北师大版高中数学选修(1-1)-2.3《双曲线》第二课时参考课件2

解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
9 16
3
故点 (3, 2 3) 在射线 y 4 x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2

y2 b2
1 (a>0,b>0),
13
C′
C
12
A′ 0
Ax
B′
25 B
根据下列条件，求双曲线方程: ⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点(3, 2 3) ；
9 16 ⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点(3 2 , 2)
16 4
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程. 这里有两种方法来思考:
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
A1
(2)利用渐近线可以较准确的画出
A2
o a
x
双曲线的草图 (3)渐近线对双曲线的开口的影响
B1
ybx a
y b x a
(动画演示情况)
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
ybx a
..
y
A2 F2
B2
B1
A1 O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
y≥a 或 y ≤a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
ya x b
(学习课本例 4)
例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m). y
⑵ e 的范围: c>a>0 e >1a
⑶ e 的含义: 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度.
另外
b
c2 a2
( c )2 1
e2 1
a
a
a
∴当 e (1, ) 时, b (0, ) ,且 e 增大, b 也增大.
a
a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
（4）等轴双曲线的离心率e= ?2 , 反过来也成立.
⑸在 a 、b 、c 、e 四个参数中,知二求二.
∵ e c , a2 b2 c2 a
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐进线方程.
解：把方程化为标准方程
A1 -a o a A2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况
⑴双曲线
x2 a2

y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y


b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
法一:直接设标准方程,运用待定系数法; 法二:巧设方程,运用待定系数法. 法二可能会比法一简洁,因为设方程思考了.
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
2.3.2 双曲线的简单性质
1
一、研究双曲线
x2 a2

y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、对称性
关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心,
又叫做双曲线的中心.
2、范围
x2 a2
≥
1, 即x 2
≥
a2
x≥a, x ≤ a
(-x,y)
y (x,y)
y2 x2 1
16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
渐进线方程为 y 4 x 3
(学习课本例 4)
例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2

y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2

1
解之得
双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线
x2

y2

1
为什么可以这样设?
-a o a
x
另外,
x2 a2

y2 b2

0
可知并夹在两
(-x,-y)
相交直线之间.(如图)
(x,-y)
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
y
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
b B2
的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
∴

b4 a3 (3)2
a2

(2
3 b2
)2
解之得
a2

9 4
,∴
1
b2 4
双曲线方程为 x2 9 4

y2 4
1
根据下列条件，求双曲线方程:
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ；
9 16
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
法二：巧设方程,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为 x2 y2 ( 0) ,∴
(3)2 (2
3)2
9 16
9
16
∴ 1 ,∴ 双曲线方程为 x2 y2 1
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m). y
13
C′
C
12
A′ 0
Ax
B′
25 B
图形
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
方程
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
范围 x≥a 或 x ≤a，y R