高三北师大文科数学课时作业 第讲 简单的三角恒等变换 含解析

课时作业(二十一) [第21讲 简单的三角恒等变换]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是( )
A ．0 B.12
C.32 D ．－12
2．已知cos ⎝
⎛⎭⎫α－π4＝14，则sin2α的值为( ) A.3132 B ．－3132
C ．－78 D.78
3．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos （α－π）2
的结果是( ) A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－cos α2 D ．－sin α2
4．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13
，则tan β的值为( ) A.13 B.139 C.1315 D.59
能力提升
5．[2012·陕西卷] 设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos2θ等于( )
A.22
B.12
C ．0
D ．－1
6．[2012·惠州调研] 函数f (x )＝2sin π4－x ·cos π4
＋x －1，x ∈R 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
7．[2012·宜春模拟] 设A ，B ，C ∈⎝
⎛⎭⎫0，π2，且sin A －sin C ＝sin B ，cos A ＋cos C ＝cos B ，则B －A 等于( )
A ．－π3 B.π3
C ．－π6 D.π3或－π3
8．[2012·济南模拟] 已知α为锐角，cos α＝
55，则tan π4
＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17
C ．－43
D ．－7 9．[2012·江西卷] 已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭
⎫x ＋π4，若a ＝f (lg5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0
C ．a ＋b ＝1
D ．a －b ＝1
10．[2012·岳阳一中月考] 函数f (x )＝sin 22x －π4
的最小正周期是________． 11．[2012·自贡诊断] 若f (x )是以4为周期的奇函数，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，且sin α＝14
，则f (4cos2α)＝________．
12．已知sin2α＋2sin 2α1＋tan α
＝k ⎝⎛⎭⎫π4<α<π2，用k 表示sin α－cos α的值等于________． 13．[2012·哈尔滨一中期中] 若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α＝________．
14．(10分)[2012·北京海淀区期中] 已知函数f (x )＝sin x cos x －3sin 2x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间0，π2
上的最大值和最小值．
15．(13分)[2013·湖南浏阳一中月考] 已知函数f (x )＝2cos 2x 2
－3sin x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且fα－π3＝13，求cos2α1＋cos2α－sin2α
的值．
难点突破
16．(12分)[2013·山西大学附中月考] 已知A ，B ，C 为锐角△ABC 的三个内角，向量m ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，n ＝(1＋sin A ，cos A －sin A )，且m ⊥n .
(1)求A 的大小；
(2)求y ＝2sin 2B ＋cos 2π3
－2B 取最大值时角B 的大小．
课时作业(二十一)
【基础热身】
1．B [解析] 原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12
. 2．C [解析] 方法一：sin2α＝cos ⎝⎛
⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝
⎛⎭⎫α－π4－1＝－78，故选C. 方法二：cos ⎝
⎛⎭⎫α－π4＝22cos α＋22sin α＝14， 两边平方得，12＋12sin2α＝116
， ∴sin2α＝－78
，故选C. 3．C [解析] ∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π， ∴cos α
2
<0， ∴原式＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪
⎪cos α2＝－cos α2. 4．B [解析] ∵α是锐角，cos α＝45，故sin α＝35，tan α＝34
， ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝139
. 【能力提升】
5．C [解析] 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有－1＋2cos 2θ＝0，则cos2θ＝2cos 2θ－1＝0.故选C.
6．B [解析] f (x )＝2sin π4－x cos π4＋x －1＝2cos 2π4＋x －1＝cos π2
＋2x ＝－sin2x ，故选B.
7．A [解析] sin A －sin C ＝sin B ⇒sin C ＝sin A －sin B ，①
cos A ＋cos C ＝cos B ⇒cos C ＝cos B －cos A ②，①2＋②2得cos(A －B )＝12
，又由cos C ＝cos B －cos A 知cos B >cos A ，则A >B ，故选A 8．B [解析] 由cos α＝55，得sin α＝255，所以tan α＝2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4
＝－43.所以tan π4＋2α＝1＋tan2α1－tan2α＝1－431＋43
＝－17，选B. 9．C [解析] 函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12⎣⎡⎦⎤1－cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12＋12
sin2x ，∵f (lg5)＋f (－lg5)＝1＋12[sin(2lg5)＋sin(－2lg5)]＝1＋12
[sin(2lg5)－sin(2lg5)]＝1，∴a ＋b ＝1.故选C. 10.π2 [解析] 对解析式进行降幂扩角，转化为f (x )＝－12cos4x －π2＋12
，可知其最小正周期为π2
. 11．－1 [解析] 由sin α＝14可得4cos2α＝4(1－2sin 2α)＝4⎣
⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝72，
所以f (4cos2α)＝f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭
⎫12＝－1. 12.1－k [解析] 由已知等式得2sin α（cos α＋sin α）cos αcos α＋sin αcos α
＝k ，整理得2sin αcos α＝k . ∵π4<α<π2
，∴sin α－cos α>0，得sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1－k . 13．－2 [解析] 由已知得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，所以
sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α
＝2tan α＋2－2tan 2αtan 2α＋1
＝－2. 14．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －3sin 2x
＝12sin2x －3·1－cos2x 2
＝12sin2x ＋32cos2x －32＝sin2x ＋π3－32
. ∴函数f (x )的最小正周期为π.
(2)由(1)知f (x )＝sin2x ＋π3－32
. 因为0≤x ≤π2
， 所以π3≤2x ＋π3≤4π3
. 所以，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值1－32
， 当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2
时，f (x )取得最小值－ 3. 15．解：(1)∵f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos x ＋π3
， ∴函数f (x )的周期为2π，值域为[－1，3]．
(2)∵fα－π3＝13，∴1＋2cos α＝13
， 即cos α＝－13
. cos2α1＋cos2α－sin2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）
＝cos α＋sin α2cos α
. 又∵α为第二象限角，∴sin α＝223
， ∴原式＝cos α＋sin α2cos α＝1－222. 【难点突破】
16．解：(1)∵m ⊥n ，
∴m ·n ＝(2－2sin A )(1＋sin A )＋(cos A ＋sin A )(cos A －sin A )＝0，即2(1－sin 2A )＝sin 2A －
cos 2A ，∴2cos 2A ＝1－2cos 2A ⇒cos 2A ＝14
. ∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A ＝12，得A ＝π3
.
(2)△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3
， ∴π3<B <π2
. ∴y ＝2sin 2B ＋cos 2π3－2B ＝1－cos2B －12cos2B ＋32
sin2B ＝32sin2B －32cos2B ＋1＝3sin2B －π3
＋1. 当y 取最大值时，2B －π3＝π2，即B ＝512
π.。