哈工大工程概率分析作业(第三次)
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拒绝域z= 3672 3500 1.0016 147444.5 / 5
利用MATLAB计算：t0.02 4 =2.9985 1.0016 ，故 接受H 0
6.7 解： 由题意可知， f H h
h
e 2
1 h 2 2
最大似然函数为： , h 0 ， 定义x1 , x2 ,..., x10。
1 4142+3405+3402+4039+3372 =3672 5
1 41422 +34052 +34022 +40392 +33722 5 36722 147444.5 4
未知 ， 用
X ~ t n 1 来进行区间估计 ， 1- =0.9 =0.1 ，得： s/ n
X P -t 2 n 1 t 2 n 1 0.9 s/ n
P X t 2 n 1 s / n X +t 2 n 1 s / n 0.9
，
代
入
X =3672， s2 =147444.5，n 5 ，得： =0.1，
= exp( exp( ( y u ))) ， 7.2 解 ： （ a ） 由 题 意 可 知 ， 极值型CDF：FY ( y）
标准差S = （y u ) ， P = exp( exp( S )) ， S ln ln P ， 其中P =
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X P S 69.3 0.0476 1.1133 70.6 0.0952 0.8550 72.3 0.1429 0.6657 72.9 73.5 74.8 75.8 75.9 76.0 76.1 76.4 77.1 77.4 78.2 78.2 78.4 79.3 80.8 81.8 85.2 0.1905 0.2381 0.2857 0.3333 0.3810 0.4286 0.4762 0.5238 0.5714 0.6190 0.6667 0.7143 0.7619 0.8095 0.8571 0.9048 0.9524 0.5058 0.3612 0.2254 0.0941 0.0355 0.1657 0.2985 0.4360 0.5805 0.7349 0.9027 1.0892 1.3022 1.5544 1.8698 2.3018 3.0202
工程概率分析作业（3）
XX XX 14SD330 土木工程学院
6.3 解： （ a ） 由 题 意 可 知 ： 样 本 均 值 X 和 样 本 方 差 s2 ， 总 体 方 差 2 未 知 ， 故 由
X ~ t n 1 进行区间估计，由 1- =0.9 =0.1 ，得： s/ n
N ，得： 21
极值型概率纸如图：
其中 data，X 代表各年最大风的速率。
b 由题意可得，标准差S 与速率Y关系图形如下图所示；
此时最大风速Y与标准差S满足线性方程 y 74.723 0.2946 y 74.723 3.3942 又 s ( y u ) 0.2946, 74.723 y 3.3942 s 74.723 s
（1） 作出假设：H 0 : 0 3500，H1：0 3500 （2）由题可知显著水平 =2%=0.02 （3） 构造统计量：假设H 0成立，则 =
X 0 ~ t n 1 s/ n
0 3500，n 5, s 147444.5, 0.02, X 3672 ，得： （4） 计算拒绝域：
X P -t 2 n 1 t 2 n 1 0.9 s/ n
P X t 2 n 1 s / n X +t 2 n 1 s / n 0.9
X =10000，s2 =9 106，n 10 ，得： 代入 =0.1，
t 0.025 4 =2.7764 ，得： p 0.882 1.426 0.95 ， 置信区间为 0.882,1.426
（ d ） 利 用 半 区 间 解 题 ， 1- =0.9 =0.1且 2 =0.045 ，
用 X ~ N 0,1 进行估计 ，得： -1 0.95 0.045 / n 0.02 / n
2 -1
1.65 0.045 由 0.95 =1.65 n 306 0.02
故 需要额外增加pile=306 5 301
且这个pile模型预计能受15tons ， 而实际受12tons破坏， （e）N ~ N 1.154, 0.048 ，
p 10000 t 0.05 9 3 103 / 10 10000 t 0.05 9 3 103 / 10 0.9
查表得： t 0.05 9 1.8331
， 的置信区间为： 826111739
（b） 由 90%的置信区间为： 1000,1000 ， 已知 s2 9 106 , X 和总体方差 2 未 知，由（a）知， t 0.05 n 1
L x1 , x2 ,..., x10， =f H x1 f H x2 ... f H x10 1 10 x ln xi 20 ln i 2 1 1
10
x
1 2
10
i
210
e
1 2
xi
1
p 3672 t 0.05 4 147444.5 / 5 3672 t 0.05 4 147444.5 / 5 0.9
t 0.05 4 2.132 ，得： 的置信度为90%的置信区间为 3306，4038
（b）已知.1 0.5625 10 18.4 0.6250 11 18.6 0.6875 12 18.8 0.7500 13 19.1 0.8125 14 19.4 0.8750 15 20.1 0.9375
t 2 4 147444.5 5
300 ，得：t 2 4 1.7470
查表可知，t 0.1 4 =1.5332，t 0.05 4 =2.1318 ，由线性插值可得： 0.1642
1 1 0.1642 0.8358 ，故置信度水平为 83.58% （c）
t n 1 1 3000 1000 0.05 ，得： 3 n n
t0.05 n 1
1 n 3
20=1.4907； 25 1.6667； 26=1.6997； 27 =1.7321； 28=1.7638；
1 当n 20时, t0.05 19 =1.7291， 3 1 当n 25时, t0.05 24 1.7109, 3 1 当n 26时, t0.05 25 =1.7081， 3 1 当n 27时, t0.05 26 =1.7056， 3 1 当n 28时, t0.05 27 =1.7033， 3
选用极值 型模型，即 FY ( y） = exp( exp( 2946( y 74.723))) c 由题意可得，
利用卡方检验时所选间隔为， 65-70，,70-75，75-80,80-85,85-90；即k=5 当间隔为65-70时，p FY 70 FY 65 0.018；理论频数ei np 0.018 20=0.36 当间隔为70-75时，p FY 75 FY 70 0.380；理论频数ei np =0.380 20=7.6 当间隔为75-80时，p FY 80 FY 75 0.412；理论频数ei np =0.412 20=8.24 当间隔为80-85时，p FY 85 FY 80 0.143；理论频数ei np =0.143 20=2.86 当间隔为85-90时，p FY 90 FY 85 0.036；理论频数ei np =0.036 20=0.72 卡方检验法如下表所示： 间隔 观测频数 理论频数 （ni ei ) 2 (ni ei ) 2 / ei 65 70 1 0.36 0.4096 1.138 70 75 5 7.6 6.76 0.889 75 80 11 8.24 7.6176 0.924 80 85 2 2.86 0.7396 0.259 85 90 1 0.72 0.0784 0.109 总和 20 20 3.319 可知自由度为f 5 1 2 2, 又 显著性水平为0.02 此时由MATLAB计算对应的值为 2 0.98,2 7.8240 3.319 即极值一型分布适合这一模型。
由 （c） X 由 分位点可得： 1 0.95 0.05 ， ~ t n 1 来进行区间估计 ， s/ n
p 1.154 t 0.025 4 0.219 / 5 1.154 t 0.025 4 0.219 / 5 0.95
故额外需要增加的年数为： 27 10 17
6.4 解： （ a ） 由 题 意 可 知 ： 20.5 18.5 10.0 15.3 N1 1.507, N 2 0.907 N3 1.136, N4 1.07, 13.6 20.4 8.8 14.3 26.2 N5 1.149 22.8 1 （b） N = 1.507+0.907+1.136+1.07+1.149 =1.1538 1.154 5 1 var N 1.507 2 0.907 2 1.1362 1.07 2 1.1492 5 1.1542 0.048 4
10
2
xi 2 dLnL x1 , x2 ,..., x10， 20 由 1 3 d dLnL x1 , x2 ,..., x10， = 令 =0 d
10
x
1
10
2
i
20
，代入xi的值可得：
1.502 +2.802 +2.502 +3.202 +1.902 +4.102 +3.602 +2.602 +2.902 +2.302 = =2.005 20
7.3 解：
a 由题意可得，该问的数据表如图所示，其中P代表累计概率
N 1 2 3 4 5 6 7 8 X P 16.0 0.0625 16.1 0.1250 16.6 0.1875 16.8 0.2500 17.0 0.3125 17.3 0.3750 17.8 0.4375 17.9 0.5000
所以 N
12 =0.8 ， 当荷载<12tons时 ： 15
0.8 1.154 p N 0.8 ，得： 0.048
p N 0.8 1 1.616 1 0.9463 0.0537
6.5 解： （a）由题可知： 样本均值 X = 样本方差 s 2 =
利用MATLAB计算：t0.02 4 =2.9985 1.0016 ，故 接受H 0
6.7 解： 由题意可知， f H h
h
e 2
1 h 2 2
最大似然函数为： , h 0 ， 定义x1 , x2 ,..., x10。
1 4142+3405+3402+4039+3372 =3672 5
1 41422 +34052 +34022 +40392 +33722 5 36722 147444.5 4
未知 ， 用
X ~ t n 1 来进行区间估计 ， 1- =0.9 =0.1 ，得： s/ n
X P -t 2 n 1 t 2 n 1 0.9 s/ n
P X t 2 n 1 s / n X +t 2 n 1 s / n 0.9
，
代
入
X =3672， s2 =147444.5，n 5 ，得： =0.1，
= exp( exp( ( y u ))) ， 7.2 解 ： （ a ） 由 题 意 可 知 ， 极值型CDF：FY ( y）
标准差S = （y u ) ， P = exp( exp( S )) ， S ln ln P ， 其中P =
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X P S 69.3 0.0476 1.1133 70.6 0.0952 0.8550 72.3 0.1429 0.6657 72.9 73.5 74.8 75.8 75.9 76.0 76.1 76.4 77.1 77.4 78.2 78.2 78.4 79.3 80.8 81.8 85.2 0.1905 0.2381 0.2857 0.3333 0.3810 0.4286 0.4762 0.5238 0.5714 0.6190 0.6667 0.7143 0.7619 0.8095 0.8571 0.9048 0.9524 0.5058 0.3612 0.2254 0.0941 0.0355 0.1657 0.2985 0.4360 0.5805 0.7349 0.9027 1.0892 1.3022 1.5544 1.8698 2.3018 3.0202
工程概率分析作业（3）
XX XX 14SD330 土木工程学院
6.3 解： （ a ） 由 题 意 可 知 ： 样 本 均 值 X 和 样 本 方 差 s2 ， 总 体 方 差 2 未 知 ， 故 由
X ~ t n 1 进行区间估计，由 1- =0.9 =0.1 ，得： s/ n
N ，得： 21
极值型概率纸如图：
其中 data，X 代表各年最大风的速率。
b 由题意可得，标准差S 与速率Y关系图形如下图所示；
此时最大风速Y与标准差S满足线性方程 y 74.723 0.2946 y 74.723 3.3942 又 s ( y u ) 0.2946, 74.723 y 3.3942 s 74.723 s
（1） 作出假设：H 0 : 0 3500，H1：0 3500 （2）由题可知显著水平 =2%=0.02 （3） 构造统计量：假设H 0成立，则 =
X 0 ~ t n 1 s/ n
0 3500，n 5, s 147444.5, 0.02, X 3672 ，得： （4） 计算拒绝域：
X P -t 2 n 1 t 2 n 1 0.9 s/ n
P X t 2 n 1 s / n X +t 2 n 1 s / n 0.9
X =10000，s2 =9 106，n 10 ，得： 代入 =0.1，
t 0.025 4 =2.7764 ，得： p 0.882 1.426 0.95 ， 置信区间为 0.882,1.426
（ d ） 利 用 半 区 间 解 题 ， 1- =0.9 =0.1且 2 =0.045 ，
用 X ~ N 0,1 进行估计 ，得： -1 0.95 0.045 / n 0.02 / n
2 -1
1.65 0.045 由 0.95 =1.65 n 306 0.02
故 需要额外增加pile=306 5 301
且这个pile模型预计能受15tons ， 而实际受12tons破坏， （e）N ~ N 1.154, 0.048 ，
p 10000 t 0.05 9 3 103 / 10 10000 t 0.05 9 3 103 / 10 0.9
查表得： t 0.05 9 1.8331
， 的置信区间为： 826111739
（b） 由 90%的置信区间为： 1000,1000 ， 已知 s2 9 106 , X 和总体方差 2 未 知，由（a）知， t 0.05 n 1
L x1 , x2 ,..., x10， =f H x1 f H x2 ... f H x10 1 10 x ln xi 20 ln i 2 1 1
10
x
1 2
10
i
210
e
1 2
xi
1
p 3672 t 0.05 4 147444.5 / 5 3672 t 0.05 4 147444.5 / 5 0.9
t 0.05 4 2.132 ，得： 的置信度为90%的置信区间为 3306，4038
（b）已知.1 0.5625 10 18.4 0.6250 11 18.6 0.6875 12 18.8 0.7500 13 19.1 0.8125 14 19.4 0.8750 15 20.1 0.9375
t 2 4 147444.5 5
300 ，得：t 2 4 1.7470
查表可知，t 0.1 4 =1.5332，t 0.05 4 =2.1318 ，由线性插值可得： 0.1642
1 1 0.1642 0.8358 ，故置信度水平为 83.58% （c）
t n 1 1 3000 1000 0.05 ，得： 3 n n
t0.05 n 1
1 n 3
20=1.4907； 25 1.6667； 26=1.6997； 27 =1.7321； 28=1.7638；
1 当n 20时, t0.05 19 =1.7291， 3 1 当n 25时, t0.05 24 1.7109, 3 1 当n 26时, t0.05 25 =1.7081， 3 1 当n 27时, t0.05 26 =1.7056， 3 1 当n 28时, t0.05 27 =1.7033， 3
选用极值 型模型，即 FY ( y） = exp( exp( 2946( y 74.723))) c 由题意可得，
利用卡方检验时所选间隔为， 65-70，,70-75，75-80,80-85,85-90；即k=5 当间隔为65-70时，p FY 70 FY 65 0.018；理论频数ei np 0.018 20=0.36 当间隔为70-75时，p FY 75 FY 70 0.380；理论频数ei np =0.380 20=7.6 当间隔为75-80时，p FY 80 FY 75 0.412；理论频数ei np =0.412 20=8.24 当间隔为80-85时，p FY 85 FY 80 0.143；理论频数ei np =0.143 20=2.86 当间隔为85-90时，p FY 90 FY 85 0.036；理论频数ei np =0.036 20=0.72 卡方检验法如下表所示： 间隔 观测频数 理论频数 （ni ei ) 2 (ni ei ) 2 / ei 65 70 1 0.36 0.4096 1.138 70 75 5 7.6 6.76 0.889 75 80 11 8.24 7.6176 0.924 80 85 2 2.86 0.7396 0.259 85 90 1 0.72 0.0784 0.109 总和 20 20 3.319 可知自由度为f 5 1 2 2, 又 显著性水平为0.02 此时由MATLAB计算对应的值为 2 0.98,2 7.8240 3.319 即极值一型分布适合这一模型。
由 （c） X 由 分位点可得： 1 0.95 0.05 ， ~ t n 1 来进行区间估计 ， s/ n
p 1.154 t 0.025 4 0.219 / 5 1.154 t 0.025 4 0.219 / 5 0.95
故额外需要增加的年数为： 27 10 17
6.4 解： （ a ） 由 题 意 可 知 ： 20.5 18.5 10.0 15.3 N1 1.507, N 2 0.907 N3 1.136, N4 1.07, 13.6 20.4 8.8 14.3 26.2 N5 1.149 22.8 1 （b） N = 1.507+0.907+1.136+1.07+1.149 =1.1538 1.154 5 1 var N 1.507 2 0.907 2 1.1362 1.07 2 1.1492 5 1.1542 0.048 4
10
2
xi 2 dLnL x1 , x2 ,..., x10， 20 由 1 3 d dLnL x1 , x2 ,..., x10， = 令 =0 d
10
x
1
10
2
i
20
，代入xi的值可得：
1.502 +2.802 +2.502 +3.202 +1.902 +4.102 +3.602 +2.602 +2.902 +2.302 = =2.005 20
7.3 解：
a 由题意可得，该问的数据表如图所示，其中P代表累计概率
N 1 2 3 4 5 6 7 8 X P 16.0 0.0625 16.1 0.1250 16.6 0.1875 16.8 0.2500 17.0 0.3125 17.3 0.3750 17.8 0.4375 17.9 0.5000
所以 N
12 =0.8 ， 当荷载<12tons时 ： 15
0.8 1.154 p N 0.8 ，得： 0.048
p N 0.8 1 1.616 1 0.9463 0.0537
6.5 解： （a）由题可知： 样本均值 X = 样本方差 s 2 =