3x ≤−
(2)5b = (3)
152
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系：
（1）找到当函数113y x b =−+的图象在直线22y x =−图象下方或二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案；
（2）先求出点C 坐标，再把点C 坐标代入113
y x b =−+中进行求解即可； （3）先求出B 、D 坐标，再根据COD BOD BOC S S S =−△△△进行求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，当函数113
y x b =−+的图象在直线22y x =−图象下方或二者交点处时自变量的取值范围为3x ≤−，
∴当12y y ≤时，x 的取值范围为3x ≤−；
（2）解；在22y x =−中，当3x =−时，26y =，
∴()36C −，
， 把()36C −，代入113
y x b =−+中得：()1363b −⨯−+=，
∴5b =；
（3）解；由（2）得1153
y x =−+， 在1153y x =−+中，当11573
y x =−+=时，6x =−，当0x =时，15y =， ∴()6,7D −，()05B ，
， ∴COD BOD BOC S S S =−△△△ 11565322
=⨯⨯−⨯⨯152=．
22．已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别为边DC 、BC 上两点．
(1)如图1，若BF CE =，求证：AF BE =．
(2)如图2，若BF DE =，作EH AF ⊥于H ，连接DH ，求证：DH AB =．
(3)如图3，若DE CE =，43BF =
，点G 在边AB 上满足EG AF =，则AG 长度为 .（直接写出答案） 【答案】(1)见解析
(2)见解析 (3)23或
103
【分析】（1）利用SAS 证明ABF BCE ≌即可；
（2）延长HE 交AD 的延长线于N ，利用SAS 证明ABF NDE ≌，推出AB DN =，进而得出AD DN =，利用直角三角形斜边中线的性质可得DH AD =，即可证明DH AB =；
（3）分点G 离点B 较近和点G 离点A 较近两种情况，过点B 及点A 作EG 的平行线，利用平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质即可求解．
【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，
∴AB BC =，90ABC BCD ∠=∠=︒， 又BF CE =，
∴()SAS ABF BCE ≌，
∴AF BE =；
（2）证明：如图，延长HE 交AD 的延长线于N ，
四边形ABCD 是正方形，
∴AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，AD BC ∥，
∴DAF AFB ∠=∠，
90DAF N BAF AFB ∠+∠=︒=∠+∠，
∴BAF N ∠=∠， 又90ABF NDE ∠=∠=︒，BF DE =，
∴()SAS ABF NDE ≌，
∴AB DN =，
∴AD DN =， 又NH AF ⊥，
∴DH AD =，
∴DH AB =；
（3）解：如图，当点G 离点B 较近时，过点B 作BH EG ∥，
BH EG ∥，AB CD ∥，
∴四边形BHEG 是平行四边形，
∴GE BH =，GB EH =，
DE CE =，4DC =，
∴2DE CE ==，
EG AF BH ==，AB BC =，
∴()Rt Rt ABF BCH HL ≌， ∴43BF CH ==
， ∴23
EH =， ∴2
3GB EH ==， ∴21033
4AG AB GB −==−=； 如图，当点G 离点A 较近时，过点A 作∥AH EG ，
∥AH EG ，AB CD ∥，
∴四边形AHEG 是平行四边形，
∴GE AH =，AG EH =，
DE CE =，4DC =，
∴2DE CE ==，
EG AF AH ==，AB AD =，
∴()Rt Rt ABF ADH HL ≌， ∴43
BF DH ==， ∴4
2233EH DE DH =−=−=， ∴2
3
AG EH ==； 综上所述：AG 的长为2
3或103
． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直线三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定与性质等，解题的关键是综合运用上述知识点，以及分类讨论思想，避免漏解．
23．某商场第一次用39万元购进A ，B 两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润=单件利润⨯销售量）：
(1)该商场第一次购进A ，B 两种商品各多少件？
(2)商场第二次以原进价购进A ，B 两种商品，共100件，A 商品按原售价九折销售，B 商品按原售价销售，且两种商品全部销售完毕，设A 商品购进a 件，第二次经营活动获得利润W 元．
①求W 与a 的函数关系式；
②若购进A 商品的数量不低于20件，
则商场应该如何购进两种商品，可以获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)商场第一次购进A 种商品200件，购进B 种商品150件
(2)①18520000W a =−+；②商场应该购进A 种商品20件，购进B 种商品80件，此时可以获得最大利润，最大利润为16300元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是灵活运用这些知识点． （1）设该商场第1次购进A 商品x 件，购进B 商品y 件，根据“该商场第1次用39万元购进A 、B 两种商品，销售完后获得利润6万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据题意即可求得；②根据一次函数的单调性，即可求得．
【详解】（1）设商场第一次购进A 种商品x 件，购进B 种商品y 件，
12001000390000(13501200)(12001000)60000x y x y +=⎧⎨−+−=⎩，解得200150x y =⎧⎨=⎩
， 答：商场第一次购进A 种商品200件，购进B 种商品150件．
（2）①(135090%1200)(12001000)(100)W a a =⨯−+−−18520000a =−+；
②由已知得：20a ≥，
1850k =−<，
W ∴随a 的增大而减小，
∴当20a =时，185202000016300W =−⨯+=，
10080a ∴−=；
答：商场应该购进A 种商品20件，购进B 种商品80件，此时可以获得最大利润，最大利润为16300元． 24．【问题提出】
（1）如图1，在Rt ABC △中，点D 为边BC 的中点，连接AD ，若8BC =，则AD =________．
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 为边BC 上一点，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F ，连接BF ，求线段BF 的最小值．
【问题解决】
（3）在ABCD Y 中，60ABC ∠=︒，4AB =，6BC =，E 为BC 边上一点，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F 取AF 的中点为G ，点H 为边BC 上一点，且3BC BH =，连接GH ，求线段GH 长度的最小值．
【答案】（1）4，（2）2，（3【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解；
（2）连接点F 和AD 中点M ，连接BM ，易得132
FM AM AD ==
=，根据勾股定理求出BM ，当点B 、F 、M 三点共线时，线段BF 最短，即可求解；
（3）作点A 关于BC 的对称点A '，连接AA '，交BC 于点Q ，连接A F '，先证明点Q 和点H 重合，则根据
勾股定理可求出AH =12
GH A F '=，则当线段A F '长度最小时，线段GH 长度取最小值，连接点F 和AD 中点N ，当点N 、F 、A '在同一条直线上时，A F '取最小值，根据勾股定理求出
A N '
【详解】解：（1）∵在Rt ABC △中，点D 为边BC 的中点，8BC =， ∴142
AD BC ==， 故答案为：4；
（2）连接点F 和AD 中点M ，连接BM ，
∵矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，
∴4AB CD ==，6BC AD ==，
∵DF AE ⊥，点M 为AD 中点， ∴132
FM AM AD ===，
根据勾股定理可得：5BM ==，
∵BF FM BM +≥，
∴当点B 、F 、M 三点共线时，线段BF 最短，
此时BF 的最小值532BM FM =−=−；
（3）作点A 关于BC 的对称点A '，连接AA '，交BC 于点Q ，连接A F '，
∵6BC =，3BC BH =，
∴2BH =，
∵点A 和点A '关于BC 对称，
∴AA BC '⊥，
∵60ABC ∠=︒，AQ BC ⊥，
∴30BAQ ∠=︒，
∵4AB =， ∴122
BQ AB ==， ∴点Q 和点H 重合，
根据勾股定理可得：
AH =
∵点A 和点A '关于BC 对称，
∴AH A H '==AA '=
∵点G 为AF 的中点， ∴12
GH A F '=，则当线段A F '长度最小时，线段GH 长度取最小值， 连接点F 和AD 中点N ，
∵DF AE ⊥，6AD BC ==， ∴132
FN AN AD ===， 当点N 、F 、A '在同一条直线上时，A F '取最小值，
此时A N '==
∴A F '长度最小值3A N FN '=−=，
∴12GH A F '==．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，四边形综合，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理；含30︒角直角三角形的特征；以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．。